Transcript Penaksiran parameter
PENAKSIRAN PARAMETER
• • Statistika inferensial menggunakan data sampel untuk menaksir (estimate), membuat keputusan, peramalan dan generalisasi untuk himpunan data yang lebih besar, yaitu populasi.
Inferensi statistika dibagi ke dalam 2 area yaitu: - Penaksiran parameter: penaksiran titik dan penaksiran interval - Pengujian hipotesis
Penaksiran Titik
• Parameter populasi yang biasanya tidak diketahui nilainya dapat ditaksir dengan menggunakan statistik sampel. Dalam penaksiran titik , kita tentukan suatu nilai tunggal yang mendekati nilai parameter tersebut. Suatu penaksir yang baik adalah penaksir yang memenuhi sifat antara lain : unbiased (tak berbias) dan efisien.
Definisi.
Suatu statistik parameter ˆ jika : dikatakan penaksir unbiased dari
E
Contoh : Misalkan mempunyai mean Penaksir unbiases untuk dimana :
X
i n
1
n X i X
1 ,
X
2 ,..., dan
X n
saling bebas , masing-masing dan variansi
S
2 dan
i n
1
X
2
n
i
2 1
X
.
adalah 2
X
dan
S
2
Definisi.
Pandang kelas yang terdiri atas semua penaksir unbiased bagi parameter . Jika dapat dicari suatu penaksir, misalnya ˆ , sehingga variansinya terkecil dibandingkan variansi penaksir unbiased yang lain , maka disebut penaksir efisien bagi .
ˆ
Penaksiran Interval
Pada penaksiran titik, parameter yang tak diketahui hanya ditaksir dengan satu nilai, sehingga kecil kemungkinannya untuk menaksir parameter secara tepat. Akan lebih baik bila kita dapat menentukan suatu interval dimana kita berharap bahwa nilai parameter yang sebenarnya akan terletak di dalam interval tersebut. Iterval yang seperti itu disebut taksiran interval.
Taksiran interval dari suatu parameter adalah suatu interval berbentuk dimana L dan U bergantung pada nilai dari statistik dan ˆ
U L
U
untuk suatu sampel tertentu dan juga bergantung pada distribusi sampling dari ˆ .
Dari distribusi sampling dapat ditentukan sedemikian sehingga Pr( ˆ
L
ˆ
U
) 1 untuk 0< <1 sehingga kita mempunyai probabilitas 1 bahwa interval mengandung . ˆ
L
• yang terpilih kemudian disebut sebagai (1
L
U
) 100% interval kepercayaan untuk . (1 ) 100% disebut koefisien kepercayaan .
L dan U disebut batas atas dan batas bawah dari interval kepercayaan untuk .
Taksiran Interval untuk Mean Populasi
Kasus 1
• Misalkan variansi 2
X
1 ,
X
2 ,...,
X n
suatu sampel acak yang diambil dari populasi berdistribusi semba (diketahui). Jika ukuran sampel n cukup besar, berdasarkan dalil limit pusat maka mean sampel akan mendekati distribusi normal dengan mean dan variansi 2 . Jadi :
X
n
Z = mendekati distribusi N(0,1).
n
• • Sehingga Pr
z
2
Z
z
2 1 100 % Sehingga Pr
z
2
X
n
z
2 1 100 % • Sehingga jika
x
(1- ) 100% interval kepercayaan untuk adalah:
x
z
2 adalah nilai pengamatan untuk
n
x
z
2
n
X
Kasus 2
• • Untuk ukuran sampel n yang kecil yang diambil dari populasi normal dimana variansi tidak diketahui, maka interval kepercayaan untuk dapat diperoleh dengan menggunakan distribusi t, dimana
X S
~
t n
Sehingga
t n
1 Pr
X
t
2
s n
X
t
2
s n
1 100 %
• Sehingga jika untuk
X x
adalah nilai pengamatan maka (1- ) 100% interval kepercayaan untuk adalah:
x
t
2
s n
x
t
n s n
Kasus 3
• Untuk ukuran sampel n yang kecil yang diambil dari populasi normal dimana variansi diketahui, maka interval kepercayaan untuk dapat diperoleh dengan menggunakan distribusi normal, dimana
X
Z = berdistribusi N(0,1)
n
• Sehingga jika untuk
X x
maka adalah nilai pengamatan (1- ) 100% interval kepercayaan untuk adalah:
x
z
2
n
x
z
2
n
Kasus 4
• Untuk ukuran sampel n yang besar yang diambil dari populasi sembarang dimana variansi tidak diketahui, maka interval kepercayaan untuk dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan distribusi N(0,1). Sehingga Z =
X S
n
mendekati N(0,1)
• Sehingga jika untuk
X x
adalah nilai pengamatan maka (1- ) 100% interval kepercayaan untuk adalah:
x
z
2
s n
x
z
n s n
• • Contoh: Tinggi badan rata –rata dari 50 mahasiswa Universitas Y menunjukkan mean 174,5 cm dengan standar deviasi 6,9 cm. Carilah 98% interval kepercayaan untuk mean tinggi badan mahasiswa Y.
Contoh: Berikut ini menunjukkan durasi film (dalam menit) yang diproduksi perusahaan W. 102 86 98 109 92 81 134 Dengan mengasumsikan durasi film berdistribusi normal, carilah 95% interval kepercayaan untuk rata-rata durasi film perusahaan W.
Taksiran Interval untuk Selisih 2 Mean Populasi
X
11 ,
X
12 ,...,
X
1
n
1 adalah sampel acak berukuran
n
1 dari populasi yang mempunyai mean dan variansi 1 2
X
21 ,
X
22 ,...,
X
2
n
2 adalah sampel acak berukuran
n
2 dari 2 2 • • Kedua sampel saling bebas.
Mean sampel
X i
dan variansi sampel
i
2 masing merupakan penaksir titik unbiased untuk
i
dan
i
2 , i = 1 , 2 masing-
Kasus 1
• Jika
n
1 dan
n
2 besar, maka dengan dalil limit pusat didapat bahwa:
X
1
X
2 1 2
n
1 1 2 2
n
2 2 mendekati N(0,1) • Sehingga Pr
z
2
Z
z
2 ( 1 ) 100 %
• Sehingga Pr
z
2
X
1
X
2 1 2
n
1 1 2 2
n
2 2
z
2 ( 1 ) 100 %
• Sehingga jika
x
1 dan pengamatan untuk
X
1
x
2 adalah nilai dan
X
2 maka 1 2 adalah:
x
1
x
2
z
2 1 2
n
1 2 2 ;
n
2
x
1
x
2
z
2 1 2
n
1 2 2
n
2
Kasus 2
• Jika
n i
i
2 tidak diketahui untuk i=1,2, dan jika interval kepercayaan untuk 1 2 adalah:
x
1
x
2
z
2
s
1 2
n
1
s
2 2
n
2 ;
x
1
x
2
z
2
s
1 2
n
1
s
2 2
n
2
Kasus 3
• • • • •
X
11 ,
X
12 ,...,
X
1
n
1 adalah sampel acak berukuran dari populasi berdistribusi normal yang mempunyai mean dan variansi 1 2
X
21 ,
X
22 ,...,
X
2
n
2 adalah sampel acak berukuran dari populasi berdistribusi normal yang mempunyai mean dan variansi 2 2
n
1 1 2 dan
n
2 dan kecil 2 2 tidak diketahui Kedua sampel saling bebas
n
1
n
2
• Jika 1 2 2 2 2 ~ t dengan d.b. (n-1) dimana
• • Diperoleh Pr
t
2
X
1
X
2 1
S
2
p
1
n
1 1
n
2 2
t
2 1 100 % untuk 1 2 adalah:
x
1
x
2
t
2
s
2
p
1
n
1 1
n
2 ;
x
1
x
2
t
2
s
2
p
1
n
1 1
n
2
• Jika 1 2 2 2
t
X
1
X
2 1
S
1 2
n
1
S
2 2
n
2 2 berdistribusi t dengan d.b. k dimana
k
S n
1 2 1
n S
1
n
1 1 2 1 2
S
2 2
n
2 2
S n
2
n
2 2 2 1 2
• Diperoleh Pr
t
2
X
1
X
2 1 2
S
1 2
n
1
S
2 2
n
2
t
2 1 100 % • Sehingga ( 1- ) 100% interval kepercayaan untuk 1 2 adalah:
x
1
x
2
t
2
s
1 2
n
1
s
2 2
n
2 ;
x
1
x
2
t
2
s
1 2
n
1
s
2 2
n
2