Transcript función exponencial

Sesión
Contenidos:
↘Función exponencial.
> Elementos de la función
exponencial.
11
↘Gráfico de funciones
exponenciales en el plano
cartesiano.
Profesor: Víctor Manuel Reyes F.
Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011)
Primer Semestre 2012
Aprendizajes esperados:
> Determina intervalos de crecimiento y
decrecimiento, dominio y recorrido, ceros de la
función, esboza la gráfica y determina asíntotas,
a partir de la función exponencial dada
algebraicamente.
> Resuelve ejercicios de aplicación (con enunciado
verbal), que se comportan exponencialmente.
La función exponencial:
En un centro de estudio de alimentos se está analizando el grado de
descomposición de un alimento. Se considera que el alimento está
contaminado si la cantidad de bacterias por milímetro cuadrado es
512 o más.
Si en un comienzo hay una bacteria por milímetro cuadrado y se sabe
que esta bacteria tarda cerca de 20 minutos en reproducirse, ¿cuánto
tiempo tardará el alimento en estar descompuesto?
La función exponencial:
Al comienzo hay una
bacteria por milímetro
cuadrado y se sabe que
esta bacteria tarda
cerca de 20 minutos en
reproducirse
La función exponencial:
La función exponencial:
En general, una expresión de la forma
f(x) = bkx
se llama función exponencial con base b, exponente x y constante
k. Evidentemente el valor de x y el de la base dependerá del tipo de
bacteria, y en general, estos valores dependen del fenómeno en
estudio.
La función exponencial:
La base puede ser cualquier número que no sea uno. En ciencias las
bases más usadas son los números e ≈ 2,7118 y el número 10.

f (x) = ex
y








f (x) =
10x














x







La función exponencial:
Evidentemente que para bases mayores que 1, cuanto más grande
sea, la función crece más rápido.
f (x) = 10x
f (x) = 5x
f (x) = 2x
En estos ejemplos hemos supuesto constante k=1
La función exponencial:
Si el exponente es negativo, la función exponencial decrece. Cuanto
más grande sea la base, más rápido es el decrecimiento.
f (x) = 10-x

y
y

f (x) = e-x
f (x) = 0,0002x























x







x

La función exponencial:
↘Si b > 1 la función es creciente para
todo x ∈ R. f (x) = 7x
↘Si 0 < b < 1 la función es decreciente
para todo x ∈ R. f (x) = 0,6x
↘Si k < 0 la función es decreciente para
todo x ∈ R. f (x) = 2-x
↘El dominio de la función es R y su
recorrido es R+.
↘La función no tiene ni máximos ni
mínimos locales.
Así, la gráfica de la función exponencial sólo se presenta por sobre el
eje x y se extiende infinitamente en sentido horizontal.
La función exponencial de base e:
El número e, esta considerado el número por excelencia del cálculo,
como π para geometría e i para análisis complejo.
1 

1 

m

m
para valores muy grandes de m, con m en los N.
El valor numérico de e con sólo 12 decimales es:
e = 2,718281828459…
La función ex coincide con su derivada, como consecuencia de esto,
describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por
leyes sencillas. Aparece en muchos otros campos de la ciencia y la
técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga
de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT,
etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos
(concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y
muchos más.
La función exponencial de base e:
La función exponencial de base e surge en el estudio de crecimiento
y decrecimiento de poblaciones.
Supongamos que N0 es el número de individuos presentes en una
población en un tiempo t = 0 y k es un número real fijo, el modelo
N(t) = N0 ek t
nos indica el número de individuos que tiene la población en un
tiempo t. Nota que si k > 0 la función N es creciente y por lo tanto
estamos frente a un modelo de crecimiento poblacional. Si k < 0 la
situación se invierte y tenemos un modelo de decrecimiento de
población.
Aplicación función exponencial:
Una bacteria en el oído medio se
incrementa a razón del 2% cada hora.
Supone que al inicio de una infección
bacteriana estaban presentes 120
bacterias. Determina el número de
bacterias N(t) presentes después de t
horas.
¿Cuántas bacterias están presentes en el
organismo después de 40 horas?
Solución:
Es claro del planteamiento del problema, que la función exponencial
resultante debe ser creciente. Utilizando el modelo
N(t) = N0 ek t,
y con los datos aportados, obtenemos que:
N(t) = 120 e0.02 t
Aplicación función exponencial:
N(t) = 120 e0.02 t
Pasadas 40 horas el número de
bactérias presentes será de
N(40) ≈ 267.
Aplicación función exponencial:
Muchas drogas absorbidas por el
cuerpo humano siguen una ley de
decaimiento exponencial, debido
a que el metabolismo propio de la
acción de enzimas degradan
sustancias y aceleran sus
reacciones de descomposición.
Por ejemplo, si N es la cantidad de
Nicotina en microgramos por cm3
de sangre presente en el
organismo en el transcurso de t
días, entonces
N(t) = 457e-0,08t
Aplicación función exponencial:
Decaimiento radioactivo
La cantidad que queda de una muestra de una sustancia radiactiva
después de t años viene dada por una función de la forma
Q(t) = 3297e-0,0001t
Al final de 5.000 años quedan 2.000 gramos de la sustancia.
¿Cuántos gramos había inicialmente?
Aplicación función exponencial:
La curva logística
Estas curvas son modelos bastante precisos del crecimiento de una
población cuando los factores ambientales imponen un límite
superior al tamaño posible de la población, o en el caso que los
índices de natalidad disminuyen cuando la población aumenta, por
ejemplo. También describen la propagación de epidemias, y
también aparecen en muchas reacciones químicas y físico-químicas.
Aplicación función exponencial:
El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un
comportamiento dado por la función
f ( x) 
250
1 e
2t
que representa la cantidad de personas que la adquieren en un
determinado tiempo t medido en semanas. ¿Cuántas personas
habrán sido contagiados en tres semanas?
Aplicación función exponencial:
La función f en el contexto del planteo del problema, tiene sentido para
t  0 . Observa que cuando parte la epidemia 125 personas están
contagiadas, esto se obtiene de f(0). Como la función es creciente,
sabemos que a medida que pasen las semanas el número de
contagiados aumenta.
Sin embargo después de muchas semanas el número de personas con
la enfermedad tiende a estabilizarse en 250.