Transcript File

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
home
MARI KITA
BELAJAR
TRIGONOMETRI
!!!
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
HOME
Kompetensi Dasar dan Pengalaman
Belajar
Kompetensi Dasar
Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa
mampu:
1. Menghayati
pola hidup disiplin,
konsisten, kritis, dan bertanggungjawab.
2. menghayati ras apercaya diri, motivasi
internal dan sikap peduli kepada
lingkungan.
3. Memahami
konsep
perbandingan
trigonometri pada segitiga siku-siku
4. Menemukan sifat-sifat dan hubungan
antar perbandingan trigonometri dalam
segitiga siku-siku.
5. Memahami dan menentukan hubungan
perbandingan trigonometri dari sudut
disetiap kuadran.
6. Memahami konsep fungsi trigonometri
dan menganalisis grafik fungsinya serta
menentukan hubungan nilai fungsi
trignometri sudut-sudut istimewa.
Pengalaman Belajar
Melalui
pembelajaran
materi
trigonometri,
siswa
memperoleh
pengalaman belajar:
1. Menemukan
konsep
perbandingan
trigonometri
melalui pemecahan masalah
otentik.
2. Berkolaborasi
memcahkan
masalah actual dengan pola
interaksi social kultur.
3. Berpikir tingkat tinggi dalam
menyelediki dan mengaplikasikan
konsep
trignometri
dalam
memecahkan masalah otentik.
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
MATERI
MATERI
PENGERTIAN
TRIGONOMETRI
UKURAN SUDUT
PERBANDINGAN
TRIGONOMETRI PADA
SEGITIGA SIKU - SIKU
NILAI PERBANDINGAN
TRIGONOMETRI SUDUT
ISTIMEWA
GRAFIK FUNGSI
TRIGONOMETRI
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
APA ITU TRIGONOMETRI
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
MATERI
PENGERTIAN TRIGONOMETRI
TRIGONOMETRI Yunani
Tri
“Tiga”
Gonomon
“Sudut”
Metria
“Ukuran
“
Sebuah cabang matematika
yang berhadapan dengan sudut
segi tiga dan fungsi
trigonometrik seperti sinus,
cosinus, dan tangen
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
SEJARAH
HOME
Mesir kuno babilonia
& Peradaban lembah
Indus
Matematikawan India
Laghada
Ahli matematika
Yunani Hipparchus
Ptolemy
Silesia Bartholemaeus
Pitiskus
Al-Battani
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
SKETSA TRIGONOMETRI
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
HOME
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
SUDUT
Dalam kajian geometris, sudut didefinisikan
sebagai hasil rotasi dari sisi awal ke sisi
akhir. Selain itu, arah putaran memiliki makna
dalam
sudut
bertanda
“positif”
jika
arah
putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum
jam, dan bertanda “negative” jika arah putarannya
searah dengan arah jarum jam. Arah putaran sudut
juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir
terhadap sisi awal.
Sudut bertanda positif
Sudut bertanda negatif
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
UKURAN SUDUT
Ukuran sudut
Derajat “°”
1
𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
360
1
𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
4
Radian
“Rad”
1
𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
2
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
1 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
Satu putaran
penuh
2π rad
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
DERAJAT
Derajat
(secara
lengkap,
derajat
busur), biasanya disimbolkan dengan °,
adalah ukuran sudut yang dapat dibentuk
pada sebuah bidang datar, menggambarkan
1／360 dari sebuah putaran penuh.
Artinya, besar 1 derajat adalah satu
juring pada lingkaran yang dibagi
menjadi 360 buah juring yang besarnya
sama. Jika sudut tersebut dinyatakan
terhadap sebuah meridian referensi,
sudut
tersebut
menunjukkan
sebuah
lokasi pada sebuah lingkaran besar
sebuah bola
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
RADIAN
Satu
radian
diartikan
sebagaiukuran sudut pusat α yang
panjang busurnya sama dengan jarijari,Jika besar Jika besar
<AOB = α, panjang AB = OA maka
α = rad =1radian
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
CONTOH
MATERI
1
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = ⋯ 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 = ⋯ °
5
Penyelesaian
1
2
1 putaran = 360° = 2𝜋𝑟𝑎𝑑 , jadi putaran = 𝜋𝑟𝑎𝑑.
1
1 1
1
1
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = × =
𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 =
× 360° = 36°
5
5 2 10
10
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA
SEGITIGA SIKU- SIKU
B
P
J
Sinus merupakan perbandingan panjang
sisi depan sudut dengan sisi miring.
Cosinus
merupakan
panjang
sisi
disamping sudut dengan sisi miring.
Tangen merupakan perbandingan panjang
sisi di depan sudut dengan sisi di
samping sudut.
Cosecan merupakan perbandingan panjang
sisi miring dengan sisi di depan sudut.
Secan merupakan perbandingan panjang
sisi miring dengan sisi di samping
susdut.
Cotangen merupakan perbandingan sisi di
samping sudut dengan sisi di depan
sudut.
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
CONTOH
MATERI
Diberikan
segitigasiku-siku
ABC,
siku-siku
<
𝐴𝐵𝐶. Jikapanjangsisi
AB=3
satuan,
BC=4
satuan.
Tentukanlah sin A, cos A, dan tan A.
Penyelesaian :
Denganteoremaphytagorasdiperolehuntukpanjang
AC=5 satuan.
C
𝐶𝐵 4
sin 𝐴 =
=
𝐴𝐵 5
cos 𝐴 =
5
4
𝐴𝐵 3
=
𝐴𝐶 5
𝐵𝐶 4
tan 𝐴 =
=
𝐴𝐵 3
A
3
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
B
NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
SUDUT ISTIMEWA
Di kuadran I : 𝑥 > 0, y>0
sin𝛼 =
+ 𝑦
+ 𝑟
= +𝑟
𝑦
cos𝛼 =
+ 𝑥
+ 𝑟
= +𝑟
tan𝛼 =
+ 𝑦
+ 𝑥
= +𝑥
𝑥
sin𝛼 =
cos𝛼 =
− 𝑦
+ 𝑥
tan𝛼 =
− 𝑦
− 𝑥
sin𝛼 =
cos𝛼 =
𝑦
Di kuadran III : 𝑥 > 0, y>0
− 𝑦
+ 𝑥
Di kuadran II : 𝑥 < 0, y>0
tan𝛼 =
+ 𝑦
𝑦
=
+
+ 𝑟
𝑟
− 𝑥
𝑥
=
−
+ 𝑟
𝑟
+ 𝑦
− 𝑥
𝑦
= −𝑥
Di kuadran IV : 𝑥 > 0, y<0
=
𝑦
−𝑥
sin𝛼 =
− 𝑦
+ 𝑟
= −𝑟
𝑦
=
𝑦
−𝑥
cos𝛼 =
− 𝑥
+ 𝑟
= −𝑟
=
𝑦
+𝑥
tan𝛼 =
− 𝑦
− 𝑥
= +𝑥
𝑥
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
𝑦
CONTOH
4
1. 𝑐𝑜𝑠∅ = − 5 ,𝜗berada di kuadran II,
tentukannilai cosec 𝜗dancotan𝜗.
Penyelesaian :
Sudut𝜗 yang terletak di kuadran II
y
menjadipenentutandanilaiperbandingantrigonometr
i.
3
5
4
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
0
x
Tabel lengkap Nilai perbandingan
trigonometri pada kuadran I, II, III, dan IV
0°
30°
45°
60°
sin
0
1
2
1
2
2
cos
1
1
3
2
1
2
2
tan
0
1
3
3
1
sudut
90°
120°
135°
1
3
2
1
1
3
2
1
2
2
1
2
0
−
3
Takterdefinisi
1
2
− 3
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
−
150°
1
2
1
1
2 −
3
2
2
-1
−
1
3
3
180°
210°
sin
0
1
−
2
cos
-1
tan
0
sudut
−
225°
1
1
−
2 −
3
2
2
1
1
3 −
2
2
2
1
3
3
240°
1
−
270°
-1
300°
315°
330°
1
1
−
3−
2
2
2
1
2
0
1
2
1
2
2
3
Takterdefinisi
− 3
-1
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
−
1
2
1
3
2
−
1
3
3
360°
0
1
0
MATERI
CONTOH
Seorang
anakinginmenentukanbesarsudutdarisebuahperbandingantrigo
nometri.
1
Diberikankepadanyaperbandingansebagiberikut 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
.
2
Tentukannilai𝛼 !
Penyelesaian :
1
sin 𝛼 =
2
𝛼=
𝑠𝑖𝑛−1
1
2
𝛼 = 30°
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
a. Grafik Fungsi y = sin x, x ∈ [0°, 360°].
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
b. Grafik Fungsi y = cos x, x ∈ [0°,360°]
Misalnya
padapersamaan
(cos 𝑥)2 −2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1
.
2
Persamaan
(cos 𝑥) −2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
−
1 merupakanpersamaantrigonometriberbentukpersamaaankuadrat.
Tentunya,
untukpersamaankuadratkitamembutuhkanakarakarpersamaankuadrattersebut. Olehkarenaitudapatditulis :
(cos 𝑥)2 −2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0 ↔ (cos 𝑥 − 1)(cos 𝑥 − 1) = 0
Atau( cos 𝑥 − 1) 2 = 0 ↔ cos 𝑥 = 1
Nilai x memenuhipersamaancos x=1 adalah𝑥 = 0° dan x=360°.
Nilaicos x =-1 berlakuuntuk x=180° dancos x=0 untuk x=90°dan
x=270°. Akibatnya di dapat (0°,1),(90°,0),(180°,1),(270°,0)dan (360°,1)
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
HOME
c. Grafik Fungsi y = tan x, x ∈ [0°,360°].
Dengancara yang sama, menggambarkangrafikfungsi y=sin x
dan y=cosx, grafikfungsi y=tanx, untuk x ∈ [0 ° ,360 ° ]
dapatdigambarkansebagaiberikut.
Grafiktersebutberbedad
engangrafik y=sinxdan
y=cosx.
Khususnyamengenainilai
maksimumdan
minimum
fungsi.
Perhatikannilaifunsidi
saat
x=90
°
dan
x=270 ° darikanan,,
nilai
y=tan
x
menujutakterhingga,
Sebaliknyauntuk x=90°dan x=270°darikiri, nilaai y=tanxmenuju
negative takterhingga
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
HOME
LATIHAN
1. Sudut yang dibentukjarum jam, saatpukul 11.55,
samadenganberaparadian?
2. PadasegitigaXYZ dengansiku-siku di Y, cos Z=
20
tentukannilai tan x dan tan z.
40
3. Diketahuisin x + cos x = 3 dantan x= 1,
tentukanlahnilai sin x dancosx!
1
4. Jikatan x= − 3danx tumpulberapakahnilaidaricos x?
3
5. Tentukan nilai θ jika tan θ= 0!
6. Misalkan diketahui titik-titik berikut ini A(–12,5) dan
∠XOA= α. Dan B(15,–8) dan ∠XOB = θ.Tentukanlah nilai sin
αdan tan α, serta cos θdan tan θ!
7. Diketahuisuatusegitigasiku-siku, dengannilai sinus
3
salahsatusudutlancipnyaadalah . Tentukanlahnilai
2
cosinus, tangensuduttersebut.
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
Pembelajaran tdak di dapat dengan
kebetulan
Ia harus dicari dengan semangat
Dan disimak dengan tekun
Abigail Adams
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI