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Transportaufgaben
Ist ein Spezialfall der Linearen Optimierung
Sind Gesamtaufkommen und Gesamtbedarf
unterschiedlich, so ist das Transportproblem auf ein
adäquates mit Gleichheit zurückzuführen.
Aufkommensorte A1m
Menge a i
Bedarfsorte B1-n
Bedarfsmenge bk
Transportkosten von A nach B sind cik
Menge von A nach B ist xik
Vorläufige Voraussetzung ist das Gleichgewicht:
◦ Alle Orte versenden ihre ganze Produktion, alle Bedarfsorte
empfangen die ganze Produktion.
a = Aufkommensmenge
m
n
ai bk
b = Bedarfsmenge
i 1
k 1
◦ Zielfunktion = Menge c
◦ Restriktionen:
Kosten x min
A1 : x11 ....x1n a1
B1 : x11 ....xm1 b1
x1n , xm1 ,.... 0
Eine Firma für Baumaschinen besitzt 4 Lager für
Bagger, L1 L4 , die dort mit den Stückzahlen
l1 4, l2 6, l3 1, l4 6 bereit sind. An den Orten
G1 G4 werden an einem Tag g1 4, g2 4, g3 3, g4 6
Bagger angefordert.
Die Kosten des Transports eines Baggers von Li nach
Gk sind in der folgenden Matrix ausgedrückt:
k
WievieleBagger xik
müssen vonwelchemLager zu welcher
Großbaustelle transportiert werden
damit die Gesamtkosten minimalsind?
6 6 7 5
6 9 8 7 i
(cik )
5 5 5 6
4 7 7 4
Bedarf g:
•Gesamtaufkommen = Gesamtbedarf:
l1 l4 4 6 1 6 17 g1 g4 4 4 3 6 17
•Zielfunktion = Stück x Kosten:
Z x11 c11 ..... xmn cmn min
Überführen in eine Transporttabelle für das
Matrixminimumverfahren
Transporttabelle
G
fordert:
4
L liefert:
6
6
7
5
4
6
9
8
7
6
5
5
5
6
1
4
7
7
4
6
4
3
6
Kosten cik
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums = min(6,4)
3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Transporttabelle
L liefert:
4
G fordert: 4|1
6
6
7
5
4
6
9
8
7
6
5
5
5
6
1
7
7
4
6
4
4
3
2 Rest
6
Kostenoptimum = min(6,4), da nicht mehr geliefert werden
kann als nachgefragt wird:
1. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
L liefert:
G
fordert:
4
6
7
5
4
9
8
7
6
5
5
6
1
7
7
3
4
2
2|2
6
4 Rest
1.) Neuer Randwert sind die verbleibenden Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums = min (2,6)
3.) Streichen dieser Zeile
2. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
G
fordert:
4
L liefert:
7
9
8
7
6
5
5
6
1
3
5
4
4
6
0 Rest
4|3
1.) Neuer Randwert sind die restlichen geforderten Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums = min(4,4)
3.) Streichen dieser Spalte
3. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
5
G
fordert:
4
L liefert:
6
7
0
9
8
6
5
1|4
1
3
1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums
3.) Streichen dieser Zeile
4. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
6
0
9
G
fordert:
3
L liefert:
7
0|5
8
6
3
1.) Neuer Randwert sind die restlichen geforderten Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums =min (0,3)
3.) Streichen dieser Zeile da null; würde G null fordern und L drei
5. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
9
G
fordert:
3
8
L liefert:
3
6
3 Rest
3|6
1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums
3.) Streichen dieser Spalte da zuvor die Zeile gestrichen wurde.
6. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
L liefert:
9
G
fordert:
3
3|7
3
1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums
3.) Streichen dieser Zeile
Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche
Lösung
Transporttabelle
4
cik
6
6 0
7
5 4
6
9 3
8 3
7
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
xik
Z = 6x0 + 5x4 + 9x3 + 8x3 + 5x1 + 4x4 + 4x2 = 100
Einführung von Potenzialen nach der
MODI/Potenzialmethode.
Für jedes Lager und für jeden Bedarfsort (Baustelle) werden
die Potenziale u und v festgelegt.
Transporttabelle vk
ui \ vk
ui
4
6
6 0
7
5 4
6
9 3
8 3
7
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
Es gibt m+n-1=7 besetzte Felder, daraus folgen 7 lineare
Gleichungen mit 8 unbekannten Potenzialen
v1 0, da nur eine Lösung benötigt wird
Transporttabelle vk
0
ui \ vk
ui
4
6
6 0
7
5 4
6
9 3
8 3
7
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach ui vk cik
Es werden nur besetzte Felder herangezogen
v c u 0 4u 4
ui
k
ik
4
4
Transporttabelle vk
0
ui \ vk
ui
u4
4
6
6 0
7
5 4
6
9 3
8 3
7
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
Das nächste mögliche besetzte Feld wäre c44
Es werden nur besetzte Felder herangezogen
ui vk cik 4 v4 4; v4 0
Transporttabelle vk
ui
4
v4
0
ui \ vk
4
6
6 0
7
5 4
6
9 3
8 3
7
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
Vervollständigen der restlichen Potenziale nach der
gleichen Methode
ui vk cik
Transporttabelle vk
ui
ui \ vk
0
1
0
0
5
6
6 0
7
5 4
8
6
9 3
8 3
7
4
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
4
4
Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit den Potenzialen.
Betrifft nur nichtbesetzte Felder.
cik ui vk cik
Transporttabelle vk
ui
ui \ vk
0
1
0
0
5
6
6 0
7
5 4
8
6
9 3
8 3
7
4
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
4
4
Einsetzen in die Gleichung cik ui vk cik
c11 5 0 6 1 ;
c13 5 0 7 2
Transporttabelle vk
ui \ vk
ui
0
1
0
7 2
0
5
6 1
6 0
8
6
9 3
8 3
7
4
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
4
4
5 4
Vervollständigen der restlichen Bewertungszahlen
Das Ergebnis ist optimal wenn für alle Bewertungszahlen gilt:
cik ui vk cik 0 Optimalitätskriterium
Transporttabelle vk
ui
ui \ vk
0
5
6
8
6
4
5
4
4
1
0
1
6 0
7
2
9 3
8 3
5 1
5
1
4
7
2
7
0
2
1
3
5 4
7
1
6
2
4 2
Das Ergebnis ist noch nicht optimal wegen +2, +1.
Höchste positive Bewertungszahl wird mit versehen.
Streichen aller Zeilen und Spalten des Tableaus, die
nur ein besetztes Feld aufweisen.
Transporttabelle vk
ui
ui \ vk
0
5
6
8
6
4
5
4
4
1
0
1
6 0
7
2
9 3
8 3
5 1
5
1
4
7
2
7
0
2
1
3
5 4
7
1
6
2
4 2
Achtung: Durch das Streichen können weitere Zeilen/ Spalten mit nur
einem besetzten Feld entstehen.
Geschlossener Zickzackweg abwechselnd in vertikaler
/horizontaler Richtung. (Nur über besetzte Felder)
In den besetzten Feldern wird abwechselnd -/+
hinzugefügt.
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
8
6
4
4
1
1
5
5
4
4
04
vk
0
6 0
7
5 4
9 3
8 3
7
5 1
5
6
7
7
4 2
2
3
1. Vertikal
beginnend
2. Horizontal
3.Vertikal
4. Horizontal
5.Vertikal
6. Kein weiteres
besetztes Feld
7. Mit - beginnend
In Richtung des Zickzagweges nur über besetzte Felder
abwechselnd +/- beginnend mit minus.
Tabelle nachdem alle -Variablen hinzugefügt wurden:
Transporttabelle
vk
ui \ vk
6
ui
6
5
4 4-
6 0+
7
9 3-
5 1
8 3
7
5
6
7
7
5 4-
4 2+
Durch die Korrekturen stimmen alle Zeilen- und
Spaltensummen
Unter allen - -Werten wird der kleinste ausgesucht: 3
Transporttabelle
vk
ui \ vk
6
ui
6
5
4 4-
6 0+
7
9 3-
5 1
8 3
7
5
6
7
7
5 4-
4 2+
min(4,3,4) 3
Das Einsetzen der -Werte ergibt die Werte der neuen
besetzten Felder
Beginnend mit v1 0 ergeben sich neue Potenziale: ui vk cik
Transporttabelle
ui
vk
ui \ vk
0
1
2
0
5
6
6 3
7
5 1
6
6 3
9
8 3
7
4
5
5 1
5
6
4
4 1
7
7
4 5
Mit cik ui vk cik lassen sich die neuen Bewertungszahlen
für nicht besetzte Felder finden.
cik ui vk cik
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
6
vk
1
2
0
6 3
7
5 1
6 3
9
8 3
7
4
5
5 1
5
6
4
4 1
7
7
4 5
1
Bewertungszahl
Da unter c33 noch eine positive Bewertungszahl vorhanden
ist, ist das Optimalitätskriterium noch nicht erreicht.
Ist keine Reihe zu streichen beginnt der Zickzackweg sofort.
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
6
6 3
4
5
4
4 1
1
1
2
6 3
7
9
1
2
5 1
7
2
0
0
8 3
5
7
vk
5 1
1
7
1
1
6
2
4 5
Der Zickzackweg über die besetzten Felder beginnt mit der
höchsten positiven Bewertungszahl vertikal beginnend mit
einem - , hier c33 .
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
1
4
6 3+
5 1
4
4 1
6
1
2
6 3
7
9
2
5 1
7
2
vk
0
0
5 1
8 3-
7
5
6
7
1
1
1
2
4 5
Der Zickzackweg wird fortgesetzt bis alle besetzten Felder
eine -Variable aufweisen.
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
1
1
4
6 3+
5 1
4
4 1-
6
2
6 3+
9
2
5 1-
7
2
7
vk
0
0
5 1-
8 3-
7
5
6
7
1
1
1
2
4 5+
min(1,3,1,1) 1
Der kleinste negative -Wert tritt hier dreifach auf. 1
In diesem Fall wird das erste teuerste Feld ausgesucht.
Die übrigen Basisvariablen erhalten den Wert Null.
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
1
1
4
6 3+
5 1
4
4 1-
6
2
6 3+
9
2
5 1-
7
2
7
vk
0
0
5 1-
8 3-
7
5
6
7
1
1
1
2
4 5+
Das Einsetzen der -Werte ergibt die Werte der neuen
besetzten Felder. 1
Beginnend mitv1 0 ergeben sich neue Potenziale:
Transporttabelle
ui
vk
ui \ vk
0
2
2
0
4
6
64
7
5
6
64
9
82
7
3
5
5 1
6
4
4 0
7
46
5
0
7
ui vk cik
Mit cik ui vk cik lassen sich die neuen Bewertungszahlen in
den unbesetzten Feldern erstellen.
Da alle Bewertungszahlen negativ sind handelt es sich um die
optimale zulässige Basislösung.
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
4
6
6
64
3
5
4
4 0
Zu
Baustelle
1
2
2
2
64
7
1
9
2
5
0
7
2
1
Lager
0
1
5
82
7
5 1
6
7
3
vk
1
46
1
1
3
1
2
3
4
4
Z=6x4+6x4+8x2+5x0+5x1+4x0+4x6=93
Grafische Darstellung der Lösung:
Lager
1
64
64
5 0
82
2
5 1
3
4 0
Zu
Baustelle
1
4 6
2
3
4
4