Transcript Document
Mean, Korelasi, dan Kovariansi
Diberikan proses stokastik X(t)
• Mean
m X ( t ) E [ X ( t )]
• Autokorelasi
R X ( t1 , t 2 ) E [ X ( t1 ) X ( t 2 )]
Prostok-3-firda
1
Autokovariansi:
C X ( t1 , t 2 ) C ov ( X ( t1 ), X ( t 2 ))
E [ X ( t1 ) m X ( t1 )][ X ( t 2 ) m X ( t 2 )]
R X ( t1 , t 2 ) m X ( t1 ) m X ( t 2 )
Variansi:
2
X
( t ) V ar [ X ( t )] E [ X ( t ) m X ( t )]
2
C X (t , t )
Prostok-3-firda
2
Contoh:
Misal X ( t ) cos( t )
dengan ~ U ( , )
Tentukan:
a. Mean dari X (t )
b. Fungsi autokorelasi dari X (t )
c. Fungsi autokovariansi dari X (t )
Prostok-3-firda
3
Jawab:
~ U ( , )
pdf ,
a. Mean dari
1
,
f ( ) ( )
0 , lainnya
1
,
2
0 , lainnya
X (t )
E [ X ( t )]
cos( t ) f ( ) d
1
2
cos( t ) d
1
2
sin( t )
0
Prostok-3-firda
4
b. Fungsi autokorelasi dari X (t )
R X ( t1 , t 2 ) E [ X ( t1 ) X ( t 2 )]
E [cos( t1 ). cos( t 2 )]
1
E [cos( ( t1 t 2 ) 2 ) cos( ( t1 t 2 ))]
2
1
2
cos ( t
1
t 2 ) 2 .
1
2
d
1
2
cos ( t 1 t 2 )
…
1
2
cos ( t1 t 2 )
Prostok-3-firda
5
c. Fungsi autokovariansi dari X (t )
C X ( t1 , t 2 ) R X ( t1 , t 2 ) m X ( t1 ).m X ( t 2 )
karena m X ( t ) 0 , maka
C X ( t1 , t 2 ) R X ( t1 , t 2 )
1
2
cos ( t1 t 2 )
Prostok-3-firda
6
Diberikan proses stokastik X(t) dan Y(t)
Proses X(t) dan Y(t) disebut bebas jika
random variabel X(t1), X(t2),…,X(tk) dan
Y ( t ), Y ( t ), ..., Y ( t ) bebas k , j
1
1
1
2
1
k
Kros korelasi dari X(t) dan Y(t)
R X ,Y ( t1 , t 2 ) E [ X ( t1 )Y ( t 2 )]
Proses X(t) dan Y(t) disebut saling tegak lurus
jika RX,Y(t1,t2) = 0
Prostok-3-firda
7
Cross-kovariansi dari X(t) dan Y(t)
C X ,Y ( t1 , t 2 ) C o v ( X ( t1 ), Y ( t 2 ))
E [ X ( t1 ) m X ( t1 )][Y ( t 2 ) m Y ( t 2 )]
R X ,Y ( t1 , t 2 ) m X ( t1 ) m Y ( t 2 )
Proses X(t) dan Y(t) disebut tidak berkorelasi
jika CX,Y(t1,t2) = 0
Prostok-3-firda
8
Proses Stokastik Stasioner
Proses stokastik X ( t ), t T
dikatakan stasioner
jika distribusi bersama dari beberapa sample waktu
tidak berubah terhadap pergeseran waktu
Atau
F X ( x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n ) F X ( x1 ,..., x n ; t1 h ,..., t n h )
Prostok-3-firda
9
Proses stokastik stasioner orde pertama
FX ( x , t ) FX ( x , t h ) FX ( x )
m X ( t ) E ( X ( t )) m
Var ( X ( t ))
2
Prostok-3-firda
10
Proses stokastik stasioner orde kedua
F X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) F X ( x1 , x 2 ; 0, t 2 t1 ), t1 , t 2
Hal ini mengakibatkan fungsi autokorelasi
dan autokovariansi hanya tergantung pada
t2-t1
R X ( t1 , t 2 ) R X [ t 2 t1 ], t1 , t 2
C X ( t1 , t 2 ) C X [ t 2 t1 ], t1 , t 2
Prostok-3-firda
11
Proses stokastik X(t) disebut wide-sense Stasioner
jika
m X ( t ) m (k o n stan )
d an
C X ( t1 , t 2 ) C X [ t 2 t1 ], t1 , t 2
wide –sense
stasioner
stasioner
Prostok-3-firda
12
Proses Saling Bebas (Independent processes)
Suatu proses stokastik X ( t ), t T ,
dikatakan proses yang saling bebas jika
n
F X ( x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n )
F
X
( xi ; ti )
i 1
Prostok-3-firda
13
Kenaikan bebas (independent increments)
Proses stokastik waktu kontinu X ( t ), t 0
dikatakan mempunyai kenaikan bebas jika
untuk setiap 0 t 0 t1 t 2 ,... t n , var acak
X ( t1 ) X ( t 0 ), X ( t 2 ) X ( t1 ),..., X ( t n ) X ( t n 1 )
saling bebas.
dengan X ( t i ) X ( t i 1 ) disebut kenaikan.
Prostok-3-firda
14
e. Kenaikan stasioner (stationary increments)
Proses stokastik waktu kontinu { X ( t ), t 0}
dikatakan mempunyai kenaikan stasioner
jika X ( t s ) X ( t ) mempunyai distribusi
yang sama t 0 .
Prostok-3-firda
15
f. Kenaikan bebas stasioner
(stationary independent increments)
Proses stokastik waktu kontinu { X ( t ), t 0}
dikatakan mempunyai kenaikan bebas stasioner
jika X ( t 2 s ) X ( t1 s ) mempunyai distribusi
yang sama t 2 t1 0 dan s 0 .
Prostok-3-firda
16
Soal
1. Jika X ( t ) A cos 2 t , A var acak dan A ~ U ( 1,1)
Tentukan: a. mean
X (t )
b.Fungsi autokorelasi
X (t )
c. Fungsi autokovariansi
Prostok-3-firda
X (t )
17