Transcript 3. Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan Kuadrat
by Gisoesilo Abudi
Page 1
Pengertian
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu
pertidaksamaan
yang
mempunyai
variabel dengan pangkat tertinggi dua.
Himpunan
penyelesaian
dari
pertidaksamaan
kuadrat
dapat
dituliskan
dalam
bentuk
notasi
himpunan atau dengan garis bilangan
Page 2
Bentuk Umum
ax2 + bx + c * 0
Dimana : a ≠ 0, a, b, c, Є R
Tanda
(*)
adalah
pertidaksamaan yaitu :
tanda
<, >, ≤, dan ≥
Page 3
Langkah-langkah Penyelesaian
a. Nyatakan pertidaksamaan kuadrat dalam
bentuk persamaan kuadrat (jadikan ruas
kanan sama dengan 0)
b. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat
tersebut
c. Buatlah garis bilangan yang memuat akarakar tersebut, tentukan tanda (positif atau
negatif) pada masing-masing interval
dengan cara menguji tanda pada masingmasing interval.
d. Himpunan penyelesaian diperoleh dari
interval yang memenuhi pertidaksamaan
tersebut.
Page 4
Contoh 1
Tentukan
himpunan
penyelesaian
pertidaksamaan x2 + 5x – 14 < 0 !
dari
Penyelesaian.
x2 + 5x – 14 < 0
⇔ x2 + 5x – 14 = 0
(Nyatakan dalam persamaan kuadrat)
⇔ (x + 7)(x – 2) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar)
⇔ x = -7 atau x = 2
Garis bilangan yang memuat (-7) dan 2
-7
2
Page 5
Pengujian
Uji beberapa titik, misalnya :
Sebelah kiri -7, diambil -10, maka :
(-10)2 + 5(-10) – 14 = 36 (positif)
Antara -7 dan 2, diambil 0, maka :
(0)2 + 5(0) – 14 = -14 (negatif)
Sebelah kanan 2, diambil 3, maka :
(3)2 + 5(3) – 14 = 10 (positif)
Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah <,
maka interval yang bertanda negatif yang
memenuhi pertidaksamaan.
(+) -7
(-)
2
(+)
Jadi, HP = {x| -7 < x < 2, x Є R}
Page 6
Contoh 2
Tentukan
himpunan
penyelesaian
pertidaksamaan 9 - x2 ≥ 0 !
dari
Penyelesaian.
9 - x2 ≥ 0
⇔ 9 - x2 = 0
(Nyatakan dalam persamaan kuadrat)
⇔ (3 + x)(3 – x) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar)
⇔ x = -3 atau x = 3
Garis bilangan yang memuat (-3) dan 3
-3
3
Page 7
Pengujian
Uji beberapa titik, misalnya :
Sebelah kiri -3, diambil -4, maka :
9 - (-4)2 = – 7 (negatif)
Antara -3 dan 3, diambil 0, maka :
9 - (0)2 = 9 (positif)
Sebelah kanan 3, diambil 4, maka :
9 - (4)2 = -7 (negatif)
Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah ≥,
maka interval yang bertanda positif yang
memenuhi pertidaksamaan.
(-) -3
(+)
3
(-)
Jadi, HP = {x| -3 ≤ x ≤ 3, x Є R}
Page 8
Latihan
Agar kalian lebih memahami cara mencari akar-akar
pertidaksamaan kuadrat coba Anda kerjakan latihan di buku
paket Erlangga.
Jika kalian kelas x Kelompok BisMen kerjakan soal latihan
halaman 63 no. 1 - 10
Jika kalian kelas x kelompok Teknologi kerjakan soal
latihan halaman 81 - 82 no. 4.
Selamat Mencoba
Page 9
Menerapkan Persamaan &
Pertidaksamaan Kuadrat
by Gisoesilo Abudi
Page 10
Hubungan antara Koefisien PK
dengan Sifat Akar
Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0.
• Jika kedua akarnya sama (x1 = x2), maka :
⇔D=0
⇔ b2 – 4ac = 0
⇔ b2 = 4ac
• Jika kedua akarnya berlawanan (x1 = -x2 ), maka :
⇔ x1 + x2 = - b/a
⇔ -x2 + x2 = - b/a
⇔ 0 = - b/a
⇔b=0
Page 11
Hubungan antara Koefisien PK
dengan Sifat Akar
• Jika kedua akarnya berkebalikan (x1 = 1/x2), maka :
⇔ x1 . x2 = c/a
⇔ 1/x2 . x2 = c/a
⇔ 1 = c/a
⇔c=a
Kesimpulan :
1. Akar-akarnya kembar jika dan hanya jika b2 = 4ac
2. Akar-akarnya berlawanan jika dan hanya jika b = 0
3. Akar-akarnya berkebalikan jika dan hanya jika c = a
Page 12
Menyusun PK yang diketahui Akarakarnya
Misalkan : Menggunakan Perkalian Faktor
Jika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
kuadrat, maka :
(x – x1)(x - x2) = 0
Contoh
Dengan menggunakan perkalian faktor, susunlah PK
yang akar-akarnya :
a. -2 dan 3
c. 1/3 dan – 1/5
b. -7 dan 0
d. (5 - √3)(5 + √3)
Page 13
Penyelesaian
a. -2 dan 3
⇔ x1 = -2 dan x2 = 3
⇔ (x – (-2)(x – 3) = 0
⇔ (x + 2)(x – 3) = 0
⇔ x2 – x – 6 = 0
Jadi PK : x2 – x – 6 = 0
Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari
penyelesaian contoh b, c, dan d.
Page 14
Menyusun PK yang diketahui Akarakarnya
Misalkan : Menggunakan Rumus jumlah dan
hasil kali akar-akarnya.
Jika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
kuadrat, maka :
X2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
Contoh
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarakarnya, susunlah PK yang akar-akarnya :
a. -2 dan 3
c. 1/3 dan – 1/5
b. -7 dan 0
d. (5 - √3)(5 + √3)
Page 15
Penyelesaian
a. -2 dan 3
Persamaan kuadratnya :
⇔ x2 – (-2 + 3)x + (-2)(3) = 0
⇔ x2 – x – 6 = 0
Jadi PK : x2 – x – 6 = 0
Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari
penyelesaian contoh b, c, dan d.
Page 16
Menyusun PK Berdasarkan Akar-akar
PK lain
Kita dapat menyusun PK, jika akar-akarnya
diketahui mempunyai hubungan dengan PK
lain.
Contoh 1
Susunlah PK yang akar-akarnya lima lebihnya dari akarakar PK x2 – 8x + 2 = 0 !
Page 17
Penyelesaian.
x2 – 8x + 2 = 0 ⇔ a = 1, b = -8, dan c = 2
Misalkan akar-akar PK : x2 – 8x + 2 = 0 adalah x1 dan x2
Maka : x1 + x2 = - b/a = - (-8/1) = 8
x1 . x2 = c/a = 2/1 = 2
Misalkan akar-akar PK baru yang akan dicari adalah α
dan β, maka : α = x1 + 5 dan β = x2 + 5, sehingga
α + β = (x1 + 5) + (x2 + 5)
α . β = (x1 + 5) . (x2 + 5)
= (x1 + x2) + 10
= x1.x2 + 5x1 +5x2 + 5.5
= 8 + 10
= x1.x2 + 5(x1+x2) + 25
= 18
= 2 + 5 . 8 + 25
= 67
⇔ x2 – (α + β)x + (α.β) = 0
⇔ x2 – (18)x + (67) = 0
⇔ x2 – 18x + 67 = 0
Page 18
Contoh 2
Akar-akar PK x2 – 4x + 5 = 0 adalah p dan q. Susunlah
PK baru jika akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) !
Penyelesaian
Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan baru,
maka :
α=p+2⇔p=α–2
β=q+2⇔q=β–2
Karena p merupakan salah satu akar persamaan x2 – 4x
+ 5 = 0, maka :
⇔ (α – 2)2 – 4(α – 2) + 5 = 0
⇔ (α2 – 4α + 4) – 4α + 8 + 5 = 0
⇔ α2 – 4α + 4 – 4α + 13 = 0
⇔ α2 – 8α + 17 = 0, ⇔ ( α = x), maka
x2 – 8x + 17 = 0
Page 19
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, mempunyai
akar-akar x1 dan x2, maka :
Akar-akar baru
Persamaan kuadrat baru
x1 + m dan x2 + m a(x – m)2 + b(x – m) + c = 0
x1 – m dan x2 – m a(x + m)2 + b(x + m) + c = 0
2
mx1 dan mx2
m
dan
x1
x1
m
dan
m
x
2
x
2
m
 x 
 x 
a
  b
c0
m 
m 
2
 x 
 x 
a
  b
c0
m 
m 
a(mx)2 + b(mx) + c = 0
Page 20
Aplikasi Persamaan dan
Pertidaksamaan Kuadrat
Contoh
Sejumlah siswa akan patungan untuk membeli alat
praktek seharga Rp612.000,00. Setelah masing-masing
membayar dengan jumlah yang sama, ada 3 temannya
yang ingin bergabung. Jika ketiga orang itu ikut
bergabung, maka masing-masing akan membayar
Rp34.000,00 kurangnya dari yang telah mereka bayar.
Tentukan jumlah siswa yang berencana akan membeli
alat praktek tersebut !
Page 21
Penyelesaian
Misal jumlah siswa : x
Masing-masing siswa membayar sebesar : (612.000 : x)
Setelah 3 temannya masuk, maka {612.000 : (x + 3)}
Selisih pembayaran = pembayaran mula-mula – pembayaran
setelah 3 temannya bergabung.
34.000 
612.000
x

612.000
sehi
x3
sehingga
1
18
x

18
x3
⇔ x(x + 3) = 18(x + 3) – 18x
⇔ x2 + 3x = 18x + 54 – 18x
⇔ x2 + 3x - 54 = 0
⇔ x2 + 3x - 54 = 0
⇔ (x + 9)(x – 6) = 0
⇔ x = -9 atau x = 6
Jadi sebelum 3 teman bergabung ada 6 siswa yg
patungan
Page 22