Transcript ノート05

有限幾何学
第5回
有限幾何学 第5回
1. ハミルトングラフ
1. 必要条件と十分条件
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトン閉路 ：グラフの全ての頂点を含む閉路
ハミルトングラフ ：ハミルトン閉路をもつグラフ
ハミルトン道
：グラフの全ての頂点を含む道
ハミルトングラフ
ハミルトングラフではないが
ハミルトン道を含むグラフ
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトン閉路 ：グラフの全ての頂点を含む閉路
ハミルトングラフ ：ハミルトン閉路をもつグラフ
ハミルトン道
：グラフの全ての頂点を含む道
グラフがハミルトングラフであるための
必要十分条件は知られていない
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトングラフであるための必要条件の例
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，K(G-S) ≦|S|
k(G-S)：GからSを取り除いてできるグラフの連結成分の数
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，K(G-S) ≦|S|
証明：C：Gのハミルトン閉路
S：空ではない S⊆V(G) とする．
このとき，
k(C-S) ≦|S|．
C
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，K(G-S) ≦|S|
証明：C：Gのハミルトン閉路
S：空ではない S⊆V(G) とする．
このとき，
k(C-S) ≦|S|．
C
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，K(G-S) ≦|S|
証明：C：Gのハミルトン閉路
S：空ではない S⊆V(G) とする．
このとき，
k(C-S) ≦|S|．
C-SはG-Sの全域部分グラフなので，
k(G-S) ≦k(C-S)．
∴ k(G-S) ≦|S|
C
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，K(G-S) ≦|S|
u
v
w
左のグラフはハミルトングラフではない
∵ k(G-{u,v,w})=5, |{u,v,w}|=3 より，
ある空ではないS⊆V(G)に対して，
K(G-S) >|S|となるので
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトングラフであるための必要条件の例
グラフGがハミルトングラフ
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，K(G-S) ≦|S|
注意： 逆は成立しない
例えば左のグラフは，
空ではない任意のS⊆V(G)に対して，
K(G-S) ≦|S|となるが
ハミルトングラフではない
1.1 必要条件と十分条件
次に十分条件について考える
完全グラフはハミルトングラフ
完全グラフから多少辺を除いてもハミルトングラフ
辺の本数に関する問題
辺の本数がどのくらい多ければハミルトングラフであるか？
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトングラフであるための十分条件の例
辺の本数に関する条件
G：位数n≧3の単純グラフに対し，
|E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+2
Gはハミルトングラフ
1.1 必要条件と十分条件
完全グラフはハミルトングラフ
完全グラフは各頂点の次数が|V(G)|-1のグラフ
各頂点の次数が|V(G)|-1より多少小さくてもハミルトングラフ
次数に関する問題
各頂点の次数がどれぐらい大きければハミルトングラフであるか？
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトングラフであるための十分条件の例
次数に関する条件（Dirac）
G：位数n≧3の単純グラフに対し，
dG(v) ≧ n/2 for ∀v ∈ V(G)
Gはハミルトングラフ
1.1 必要条件と十分条件
ハミルトングラフであるための十分条件の例
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
「dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)」は
「dG(v) ≧ n/2 for ∀v ∈ V(G)」よりも弱い条件
∴ Diracの定理はOreの定理から導くことができる
1.1 必要条件と十分条件
補足1：条件の強弱に関して
2つの条件AとBに対して，A ⇒ B が成り立つとき，
AはBより強い条件，BはAより弱い条件であるという．
補足2：条件に強弱関係がある2つの定理に関して
「定理1：A ⇒C」 と 「定理2：B ⇒ C」 に対して，
BがAより弱い条件であるとき（A ⇒B が成り立つ），
定理1は定理2より導くことができる．
∵ 定理2が成り立つとすると，A ⇒ B ⇒ C となるので
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：上の定理が正しくないと仮定し，矛盾を導く．
上の定理が正しくないと仮定すると，
「定理の仮定を満たすが，ハミルトングラフではないグラフ」
が存在する．
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：上の定理が正しくないと仮定すると，
「定理の仮定を満たすが，
ハミルトングラフではないグラフ」・・・① が存在する．
①のグラフで，
辺を追加してしまうと①のグラフではなくなるものをGとする．
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：「定理の仮定を満たすが，
ハミルトングラフではないグラフ」・・・①
①のグラフ
①のグラフ
辺を追加していく
注：少なくとも一つは
①のグラフが存在する
G
1辺追加すると
注：辺を追加しても
定理の仮定を満たす
①ではない
グラフ
注：辺を追加し続けると
ハミルトングラフになる
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：Gの非隣接な2頂点u,vに
辺uvを加えたグラフはハミルトングラフ．
u
v
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：Gの非隣接な2頂点u,vに
辺uvを加えたグラフはハミルトングラフ．
Gにuとvを結ぶハミルトン道Pが存在する．
u
v
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：Gにuとvを結ぶハミルトン道Pが存在する．
P
u
v
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：Gはハミルトングラフではないので
以下のような状況は起こり得ない．
v
u
NG(u) と NG(v) が P上隣同士で交差している状況
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：Gはハミルトングラフではないので
以下のような状況は起こり得ない．
u
∵ Gがこのようなハミルトンサイクルを持ってしまうので
v
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：NG(v)に属する各頂点に対して，
V(G)-NG(u)に属する異なる頂点を対応させることができる．
u
x
y
f(x)
z
f(y)
v
f(z)
x∈NG(v) に対し，x の右隣の頂点 f(x) ∈V(G)-NG(u) を対応させる
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：∴ NG(v)からV(G)-NG(u)への単射fが存在する ．
u
x
v
f(x)
x∈NG(v) に対し，x の右隣の頂点 f(x) ∈V(G)-NG(u) を対応させる
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：また，NG(u) ⊆V(P)-{ u }-f(NG(v)) が成立．
u
x
y
f(x)
z
f(y)
v
f(z)
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
証明：NG(u) ⊆V(P)-{ u }-f(NG(v)) と u ∉ f(NG(v)) と fが単射より，
dG(u) =|NG(u)| ≦ |V(P)|-1-|f(NG(v))|=n-1-|NG(v)|=n-1-dG(v)．
∴ dG(u)+dG(v) ≦ n-1 となり矛盾
1.1 必要条件と十分条件
次数に関する条件（Ore）
G：位数n≧3以上の単純グラフに対し，
dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)
Gはハミルトングラフ
「dG(u)+dG(v) ≧ n-1 for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)」・・・①
だと上の定理は成立しない．
このことを示すには，
例えば，条件①を満たすが，
ハミルトングラフではないグラフの例をつくればよい．
1.1 必要条件と十分条件
「dG(u)+dG(v) ≧ n-1 for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)」・・・①
を満たすがハミルトングラフではないグラフの例：
完全2部グラフ Km,m+1
m個
u
v
m+1個
n=|V(G)|=2m+1.
非隣接な2頂点u,vで
次数の和が最小になるものは左図の2頂点で，
dG(u)+dG(v)=2m=n-1
∴ このグラフは条件①を満たす．
1.1 必要条件と十分条件
「dG(u)+dG(v) ≧ n-1 for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)」・・・①
を満たすがハミルトングラフではないグラフの例：
完全2部グラフ Km,m+1
m個
S
u
v
ハミルトングラフではない
∵ 左図の頂点集合Sに対し，k(G-S) > |S|
m+1個
提出課題（5/16）
辺の本数に関する条件
G：位数n≧3の単純グラフに対し，
|E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+2
Gはハミルトングラフ
問題：
(1) |E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+1だと上の定理が成立しない
理由を述べよ．
(2) Oreの定理を用いて上の定理を証明せよ．
(3) 上の定理の仮定とDiracの定理の仮定の間には
強弱関係がない．その理由を述べよ．
提出課題（5/16）
辺の本数に関する条件
G：位数n≧3の単純グラフに対し，
|E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+2
Gはハミルトングラフ
ヒント：
(1) |E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+1だと上の定理が成立しない
理由を述べよ．
・|E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+1だがハミルトングラフではない例を作る
・位数n-1の完全グラフの辺の数は(n-1)(n-2)/2
提出課題（5/16）
辺の本数に関する条件
G：位数n≧3の単純グラフに対し，
|E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+2
Gはハミルトングラフ
ヒント：
(2) Oreの定理を用いて上の定理を証明せよ．
「|E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+2」のもとで，
「dG(u)+dG(v) ≧ n for ∀u≠∀v ∈ V(G) with uv ∉ E(G)」が
成立することを示せばよい
提出課題（5/16）
辺の本数に関する条件
G：位数n≧3の単純グラフに対し，
|E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+2
Gはハミルトングラフ
ヒント：
(2) Oreの定理を用いて上の定理を証明せよ．
|E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+2のもとで，
dG(u)+dG(v) < n となる
非隣接なGの2頂点uとvが存在すると仮定し，矛盾を導く
提出課題（5/16）
辺の本数に関する条件
G：位数n≧3の単純グラフに対し，
|E(G)| ≧ (n-1)(n-2)/2+2
Gはハミルトングラフ
ヒント：
(2) Oreの定理を用いて上の定理を証明せよ．
dG(u)+dG(v) < n に注意して辺の数の上限を考える
u
v
G-{u,v}