Transcript ノート04

有限幾何学
第4回
有限幾何学 第4回
1. 中国人郵便配達人問題
1. 中国人郵便配達人問題
2. ハミルトングラフ
1. 用語の説明
2. ハミルトン閉路問題
1. 中国人郵便配達人問題
1.1. 中国人郵便配達人問題
右下図の様に3×3のブロックになっている街路がある．
郵便配達人はこの上の1点Pから出発し，
全ての道を通ってPに戻ってこなければならない．
同じ道を何回通ってもかまわないが，
郵便配達人としては，当然、最短で回りたい．
ブロックの1辺の長さを1とすると，
最短経路の長さは、いくつになるか？
「たけしのコマネチ大学数学科」より
P
1.1. 中国人郵便配達人問題
ヒント：
交差点と四つ角を頂点とみなし，
頂点間を歩くたびに辺でつなぐことによりグラフを構成する
P
1.1. 中国人郵便配達人問題
ヒント：
交差点と四つ角を頂点とみなし，
頂点間を歩くたびに辺でつなぐことによりグラフを構成する
P
1.1. 中国人郵便配達人問題
ヒント：
Pから出発し，Pに戻ってくるので，
構成されたグラフはオイラーグラフ
P
1.1. 中国人郵便配達人問題
ヒント：
オイラーの定理
G：位数2以上の連結グラフ
Gがオイラーグラフ
Gの全ての頂点の次数が偶数
P
1.1. 中国人郵便配達人問題
解答：
全ての道を通らなければならないので，
構成されるグラフは以下のグラフに幾つか辺を加えたものになる．
P
1.1. 中国人郵便配達人問題
解答：
構成されるグラフはオイラーグラフなので，
全ての頂点の次数が偶数．
次数が奇数の頂点は以下の赤い8頂点．
P
1.1. 中国人郵便配達人問題
解答：
次数が奇数の8頂点を偶数の次数にするには，
最低4辺の追加が必要で，次のように4辺追加することにより
全ての頂点の次数を偶数にすることができる．
P
1.1. 中国人郵便配達人問題
解答：
全ての頂点の次数が偶数なので，以下のグラフはオイラーグラフ．
グラフの構成の仕方より，以下のグラフのオイラー回路を
PからたどってPに戻ってくるのが最短経路となる.
P
1.1. 中国人郵便配達人問題
解答：
∴ 最短経路の長さ = 以下のグラフの辺の本数 = 28
P
1.1. 中国人郵便配達人問題
中国人郵便配達人問題
重み付きグラフの全ての辺を含む閉じた歩道で
重みが最小のものを求める問題
4 2
2
1
3
4
2
1
3
5
重み付きグラフ：
グラフの各辺eに重みと呼ばれる
実数値w(e)が割り当てられているグラフ
歩道の重み：歩道に含まれる辺の重みの総和
1.1. 中国人郵便配達人問題
中国人郵便配達人問題の解法
辺e=uvの2重化：頂点uとvを重みw(e)の新しい辺で
更に結ぶ操作
w(e)
w(e)
1.1. 中国人郵便配達人問題
中国人郵便配達人問題の解法
(1) 辺の2重化を何回か行い，
次の条件を満たすグラフG*を構成する．
(i) G*はオイラーグラフ
(ii) (i)のもとで ∑ w(e) が最小
e ∈ E(G*)-E(G)
(2) G*のオイラー回路を見つける
1.1. 中国人郵便配達人問題
中国人郵便配達人問題の解法
(1) 辺の2重化を何回か行い，
次の条件を満たすグラフG*を構成する．
(i) G*はオイラーグラフ
(ii) (i)のもとで ∑ w(e) が最小
e ∈ E(G*)-E(G)
(2) G*のオイラー回路を見つける
一般のグラフにおいて
効率よくG*を構成する方法は知られていない．
1.1. 中国人郵便配達人問題
中国人郵便配達人問題の解法
(1) 辺の2重化を何回か行い，
次の条件を満たすグラフG*を構成する．
(i) G*はオイラーグラフ
(ii) (i)のもとで ∑ w(e) が最小
e ∈ E(G*)-E(G)
(2) G*のオイラー回路を見つける
奇点を丁度2つ持つグラフに対しては
効率よくG*を構成することができる
1.1. 中国人郵便配達人問題
奇点を丁度2つ持つグラフの
中国人郵便配達人問題の解法
入力：奇点を丁度2つ持つ連結な重み付きグラフ
出力：中国人郵便配達人問題の解
1.1. 中国人郵便配達人問題
奇点を丁度2つ持つグラフの
中国人郵便配達人問題の解法
手順1：2個の奇点間の重み最小の道を求める
手順2：手順1で求めた道上の辺を2重化する
手順3：手順2で得られたグラフのオイラー回路を求める
1.1. 中国人郵便配達人問題
奇点を丁度2つ持つグラフの
中国人郵便配達人問題の解法
アルゴリズムの説明
1
3
2
4
u
3
2
v
辺の2重化を行いオイラーグラフにする．
1.1. 中国人郵便配達人問題
奇点を丁度2つ持つグラフの
中国人郵便配達人問題の解法
アルゴリズムの説明
1
3
2
4
u
3
2
v
無駄のない辺の2重化を行うと，
追加された辺を用いて
構成されるグラフは u-v 道になる．
1.1. 中国人郵便配達人問題
奇点を丁度2つ持つグラフの
中国人郵便配達人問題の解法
アルゴリズムの説明
u
u （奇点）から辺の2重化をスタートし，次々に辺の2重化を行う
無駄のない辺の2重化を行うと，
追加された辺を用いて
構成されるグラフは u-v 道になる．
1.1. 中国人郵便配達人問題
奇点を丁度2つ持つグラフの
中国人郵便配達人問題の解法
アルゴリズムの説明
⇐ ここが無駄，2重化する必要がない
u
一度通った頂点に戻るのは無駄のある辺の2重化となる
無駄のない辺の2重化を行うと，
追加された辺を用いて
構成されるグラフは u-v 道になる．
1.1. 中国人郵便配達人問題
奇点を丁度2つ持つグラフの
中国人郵便配達人問題の解法
アルゴリズムの説明
v
u
辺の2重化は次の奇点 v まで続く
無駄のない辺の2重化を行うと，
追加された辺を用いて
構成されるグラフは u-v 道になる．
1.1. 中国人郵便配達人問題
奇点を丁度2つ持つグラフの
中国人郵便配達人問題の解法
アルゴリズムの説明
3
1 1
3
2
4
u
3
2
v
uとvを結ぶ重みが最小の道を探す
注意：重み最小の u-v 道は効率よく求めることができる
(ダイキストラのアルゴリズム)
1.1. 中国人郵便配達人問題
奇点を丁度2つ持つグラフの
中国人郵便配達人問題の解法
アルゴリズムの説明
3
1 1
3
2
4
u
3
2
v
オイラーグラフのオイラー回路は
効率よく求めることができる（フラーリのアルゴリズム）
2. ハミルトングラフ
2.1 用語の説明
ハミルトン閉路： グラフの全ての頂点を含む閉路
ハミルトングラフ：ハミルトン閉路をもつグラフ
ハミルトン道：
グラフの全ての頂点を含む道
2.1 用語の説明
ハミルトングラフ
ハミルトングラフではないが
ハミルトン道を含むグラフ
2.1 用語の説明
注意
ハミルトン閉路：グラフの全ての頂点を含む閉路
各頂点を一度だけ通る
オイラー回路： グラフの全ての辺を含む回路
同じ頂点を何度通ってもよい
各辺を一度だけ通る
2.2 ハミルトン閉路問題
ハミルトン閉路問題
与えられたグラフが
ハミルトングラフであるかどうかを調べる問題
グラフがハミルトングラフであるための
必要十分条件は知られていない
注意：オイラーグラフであるための必要十分条件は
全ての頂点の次数が偶数であること
2.2 ハミルトン閉路問題
ハミルトン閉路問題
与えられたグラフが
ハミルトングラフであるかどうかを調べる問題
効率よく最適解を求めるアルゴリズムは知られていない
注意：オイラーグラフであるかどうかの判定は簡単
∵全ての頂点の次数が
偶数であるかどうかを調べればよい
2.2 ハミルトン閉路問題
ハミルトン閉路問題
与えられたグラフが
ハミルトングラフであるかどうかを調べる問題
グラフがハミルトングラフであるための
必要条件と十分条件に関して盛んに研究がなされている
ハミルトン閉路問題に関連した
アルゴリズムの研究が盛んになされている
2.2 ハミルトン閉路問題
ハミルトン閉路問題
与えられたグラフが
ハミルトングラフであるかどうかを調べる問題
関連する問題：
巡回セールスマン問題
重み付きグラフにおいて
重みが最小のハミルトン閉路を求める問題
2.2 ハミルトン閉路問題
次のハミルトングラフの特徴は，
グラフがハミルトングラフではないことを調べる際に役に立つ
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，k(G-S) ≦|S|
k(G-S)：GからSを取り除いてできるグラフの連結成分の数
2.2 ハミルトン閉路問題
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，k(G-S) ≦|S|
証明：C：Gのハミルトン閉路
S：空ではない S⊆V(G) とする．
このとき，
k(C-S) ≦|S|．
C
2.2 ハミルトン閉路問題
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，k(G-S) ≦|S|
証明：C：Gのハミルトン閉路
S：空ではない S⊆V(G) とする．
このとき，
k(C-S) ≦|S|．
C
2.2 ハミルトン閉路問題
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，k(G-S) ≦|S|
証明：C：Gのハミルトン閉路
S：空ではない S⊆V(G) とする．
このとき，
k(C-S) ≦|S|．
C-SはG-Sの全域部分グラフなので，
k(G-S) ≦k(C-S)．
∴ k(G-S) ≦|S|
C
2.2 ハミルトン閉路問題
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，k(G-S) ≦|S|
u
v
w
左のグラフはハミルトングラフではない
∵ k(G-{u,v,w})=5, |{u,v,w}|=3 より，
ある空ではないS⊆V(G)に対して，
k(G-S) >|S|となるので
2.2 ハミルトン閉路問題
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，k(G-S) ≦|S|
注意： 逆は成立しない
例えば左のグラフは，
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，
k(G-S) ≦|S|となるが
ハミルトングラフではない
提出課題（5/9）
教科書：
P.37 問 2.6
提出課題（5/9）
knight R包
tour 問題
n×n のチェス盤上の全ての正方形をナイトが丁度1回ずつ
通って出発点に戻ることが可能かどうかを考える問題．
knightの動かし方：
左図において
赤丸の位置から移動できる位置は青丸の位置
提出課題：n = 4の場合を考えよ．可能ならば道順を書き，
不可能ならば理由を述べよ.
提出課題（5/9）
knight R包
tour 問題
n×n のチェス盤上の全ての正方形をナイトが丁度1回ずつ
通って出発点に戻ることが可能かどうかを考える問題．
ヒント：各正方形内に頂点を配置し，
ナイトが移動可能な頂点間を辺で結び
グラフG（2部グラフ）を構成すると，
Gがハミルトングラフであるかどうかという
問題に置き換えることができる．
提出課題：n = 4の場合を考えよ．可能ならば道順を書き，
不可能ならば理由を述べよ.
提出課題（5/9）
knight R包
tour 問題
n×n のチェス盤上の全ての正方形をナイトが丁度1回ずつ
通って出発点に戻ることが可能かどうかを考える問題．
ヒント：各正方形内に頂点を配置し，
ナイトが移動可能な頂点間を辺で結び
グラフG（2部グラフ）を構成すると，
Gがハミルトングラフであるかどうかという
問題に置き換えることができる．
発展課題：nが奇数の場合，不可能であることを示せ．