Transcript Document

Transportaufgaben








Ist ein Spezialfall der Linearen Optimierung
Sind Gesamtaufkommen und Gesamtbedarf
unterschiedlich, so ist das Transportproblem auf ein
adäquates mit Gleichheit zurückzuführen.
Aufkommensorte A1m
Menge a i
Bedarfsorte B1-n
Bedarfsmenge bk
Transportkosten von A nach B sind cik
Menge von A nach B ist xik

Vorläufige Voraussetzung ist das Gleichgewicht:
◦ Alle Orte versenden ihre ganze Produktion, alle Bedarfsorte
empfangen die ganze Produktion.
a = Aufkommensmenge
m
n
ai  bk
b = Bedarfsmenge

i 1

k 1
◦ Zielfunktion = Menge c
◦ Restriktionen:
Kosten x  min
A1 : x11  ....x1n  a1
B1 : x11  ....xm1  b1
x1n , xm1 ,.... 0



Eine Firma für Baumaschinen besitzt 4 Lager für
Bagger, L1  L4 , die dort mit den Stückzahlen
l1  4, l2  6, l3  1, l4  6 bereit sind. An den Orten
G1  G4 werden an einem Tag g1  4, g2  4, g3  3, g4  6
Bagger angefordert.
Die Kosten des Transports eines Baggers von Li nach
Gk sind in der folgenden Matrix ausgedrückt:
k
WievieleBagger xik
müssen vonwelchemLager zu welcher
Großbaustelle transportiert werden
damit die Gesamtkosten minimalsind?


6 6 7 5


6 9 8 7 i
(cik )  
5 5 5 6


 4 7 7 4


Bedarf g:
•Gesamtaufkommen = Gesamtbedarf:
l1  l4  4  6  1  6  17  g1  g4  4  4  3  6  17
•Zielfunktion = Stück x Kosten:
Z  x11  c11  ..... xmn  cmn  min
Überführen in eine Transporttabelle für das
Matrixminimumverfahren
Transporttabelle
G
fordert:
4
L liefert:
6
6
7
5
4
6
9
8
7
6
5
5
5
6
1
4
7
7
4
6
4
3
6
Kosten cik
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums = min(6,4)
3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Transporttabelle
L liefert:
4
G fordert: 4|1
6
6
7
5
4
6
9
8
7
6
5
5
5
6
1
7
7
4
6
4
4
3
2 Rest
6
Kostenoptimum = min(6,4), da nicht mehr geliefert werden
kann als nachgefragt wird:
1. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
L liefert:
G
fordert:
4
6
7
5
4
9
8
7
6
5
5
6
1
7
7
3
4
2
2|2
6
4 Rest
1.) Neuer Randwert sind die verbleibenden Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums = min (2,6)
3.) Streichen dieser Zeile
2. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
G
fordert:
4
L liefert:
7
9
8
7
6
5
5
6
1
3
5
4
4
6
0 Rest
4|3
1.) Neuer Randwert sind die restlichen geforderten Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums = min(4,4)
3.) Streichen dieser Spalte
3. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
5
G
fordert:
4
L liefert:
6
7
0
9
8
6
5
1|4
1
3
1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums
3.) Streichen dieser Zeile
4. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
6
0
9
G
fordert:
3
L liefert:
7
0|5
8
6
3
1.) Neuer Randwert sind die restlichen geforderten Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums =min (0,3)
3.) Streichen dieser Zeile da null; würde G null fordern und L drei
5. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
9
G
fordert:
3
8
L liefert:
3
6
3 Rest
3|6
1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums
3.) Streichen dieser Spalte da zuvor die Zeile gestrichen wurde.
6. Reduzierte Tabelle:
Transporttabelle
L liefert:
9
G
fordert:
3
3|7
3
1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger
2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl
2.) Eintag des Kostenoptimums
3.) Streichen dieser Zeile
Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche
Lösung
Transporttabelle
4
cik
6
6 0
7
5 4
6
9 3
8 3
7
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
xik
Z = 6x0 + 5x4 + 9x3 + 8x3 + 5x1 + 4x4 + 4x2 = 100


Einführung von Potenzialen nach der
MODI/Potenzialmethode.
Für jedes Lager und für jeden Bedarfsort (Baustelle) werden
die Potenziale u und v festgelegt.
Transporttabelle vk
ui \ vk
ui
4
6
6 0
7
5 4
6
9 3
8 3
7
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4


Es gibt m+n-1=7 besetzte Felder, daraus folgen 7 lineare
Gleichungen mit 8 unbekannten Potenzialen
v1  0, da nur eine Lösung benötigt wird
Transporttabelle vk
0
ui \ vk
ui
4
6
6 0
7
5 4
6
9 3
8 3
7
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4


Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach ui  vk  cik
Es werden nur besetzte Felder herangezogen
 v  c u 0  4u  4
ui 
k
ik
4
4
Transporttabelle vk
0
ui \ vk
ui
u4
4
6
6 0
7
5 4
6
9 3
8 3
7
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4



Das nächste mögliche besetzte Feld wäre c44
Es werden nur besetzte Felder herangezogen
ui  vk  cik  4  v4  4; v4  0
Transporttabelle vk
ui
4
v4
0
ui \ vk
4
6
6 0
7
5 4
6
9 3
8 3
7
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4


Vervollständigen der restlichen Potenziale nach der
gleichen Methode
ui  vk  cik
Transporttabelle vk
ui
ui \ vk
0
1
0
0
5
6
6 0
7
5 4
8
6
9 3
8 3
7
4
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
4
4



Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit den Potenzialen.
Betrifft nur nichtbesetzte Felder.
cik  ui  vk  cik
Transporttabelle vk
ui
ui \ vk
0
1
0
0
5
6
6 0
7
5 4
8
6
9 3
8 3
7
4
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
4
4

Einsetzen in die Gleichung cik  ui  vk  cik

c11  5  0  6  1 ;
c13  5  0  7  2
Transporttabelle vk
ui \ vk
ui
0
1
0
7 2
0
5
6 1
6 0
8
6
9 3
8 3
7
4
5
5 1
5
6
7
7
4 2
4
4
4
5 4


Vervollständigen der restlichen Bewertungszahlen
Das Ergebnis ist optimal wenn für alle Bewertungszahlen gilt:
cik  ui  vk  cik  0  Optimalitätskriterium
Transporttabelle vk
ui
ui \ vk
0
5
6
8
6
4
5
4
4
1
0
1
6 0
7
2
9 3
8 3
5 1
5
1
4
7
2
7
0
2
1
3
5 4
7
1
6
2
4 2
Das Ergebnis ist noch nicht optimal wegen +2, +1.


Höchste positive Bewertungszahl wird mit  versehen.
Streichen aller Zeilen und Spalten des Tableaus, die
nur ein besetztes Feld aufweisen.
Transporttabelle vk
ui
ui \ vk
0
5
6
8
 6
4
5
4
4
1
0
1
6 0
7
2
9 3
8 3
5 1
5
1
4
7
2
7
0
2
1
3
5 4
7
1
6
2
4 2
Achtung: Durch das Streichen können weitere Zeilen/ Spalten mit nur
einem besetzten Feld entstehen.


Geschlossener Zickzackweg abwechselnd in vertikaler
/horizontaler Richtung. (Nur über besetzte Felder)
In den besetzten Feldern wird abwechselnd -/+ 
hinzugefügt.
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
8
6
4
4
1
1
5
5
4
4
04
vk
0
6 0
7
5 4
9 3
8 3
7
5 1
5
6
7
7
4 2
2
3
1. Vertikal
beginnend
2. Horizontal
3.Vertikal
4. Horizontal
5.Vertikal
6. Kein weiteres
besetztes Feld
7. Mit -  beginnend


In Richtung des Zickzagweges nur über besetzte Felder
abwechselnd +/- beginnend mit minus.
Tabelle nachdem alle -Variablen hinzugefügt wurden:
Transporttabelle
vk
ui \ vk
6
ui
6
5
4 4-
6 0+
7
9 3- 
5 1
8 3
7
5
6
7
7
5 4- 
4 2+ 


Durch die Korrekturen stimmen alle Zeilen- und
Spaltensummen
Unter allen - -Werten wird der kleinste ausgesucht:   3
Transporttabelle
vk
ui \ vk
6
ui
6
5
4 4-
6 0+
7
9 3- 
5 1
8 3
7
5
6
7
7
5 4- 
4 2+ 
  min(4,3,4)  3


Das Einsetzen der -Werte ergibt die Werte der neuen
besetzten Felder
Beginnend mit v1  0 ergeben sich neue Potenziale: ui  vk  cik
Transporttabelle
ui
vk
ui \ vk
0
1
2
0
5
6
6 3
7
5 1
6
6 3
9
8 3
7
4
5
5 1
5
6
4
4 1
7
7
4 5

Mit cik  ui  vk  cik lassen sich die neuen Bewertungszahlen
für nicht besetzte Felder finden.
cik  ui  vk  cik
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
6
vk
1
2
0
6 3
7
5 1
6 3
9
8 3
7
4
5
5 1
5
6
4
4 1
7
7
4 5
1
Bewertungszahl


Da unter c33 noch eine positive Bewertungszahl vorhanden
ist, ist das Optimalitätskriterium noch nicht erreicht.
Ist keine Reihe zu streichen beginnt der Zickzackweg sofort.
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
6
6 3
4
5
4
4 1
1
1
2
6 3
7
9
1
2
5 1
7
2
0
0
8 3
5
7
vk
5 1
1
7
1
1
6
2
4 5

Der Zickzackweg über die besetzten Felder beginnt mit der
höchsten positiven Bewertungszahl vertikal beginnend mit
einem -  , hier c33 .
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
1
4
6 3+
5 1
4
4 1
6
1
2
6 3
7
9
2
5 1
7
2
vk
0
0
5 1
8 3- 
7
5
6
7
1
1
1
2
4 5

Der Zickzackweg wird fortgesetzt bis alle besetzten Felder
eine -Variable aufweisen.
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
1
1
4
6 3+
5 1
4
4 1- 
6
2
6 3+ 
9
2
5 1- 
7
2
7
vk
0
0
5 1- 
8 3- 
7
5
6
7
1
1
1
2
4 5+ 



  min(1,3,1,1)  1
Der kleinste negative  -Wert tritt hier dreifach auf.   1
In diesem Fall wird das erste teuerste Feld ausgesucht.
Die übrigen Basisvariablen erhalten den Wert Null.
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
5
6
1
1
4
6 3+
5 1
4
4 1- 
6
2
6 3+ 
9
2
5 1- 
7
2
7
vk
0
0
5 1- 
8 3- 
7
5
6
7
1
1
1
2
4 5+ 


Das Einsetzen der  -Werte ergibt die Werte der neuen
besetzten Felder.   1
Beginnend mitv1  0 ergeben sich neue Potenziale:
Transporttabelle
ui
vk
ui \ vk
0
2
2
0
4
6
64
7
5
6
64
9
82
7
3
5
5 1
6
4
4 0
7
46
5
0
7
ui  vk  cik


Mit cik  ui  vk  cik lassen sich die neuen Bewertungszahlen in
den unbesetzten Feldern erstellen.
Da alle Bewertungszahlen negativ sind handelt es sich um die
optimale zulässige Basislösung.
Transporttabelle
ui
ui \ vk
0
4
6
6
64
3
5
4
4 0
Zu
Baustelle
1
2
2
2
64
7
1
9
2
5
0
7
2
1
Lager
0
1
5
82
7
5 1
6
7
3
vk
1
46
1
1
3
1
2
3
4
4
Z=6x4+6x4+8x2+5x0+5x1+4x0+4x6=93

Grafische Darstellung der Lösung:
Lager
1
64
64
5 0
82
2
5 1
3
4 0
Zu
Baustelle
1
4 6
2
3
4
4