Елизарова Т.Г.
Download
Report
Transcript Елизарова Т.Г.
Международная молодёжная конференция-школа
«СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ»
23 августа 2012 г.
Объединенный институт ядерных исследований , г. Дубна
Истомина Мария Александровна
Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН,
Москва
Численный алгоритм для решения уравнений
магнитной гидродинамики в приближении мелкой
воды
План доклада
• Введение
• Уравнения магнитной гидродинамики в
приближении мелкой воды и способ их
регуляризации
• Численный алгоритм
• Примеры тестовых задач
Введение
• Четверушкин.Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая
система уравнений. М.: Макс Пресс. 2004.
• Шеретов Ю.В. Динамика сплошных сред при пространственновременном осреднении. М.—Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2009.
• Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета
вязких течений. М.: Научный мир, 2007. (англ. перевод -- Quasi-Gas
Dynamic Equations. Springer 2009)
• http://elizarova.imamod.ru/
• Елизарова Т.Г., Устюгов С.Д. Квазигазодинамический алгоритм
решения уравнений магнитной гидродинамики. Одномерный случай.
Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша №1 за 2011 г.
• Елизарова Т.Г., Устюгов С.Д. Квазигазодинамический алгоритм
решения уравнений магнитной гидродинамики. Многомерный
случай. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша №30 за 2011 г.
Уравнения магнитной гидродинамики в приближении
мелкой воды
h ( hu x )
0,
t
x
( hu x ) ( hu 2x ) ( hB x2 ) gh 2
b
(
) gh
,
t
x
x
x
2
x
( hu y ) ( hu x u y ) ( hB x B y )
0,
t
x
x
( hB x )
0,
t
( hB y ) ( hB y u x ) ( hB x u y )
0,
t
x
x
( hB x )
0.
x
Осреднение уравнений по времени промежутке (t , t t )
f ( x, t )
1
t
t t
f ( x, t ' )* d t' f ( x, t )
t
h hux
0,
x
t
2
2
hu
hu
hB
gh2
b
x
x
x
g h
,
x
x
x 2
x
t
huy huxu y hBx B y
0,
t x
x
hBx
0,
t
hBy hBy u x hBxu y
0,
x
t
hBx
0.
x
f ( x, t )
t
2
2
O ( ), 2
t
h
h h
,
t
u x
u *x u x
,
t
u y
*
uy uy
,
t
Bx
*
Bx Bx
,
t
B y
*
By By
.
t
*
Регуляризованная система уравнений магнитной
гидродинамики в приближении мелкой воды
h jx
0,
j x h ( u x wx ),
t x
2
g
h
wx ( h u x2 h B 2x
),
h x
x
x 2
h u x j x u x h B 2x g h 2
ux 1
1 g h2
2
( h u x ( u x
h B x
))
2
2
t
x
x
x
x
x h x
hx
hu x
hu x
2
( B x
) ( g h
),
x
x
x
x
Регуляризованная система уравнений магнитной
гидродинамики в приближении мелкой воды
hu y
t
j yu x
h Bx B y
hu x
( B x ( B y
(h B y u x )
( h B x u y )))
x
x
x
x
x
x
j y h ( u y w y ),
( h Bx )
t
wy
ux 1
1 g h2
( h u y ( u x
(h B 2
)
x h x ( 2 ))),
x
x h x
h x
( h B x B y h u x u y ),
0,
( h B y ) ( j x B y ) ( j y Bx )
hu x
hu x
( u x ( B y
( h By ux )
( h Bx u y )))
( u y Bx
).
t
x
x
x
x
x
x
x
x
Регуляризованная система уравнений магнитной
гидродинамики в приближении мелкой воды
hx
cзвука
hx
cзвука
hx
cзвука
hx
газодинам ческие
и
т ечения,
RT
hx
гидродинам
ические т ечения,
| ux | g h
hx
| ux | B g h
2
x
гидродинам
ические т еченияс м агнит нымполем.
0 1, 0.5
Разностная схема
2
2
2
2
2
2
g
h
g
h
i 1 / 2 ( h u x ) i 1( h u x ) i ( h B x ) i 1( h B x ) i
i
i 1
w
(
),
1, i1 / 2 h i1 / 2
x
x
x
h i h i 1
h
i1 / 2 h 2 h ,
h i 1 / 2 i 1 i ,
2
u 1, i u 1, i 1
u1,i1 / 2 u 2 u , t h
условие Куранта.
1, i 1 1, i
| u | B gh
u1,i1 / 2 2 .
hˆ i h i j1, i 1 / 2 j1, i 1 / 2
0 ,
t
x
j 1, i 1 / 2 h i 1 / 2 ( u 1, i 1 / 2 w 1, i 1 / 2) ,
x
x
2
x
Распад неподвижного разрыва
Г / д перем. Слева
h
1
ux
0
uy
0
Bx
1
By
0
Справа
2
0
0
0.5
1
James A. Rossmanith A wave propagation method with constrained
transport for ideal and shallow water magnetohydrodynamics /
Ph.D. Dissertation, 2002
Результаты расчета для распада неподвижного
разрыва
t 0.4 сек,
0.5,
0.1.
Результаты расчета для распада
неподвижного разрыва
Результаты расчета для распада неподвижного
разрыва
Распад слабого разрыва
Bx
By
Г / д перем. Слева
h
1
ux
0
uy
1
1
1
Справа
1 0.0001
0
1
1
1 0.0001*
1 0.0001
1 2*0.0001
H. De Sterck Hyperbolic theory of the "shallow
water“ magnetohydrodynamics equations /
Physics of plasmas, 2001, vol. 8, №7
0.9999
0
1
1.(0001)
1.0002
Результаты расчета распада слабого
разрыва
t 0.5 сек,
0.3,
0.1.
Результаты расчета распада слабого
разрыва
Выводы
•
•
•
Метод применен к уравнениям мелкой воды с магнитным полем
Алгоритм считает в двух предельных случаях
Спасибо за внимание!