Transcript OPTIMIZACIÓN
OPTIMIZACIÓN
Aplicaciones de la derivación
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
r h Área Superficial de un Círculo
𝜋𝑟
2 Volumen de un Cilindro
𝜋𝑟
2
ℎ
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
r h 2𝜋𝑟 ℎ
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 = 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ
Variables
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
Volumen de un Cilindro
𝜋𝑟
2
ℎ 𝜋𝑟
2
ℎ = 1000𝑐𝑚
3
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
𝜋𝑟
2
ℎ = 1000 ℎ = 1000 𝜋𝑟
2
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
ℎ = 1000 𝜋𝑟 2
𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 = 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ
𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 = 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟 1000 𝜋𝑟 2 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 = 2𝜋𝑟 2 + 2000 Ecuación a optimizar 𝑟
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 = 2𝜋𝑟 2 + 2000 Ecuación a optimizar 𝑟 Criterio de la primera derivada 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 = 2𝜋𝑟 2 + 200𝑟 −1 𝐴′ sup 𝑚𝑖𝑛 = 4𝜋𝑟 − 200 𝑟 −2 𝐴′ sup 𝑚𝑖𝑛 = 4𝜋𝑟 − 200 𝑟 2
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
Criterio de la primera derivada 𝐴′ sup 𝑚𝑖𝑛 = 4𝜋𝑟 − 2000 𝑟 2 = 0 Puntos críticos… 4𝜋𝑟 − 2000 𝑟 2 = 0 4𝜋𝑟 = 2000 𝑟 2 𝑟 2 (4𝜋𝑟) = 2000 4𝜋𝑟 3 = 2000 𝑟 3 = 2000 4𝜋 𝑟 3 = 500 𝜋 𝑟 = 3 500 ≈ 5,42 𝜋
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
El Criterio de la segunda derivada confirma que: 𝐴′ sup 𝑚𝑖𝑛 = 4𝜋𝑟 − 2000 𝑟 2 𝐴′′ sup 𝑚𝑖𝑛 = 4𝜋 + 4000 𝑟 3 4𝜋 + 4000 5,42 3 = 37,68 37,68 > 0 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
ℎ = 1000 𝜋𝑟 2 1000 ℎ = 𝜋(5.42) 2 ℎ = 10,83 𝑐𝑚
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :
Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
r= 5,42cm h=10.83cm
1 LITRO
Optimización
Ejercicio :
Se va a fabricar un vaso cilíndrico que pueda contener 750ml de liquido.
Halle las dimensiones que minimizarán el costo del vidrio para fabricar el vaso.
750ml r h