Transcript ANALISIS VARIANSI - Blog Mahasiswa UI
ANALISIS VARIANSI
Pada bab sebelumnya telah dibahas prosedur pengujian untuk menentukan apakah mean dua populasi normal yang saling bebas, sama atau tidak apabila variansi kedua populasi diasumsikan sama (walaupun tidak diketahui ).
Teknik tersebut dapat diperluas sehingga dapat digunakan untuk membandingkan mean beberapa (k) populasi.
CONTOH
akan diuji apakah tiga varitas gandum secara rata rata memberikan hasil yang sama apabila tanaman gandum tersebut ditanam pada petak-petak yang berukuran sama dan mempunyai kondisi tanah yang sama ingin diselidiki apakah enam laboratorium yang ada memberikan hasil analisis yang sama apabila diberikan sampel-sampel dari bahan yang sama. Dalam kasus ini, ada satu factor yang disebut perlakuan (treatment). Factor perlakuan pada kasus gandum adalah varitas gandum yang mempunyai 3 level sedangkan pada kasus kedua factor perlakuannya berupa laboratorium yang mempunyai enam level.
Pada kasus pengujian k mean populasi, dengan k > 2, diasumsikan bahwa terdapat k sampel dari k populasi.
Prosedur yang biasa digunakan dalam hal ini dinamakan analisis variansi atau ANOVA. Analisis variansi adalah suatu teknik stastistik untuk menganalisis pengukuran-pengukuran yang bergantung kepada beberapa efek / pengaruh yang bekerja serentak, menentukan efek mana yang penting dan menduga efek itu.
Analisis variansi didasarkan pada pemecahan variansi total menjadi bagian-bagian / komponen- komponen yang masing-masing mengukur variabilitas yang disebabkan oleh berbagai sumber.
Dalam membandingkan k mean populasi , dua sumber variasi adalah : 1. perbedaan antar mean 2. variasi dalam populasi ( error )
K
LASIFIKASI SATU ARAH Pada analisis variansi satu arah,hanya satu faktor (treatment) yang diteliti.
Misalnya : - pengaruh varitas gandum terhadap hasil panen - pengaruh konsentrasi bahan kimia terhadap pertumbuhan tanaman - pengaruh laboratorium terhadap hasil analisis.
Misalkan terdapat k populasi yang saling bebas, berdistribusi normal dengan mean masing masing 1 , 2 , Dari setiap populasi,masing-masing diambil sampel berukuran
k n
1 ,
n
2 ,.....,
n
.
2 .
k
Setiap populasi diidentifikasikan sebagai populasi dari respon- respon dibawah treatment tertentu .
x ij
adalah pengamatan ke-j dari populasi (treatment) ke-i,i=1,2,3,..k dan j=1,2,… n i
Total Mean 1 2 Populasi
x
11
x
12
x
21
x
22
x
1
n
1
x
2
n
2
x
1 .
x
1 .
x
2 .
x
2 .
k x k
1
x k
2
x kn k x k
.
x k
.
x
..
x
..
M
ODEL MATEMATIKA
X ij
adalah variabel acak yang saling bebas, mempunyai mean dan variansi . Model matematika :
x ij
i
ij i
, j = 1,2,…,ni dan i = 1,2,…,k.
dimana :
x
i j uj i
: pengamatan ke-j dari treatment ke-i : mean treatment ke-i : error, diasumsikan saling bebas dan berdistribusi
N
HIPOTESIS
H H
1 0 : : 1 2
k
minimal ada dua mean yang tidak sama Uji hipotesis akan didasarkan pada perbandingan dua nilai dugaan/penaksir yang saling bebas untuk variansi populasi 2 .
Nilai dugaan ini dapat diperoleh dengan cara menguraikan variabilitas total pada data menjadi dua komponen.
Variansi dari seluruh pengamatan (untuk kasus banyaknya pengamatan tidak sama untuk tiap treatment seperti pada tabel sebelumnya):
s
2
i k n
1
j i i
data.
n
x
ij
1
x
2 Pembilang dalam s
n 2
i k
1
n i
disebut jumlah kuadrat total yang mengukur keragaman total dalam Keragaman total tersebut dapat diuraikan melalui identitas berikut : JKT = JKTr + JKE Cat : untuk kasus banyaknya pengamatan pada treatment sama, rumus-rumusnya dapat dilihat di buku.
i n k
1
i
1
j x ij
x
..
2
i k
1
n i x i
.
x
..
2
i n k
1
i
1
j x ij
x i
.
2 JKT = JKTr + JKE Untuk mempermudah perhitungan, rumus-rumus diatas dapat dituliskan dalam bentuk :
i k
1
j n i
1
x ij x
2
i k
1
j n i
1
x ij
2
x
2
n i k
1
n i
x i
x
i k
1
j n i
1
x ij x i
2 2
i k
1
x i
2
n i
x
2
n
Statistik uji yang akan digunakan dalam anova adalah :
S
1
S
2 F = 2 2 yang berdistribusi F dengan db dan 2 dimana
n
k S
1 2
S
1 2
S
2 2 = dan
k
1
S
2 2 =
n k
: Rata-rata JK Treatment : Rata-rata JK Error
Penurunan Distribusi F dapat dijelaskan sbb: Untuk setiap i : adalah variabel acak berukuran ni dari populasi normal dengan variansi .
j n i
1
X ij
2
X i
2 berdistribusi khi kuadrat dg db = ni-1
i k n i
1 1
j
X ij
2
X i
2 berdistribusi khi kuadrat dg db = n-k
X
: variabel acak berdistribusi normal dengan variansi 2
n i
.
k
X i
X
2
i
1
n i
i
i
1 2
n
2
i
db = k-1.
Seperti telah dijelaskan sebelumnya,
F
1 2 2 2 / / 1 2 ,dimana 1 2 (
k
1 ) 2
S
1 2 dan 2 2 (
n
k
2 )
S
2 2 yang masing-masing berderajat bebas (k-1) dan (n-k). Sehingga
S
1
S
2 2 2 1
k
1 2
n
k
Kriteria pengujian : Pada tingkat signifikasi F ≥
F
;
k
1
n
k
, Ho ditolak jika
TABEL ANOVA
Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Rata – rata Jumlah Kuadrat
F
Hitung Treatment
JKTr
Error Total
JKE JKT k - 1 n - k n
1
s
1 2
JKTr k
1
s
2 2
JKE n
k s
1 2
s
2 2
C
ONTOH Dalam suatu percobaan biologi,empat konsentrasi bahan kimia digunakan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman. Percobaan dilakukan selama periode waktu tertentu.
Apakah pertumbuhan rata-rata tanaman berbeda untuk keempat konsentrasi bahan kimia tersebut? Ujilah dengan menggunakan tingkat signifikasi 0,01.
Data pertumbuhan tanaman (dalam sentimeter) adalah sebagai berikut :
Konsentrasi 1 8,2 8,7 9,4 9,2 2 3 4 7,7 8,4 8,6 8,1 8,0 6,9 5,8 7,2 6,8 7,4 6,1 6,8 7,3 6,3 6,9 7,1 Total 35,5 40,8 40,2 34,4 150,9
- Model matematika :
x ij
i
ij
, i = 1,2,3,4 , j = 1,2,…,ni Dimana :
x ij
: pertumbuhan tanaman ke-j pada konsentrasi ke-i
i
: pertumbuhan rata-rata tanaman yang disebabkan konsentrasi ke-i : error, diasumsikan saling bebas dan berdistribusi
ij N
- Hipotesis :
H
0 : 1 2 3 4 H1 : minimal ada dua
i
yang tidak sama
Perhitungan n1 = 4, n2 = 5, n3 = 6 dan n4 = 5
x
1 35 , 5
x
2 2 35 , 5 4 JKE = 3,89 2 40 .
8 5 7 , 1 2
x
3 150 150 , 9 20 , 40 2 9 2 , 2
x
4 34 , 4 JKT = = 19,35.
3 , 89
s
1 2 15 , 46 3 5 , 15
s
2 2 16 0 , 24
T
ABEL ANOVA Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Treatment Error Total 15,46 3,89 19,35 3 16 19 Rata-rata Jumlah Kuadrat 5,15 0,24
F F
5 , 15 0 , 24 21 , 4
0 , 01
F
0 , 01 ; 3 ; 16 5 , 29 Karena F = 21,4 >5,29 maka Ho ditolak Kesimpulan : Pertumbuhan rata-rata tanaman berbeda untuk keempat konsentrasi bahan kimia tersebut.