Transcript Простейшие иррациональности - Томский государственный

Интегрирование простейших
иррациональностей и
выражений, содержащих
тригонометрические функции.
Шульц Денис Сергеевич
План занятия.
 Простейшие иррациональности
 Замена в интегралах, содержащих
иррациональности
 Типы интегралов от тригонометрических функций и
различные подстановки (универсальная
тригонометрическая и т.д.)
Простейшие иррациональности.
Простейшие иррациональности – это функции, в которые входят радикалы
𝑎𝑥 + 𝑏
различных степеней от: 𝑥; 𝑎𝑥 + 𝑏 ;
𝑐𝑥 + 𝑑
Простейшие иррациональности.
Простейшие иррациональности – это функции, в которые входят радикалы
𝑎𝑥 + 𝑏
различных степеней от: 𝑥; 𝑎𝑥 + 𝑏 ;
𝑐𝑥 + 𝑑
Вводится замена:
r–?
𝑥 = 𝑡𝑟
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡 𝑟
𝑎𝑥 + 𝑏
= 𝑡𝑟
𝑐𝑥 + 𝑏
Простейшие иррациональности.
Простейшие иррациональности – это функции, в которые входят радикалы
𝑎𝑥 + 𝑏
различных степеней от: 𝑥; 𝑎𝑥 + 𝑏 ;
𝑐𝑥 + 𝑑
Вводится замена:
r–?
𝑥 = 𝑡𝑟
𝑅 𝑥,
𝑟1
𝑎𝑥 + 𝑏
= 𝑡𝑟
𝑐𝑥 + 𝑏
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡 𝑟
𝑥,
𝑟2
𝑥 ,
𝑟3
𝑥, …
𝑟𝑛
𝑥)
r – наименьшее общее кратное чисел r1, r2, ….rn
Простейшие иррациональности
(примеры).
Интеграл
3
𝑥 + 𝑥 + 𝑥2
𝑑𝑥
3
𝑥 1+ 𝑥
𝑥+2
𝑥+5
1−𝑥 1
∙ 𝑑𝑥
1+𝑥 𝑥
Замена
Простейшие иррациональности
(примеры).
Интеграл
Замена
3
𝑥 + 𝑥 + 𝑥2
𝑑𝑥
3
𝑥 1+ 𝑥
𝑥 = 𝑡6
𝑥+2
𝑥+5
𝑥 + 2 = 𝑡2
1−𝑥 1
∙ 𝑑𝑥
1+𝑥 𝑥
1−𝑥
= 𝑡2
1+𝑥
Интегралы от тригонометрических
функций
Выражение
Подстановка
𝑅 cos 𝑥 , sin 𝑥
𝑥
𝑡 = 𝑡𝑔
2
Универсальная
тригонометрическая
𝑡 = 𝑡𝑔 𝑥
𝑅 − sin 𝑥, − cos 𝑥
= 𝑅 sin 𝑥, cos 𝑥
𝑅 − sin 𝑥, cos 𝑥
= −𝑅 sin 𝑥, cos 𝑥
𝑅 sin 𝑥, − cos 𝑥
= −𝑅 sin 𝑥, cos 𝑥
𝑡 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥
Примечания
Интеграл от любой рациональной
тригонометрической функции
сводится к интегралу от
рациональной дроби
1) sin x, cos x входят в
подынтегральное выражение только
в чётных степенях;
2) сумма показателей степеней sin x
и cos x – чётная.
cos x - четная степень
𝑡 = cos 𝑥
sin x – нечетная степень
cos x - нечетная степень
𝑡 = sin 𝑥
sin x – четная степень
Интегралы от тригонометрических
функций
Подстановка
𝑥
𝑡 = 𝑡𝑔
2
𝑡 = 𝑡𝑔 𝑥
𝑡 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥
𝑡 = cos 𝑥
𝑡 = sin 𝑥
Примеры
𝑑𝑥
;
3
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥
;
sin 𝑥
𝑑𝑥
;
2
2 + 3𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑑𝑥
;
4
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥
3 − 𝑐𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
𝑑𝑥
4
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑑𝑥
;
cos 𝑥
𝑑𝑥
2 − 3 cos 𝑥 + sin 𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
2
2
1 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠 𝑥
Интегралы от тригонометрических
функций
Подстановка
𝑥
𝑡 = 𝑡𝑔
2
Пояснения
𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑡
cos 𝑥 =
𝑡 = 𝑡𝑔 𝑥
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡
cos 𝑥 =
𝑡 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥
1−𝑡 2
1+𝑡 2
1
1+𝑡 2
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑡
cos 𝑥 =
𝑡
1+𝑡 2
2𝑑𝑡
𝑑𝑥 =
1 + 𝑡2
sin 𝑥 =
2𝑡
1+𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑥 =
1 + 𝑡2
sin 𝑥 =
𝑡
1+𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑥 = −
1 + 𝑡2
sin 𝑥 =
1
1+𝑡 2
Интегралы, содержащие радикалы
вида:
Выражение
Подстановка
𝑥 = 𝑎 sin 𝑡
𝑅 𝑥, 𝑎2 − 𝑥 2
𝑅 𝑥, 𝑥 2 − 𝑎2
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡
𝑎
𝑥=
sin 𝑡
𝑎
𝑥=
cos 𝑡
𝑥 = 𝑎 𝑡𝑔 𝑥
𝑅 𝑥, 𝑎2 + 𝑥 2
𝑥 = 𝑎 𝑐𝑡𝑔 𝑥
Примеры
𝑥 2 𝑑𝑥
4 − 𝑥2
𝑥2 − 4
𝑑𝑥
2
𝑥
𝑥 2 𝑑𝑥
𝑥2 + 1
3
Интегралы от тригонометрических функций (без подстановок)
вебинары 12.02 и 04.03
Интегралы
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥;
Указания
𝑠𝑖𝑛4 𝑥𝑑𝑥
Применяют формулы понижения степени:
1 + cos 2𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
2
2
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 𝑑𝑥
1 − cos 2𝛼
𝑠𝑖𝑛 𝛼 =
2
2
sin x, cos x входят в подынтегральное
выражение только в чётных степенях
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑑𝑥;
𝑠𝑖𝑛5 𝑥𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥;
𝑠𝑖𝑛3 𝑥
𝑑𝑥
4
𝑐𝑜𝑠 𝑥
Подведение под знак дифференциала:
sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑑 cos 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑 sin 𝑥
В числителе sin x или cos x в нечётной
степени
cos 2𝑥 ∙ sin 5𝑥 𝑑𝑥 ;
Используются формулы, переводящие
sin 3𝑥 ∙ cos 5𝑥 𝑑𝑥 произведения тригонометрических функций
разных аргументов в суммы (или разности)
Пример
𝑥+3 𝑥
4
𝑥5
−
6
𝑥7
𝑑𝑥
𝑑𝑥
4 + 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥
Вебинары «Интегральное исчисление». Апрель 2014 г.
Вебинар №6: интегрирование простейших иррациональностей и
выражений, содержащих тригонометрические функции
Вебинар №7: сложные интегралы
Спасибо за внимание!!!
Шульц Денис Сергеевич
Кафедра прикладной математики и
информатики
Факультет дистанционного обучения
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
[email protected]
[email protected]