Ecuación diferencial lineal homogénea
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Transcript Ecuación diferencial lineal homogénea
1. Conceptos Fundamentales de Ecuaciones
diferenciales. Clasificación y concepto de solución.
2. Ecuaciones de segundo orden homogéneas:
Coeficientes constantes, Cauchy- Euler.
3. Ecuaciones de Segundo orden No Homogéneas:
Método de Variación de parámetros, Coeficientes
Indeterminados
4. Método de Series de Potencias: Ecuación
diferencial de Bessel, Hermite, Legendre,
Laguerre.
5. Función Gamma y Función error.
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27
28
Viernes 28 de octubre
De 9:00 a 12:00 horas, en el salón donde fue
el PROPE
Ecuación diferencial lineal
no homogénea
Resolver la ecuación
homogénea asociada
Encontrar una solución
particular
Ecuación diferencial lineal homogénea
Coeficientes
constantes
Ecuación
característica
Coeficientes
variables
Reducción del orden por la
forma
Ecuación del tipo Euler
Inspiración
Reducción del orden por conocer
una solución
Solución mediante series de
potencias
Encontrar una solución particular de la ecuación no
homogénea
Coeficientes constantes
Coeficientes
indeterminados
Variación de
parámetros
Coeficientes variables
Variación de
parámetros
Una serie de potencias es una
serie infinita de la forma
a x x
n0
n
0
n
a0 a1 x x0 a2 x x0
donde a0 , a1 , a2 , ... son constantes y
x0 es un número fijo.
2
Una serie de potencias
a x x
n0
n
0
n
a0 a1 x x0 a2 x x0
2
es convergente en x si el límite
N
lim an x x0
N
n0
existe y es finito.
n
Una serie de potencias
a x x
n0
n
n
0
a0 a1 x x0 a2 x x0
N
2
es convergente en x si el límite lim an x x0 existe y es finito.
N
n
n0
En cualquier otro caso se dice
que la serie de potencias es
divergente.
Una serie de potencias
a x x
n0
n
n
0
a0 a1 x x0 a2 x x0
N
2
es convergente en x si el límite lim an x x0 existe y es finito.
N
n
n0
En cualquier otro caso se dice que la serie de potencias es divergente.
Una serie puede converger para ciertos
valores de x y diverger para otros.
Si la serie de potencias
a x x
n0
n
0
n
a0 a1 x x0 a2 x x0
2
es convergente para toda x en el intervalo
x x0 r
y es divergente siempre que x x0 r ,
donde 0 r , entonces r es llamado el radio
de convergencia de la serie de potencias.
La serie de potencias
a x x
n0
n
n
0
converge absolutamente en el punto x,
si la serie
a x x
n0
n
converge.
0
n
an
n0
x x0
n
La serie de potencias
a x x
n0
n
0
n
converge
absolutamente en el punto x, si la serie
an x x0 an
n0
n
n0
x x0
n
converge.
Si la serie converge absolutamente, entonces
la serie también converge.
El inverso no es necesariamente cierto.
Una de las pruebas más útiles para la
convergencia absoluta de una serie de
potencias es la prueba de el cociente.
Si an 0, y si, para un valor fijo de x,
lim
n
an 1 x x0
an x x0
n 1
n
an 1
x x0 lim
x x0 L,
n a
n
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de x tales
que x x0 L 1 y diverge si x x0 L 1.
Si x x0 L 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
Una función f x , definida en un intervalo I
que contiene a x0 , es analítica en el punto x0
si f x puede ser expresada como una serie
de potencias (su serie de Taylor)
f x an x x0
n
n0
que tiene un radio de convergencia mayor
que cero.
•Los polinomios, el seno, el coseno y la
exponencial son analíticas en todos lados
•Sumas diferencias y productos de los
polinomios, el seno, el coseno y la
exponencial también son analíticas en todos
lados
•Cocientes de dos de estas funciones son
analíticas en todos los puntos en los cuales
el denominador no se hace cero
2
d y
dy
P
x
Q
x
y
x
2
dx
dx
d2y
dy
P x Q x y x
2
dx
dx
Un punto x0 es llamado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coeficientes
P x y Q x , así como x son funciones
analíticas en x0 .
d2y
dy
P
x
Q x y x
2
dx
dx
Un punto x0 es llamado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes P x y Q x , así como x son funciones analíticas en x0 .
Es decir,
P x Pn x x0
n
n0
Q x Qn x x0
n
n0
y
x n x x0
n
n0
son convergentes para x x0 r con r 0.
d2y
dy
P
x
Q x y x
2
dx
dx
Un punto x0 es llamado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes P x y Q x , así como x son funciones analíticas en x0 .
Si un punto no es un punto ordinario,
se le llama punto singular.
y P x y Q x y 0
El punto x0 es un punto singular
de la ecuación diferencial si
P x o Q x
no son analíticas en x0 .
d2y
dy
P x Q x y x
2
dx
dx
Un punto x0 es llamado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coeficientes
P x y Q x , así como x son funciones
analíticas en x0 .
Si x0 es un punto ordinario de la
ecuación diferencial lineal de segundo orden
d2y
dy
P x Q x y x,
2
dx
dx
entonces todas las soluciones pueden ser desarrolladas
en una única forma como una serie de potencias
y x an x x0 ,
n0
n
x x0 R
donde el radio de convergencia R r.
dy
y
dx
alrededor de
x0 0
dy
y alrededor de x0 0
dx
Es claro, que todos los puntos
del plano complejo C son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
dy
y alrededor de 0
dx
y x an x n
n 0
dy
nan x n 1 nan x n 1
dx n 0
n 1
Sustituyendo en la ecuación
na x
n 1
n
n 1
an x 0
n
n 0
n 1 a
n 0
n 1
x an x 0
n
n
n 0
dy
y alrededor de 0
dx
y x an x n
n0
dy
nan x n 1 nan x n 1
dx n 0
n 1
Sustituyendo en la ecuación
na x
n 1
n 1
n
an x 0
n
n0
n 1 a
n0
n 1
n 1 a
n0
an x 0
n
n 1
x an x 0
n
n
n0
n 1 an 1 an 0
dy
y alrededor de 0
dx
y x an x
n
n 0
an 1
an
n 1
n
n
1
a
a
x
0
n 1
n
n 0
n 1 an 1 an 0
dy
y alrededor de 0
dx
y x an x
n
n 0
an 1
n
n
1
a
a
x
0
n 1
n
n 0
an
n 1
a0
a0
a1 a0
1
a1
a0
a2
2 2 1
a2
a0
a3
3 3 2 1
n 1 an 1 an 0
dy
y alrededor de 0
dx
y x an x
n
n 0
an 1
n
n
1
a
a
x
0
n 1
n
n 0
n 1 an 1 an 0
an
n 1
a0
a0
a1 a0
1
a1
a0
a2
2 2 1
a2
a0
a3
3 3 2 1
a3
a0
a4
4 4 3 2 1
an 1
an
a0
n 1 n 1!
dy
y alrededor de 0
dx
y x an x
n
n 0
n
n 1 an1 an x 0
n 0
n 1 an1 an 0
an 1
an
n 1
1
an a0
n!
n
x
y x a0
n 0 n !
dy
y alrededor de 0
dx
y x an x
n
n 0
n 1 an1 an 0
n
n 1 an1 an x 0
n 0
an 1
an
n 1
n
1
an a0
n!
x
x
y x a0 a0 e
n 0 n !
Si an 0, y si, para un valor fijo de x,
lim
n
an 1 x x0
an x x0
n 1
n
an 1
x x0 lim
x x0 L,
n a
n
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de x tales
que x x0 L 1 y diverge si x x0 L 1.
Si x x0 L 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
dy
y alrededor de 0 ;
dx
n
x
x
y x a0 a0e
n 0 n!
a0
an
n!
an 1
n!
1
an
n 1! n 1
an 1
1
lim
lim
0
n a
n n 1
n
¡La serie converge para todo x R !
2
d y
y
0
2
dx
alrededor de
x0 0
2
d y
y 0 alrededor de x0 0
2
dx
Es claro, que todos los puntos
del plano complejo C son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
d2y
y0
2
dx
alrededor de
x0 0
y x an x n
n0
dy
n 1
nan x nan x n 1
dx n 0
n 1
d2y
n2
n2
n
n
1
a
x
n
n
1
a
x
n
n
2
dx
n0
n2
n n 1 an x
n2
n2
an x n 0
n 0
n0
n0
n
n
n
2
n
1
a
x
a
x
n 0
n2
n
n
2
n
1
a
a
x
0
n2
n
n0
n 2 n 1 an 2 an 0 an 2
an
n 2 n 1
d2y
y0
2
dx
alrededor de
x0 0
an 2
an
n 2 n 1
a0
a1
a0 , a1 , a2
, a3
,
2 1
3 2 1
a2
a0
a3
a1
a4
, a5
4 3 4!
5 4 5!
...
a2 n
a0
1
2 n !
a2 n 1
n
a1
1
2n 1!
n
d2y
y 0 alrededor de
2
dx
x0 0
2n
x
y1 x a0 1
a0 cos x
2 n !
n 0
n
2 n 1
x
y2 x a1 1
a1 sin x
2n 1!
n 0
n
y x a0 cos x a1 sin x
2
d y
dy
x
2
y
0
2
dx
dx
alrededor de
x0 0
2
d y
dy
x
2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
Es claro, que todos los puntos
del plano complejo C son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
2
d y
dy
x
2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
y x an x
n
n0
dy
n 1
nan x
dx n 0
d2y
n2
n n 1 an x
2
dx
n 0
n n 1 a x
n2
n
n2
x nan x
n 1
n 1
2 an x 0
n
n 0
n2
n 1
n 0
n2
n 1
n
n
n
1
a
x
x
na
x
2
a
x
n
n
n 0
n n 1 a x
n2
n
n2
nan x 2 an x 0
n
n 2 n 1 a
n0
n2
x n 2 an x 0
n 2 n 1 a
n 0
n
n 1
n 0
n2
n
n
n 0
an x 0
n
2
d y
dy
x
2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
n 2 n 1 a
n0
an 2
n2
an x 0
n
an
n 1
n 2 n 1 a
n2
n 0
an x 0 an 2
a0
a2 ;
1
a2
a0
a4
;
3 3 1
a4
a0
a6
;
5
5 3 1
a2 n
a0
1
;
2n 1!!
n
n 1, 2,3,... ;
n
an
n 1
a1
a3 ;
2
a3
a1
a5
;
4 4 2
a5
a1
a7
6
642
a2 n 1
a1
1
2n !!
n 1, 2,3
n
d2y
dy
x
2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
a0
a1
n
n
a2 n 1
; n 1, 2,3,... a2 n 1 1
; n 1, 2,3
2n 1!!
2n !!
y1 x 1
n 1
1
n
2n 1!!
x
2n
1 2 n 1
y2 x x
x
n 1 2n !!
n
2
d y
dy
x 2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
y1 x 1
n 1
1
n
2n 1!!
x
2n
1 2 n 1
y2 x x
x
n 1 2n !!
n
y1 x 1
n 1
an
1
n
2n 1!!
1 2 n 1
y2 x x
x
n 1 2n !!
x
2n
;
1
an
2n !!
n
n
1
2n 2 !!
n 1
n 1
2n 1!!
n
1
2n 1!!
n
2n 1!!
1
lim
1
n
2n 1!!
lim
n
(2n 1)!!
lim
n
1
2n !!
n
lim
n
2n !!
(2n 2)!!
1
0
n 2 n 1
1
lim
0
n 1 2 n
el radio de convergencia es infinito.
el radio de convergencia es infinito.
lim
d2y
dy
x 2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
1 2 n 1
1 2 n 1
1 2 n
y2 x x
x
x
x
x
n 1 2n !!
n 0 2 n !!
n 0 2 n !!
n
n
n
pero
2n !! 2n n!
así que
1 2 n
1
y2 x x
x x
n!
n 0 2n !!
n0
x2
x exp
2
n
n
1 x
x
x
n
2
n! 2
n0
2n
n
2
n
2
d y
dy
x 2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
y1 x 1
n 1
1
n
2n 1!!
x
2n
1 2 n 1
x
y2 x x
x
x exp
n 1 2n !!
2
n
2
y1 x 1
n 1
1
n
2n 1!!
x2n
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
4
6
1 2 n 1
y2 x x
x
n 1 2n !!
n
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
0.4
0.6
4
6
x2
y2 x x exp
2
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
0.4
0.6
4
6
1 2 n 1
y2 x x
x
n 1 2n !!
n
x2
y2 x x exp
2
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
0.4
0.6
4
6
2
d y
dy
b x c x y 0 dada la solución y1 x
2
dx
dx
x
y x y1 x
x0
1
exp b d d
2
y1
0
x
y x y1 x
x0
1
exp b d d
2
y1
0
d2y
dy
x 2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
y2 x xe
y2 x xe
xe
2
x
2
x
x2 x 2
e
e
1 2
2
x 2 exp d d xe x 2 exp 2 d
0
0
0
x2 x
2
1 2
2
x2
2
e
x 2 d
0
2
1 2
2
e
d
2 d d
1 e
1 2
2
1 d
e
d
e
e
1 2
2
e
1 2
2
d
1 2
2
1 2
2
d
1 2
2
e
d e
1 2
2
d
x
y x y1 x
x0
exp b d d
2
y1
0
1
d2y
dy
x
2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
y2 x xe
y1 x xe
x2 x
2
x0
e
1 2
2
2
d
e
e
1 2
2
1 2
2
2
x2
2
d
e
1 2
2
d
y1 x xe
x2
2
12 x2
1 2
x2 x 1 2
e
2
2
2
e d 1 xe e d
x
0
2
d y
dy
x 2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
y1 x 1
n 1
1
n
2n 1!!
x
2n
1 xe
x2 x
2
e
0
2
1
x
2 n 1
x exp
x
y2 x x
n 1 2n !!
2
n
1 2
2
d
x
y x y1 x
x0
1
exp b d d
2
y1
0
d2y
dy
x
2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
y1 x 1 xe
x2 x
2
e
1 2
2
d ;
y2 x xe
x2
2
0
1 2
2
2
x
e
0
1 2
2
2 d d
x
2
2
d
d 2 d
2
d 2 e d
2
0
y2 x 1 2 xe
x2
2
x
2
0
x
e d 1 2 x Dawson
2
2
x
y x y1 x
x0
1
exp b d d
2
y1
0
d2y
dy
x
2 y 0 alrededor de x0 0
2
dx
dx
x
y1 x 1 2 x Dawson
;
2
y x c1 xe
x2
2
y2 x xe
x2
2
x
c2 2 c2 x Dawson
2
F ( x) exp x
2
x
0
exp y dy
2
x
1 2 x Dawson
2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
4
6
1
n 1
1
n
2n 1!!
x
2n
1.0
x
1 2 x Dawson
2
0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
4
6
2
d y dy
x 2
xy 0
dx
dx
alrededor de
x0 1
2
d y 1 dy
y 0 alrededor de x0 1
2
dx
x dx
Es claro, que el punto x 0
NO es un punto ordinario de la
ecuación. Sin embargo, todos
los demás puntos si son puntos
ordinarios, en particular, x 1 es
un punto ordinario de esta ecuación.
2
d y dy
x 2
xy 0 alrededor de x0 1
dx
dx
y x an x 1
n
n 0
dy
n 1
nan x 1
dx n 0
d2y
n2
n n 1 an x 1
2
dx
n 0
x n n 1 an x 1
n 0
n2
nan x 1
n 0
n 1
x an x 1 0
n 0
n
x n n 1 an x 1
n2
n 0
n2
n 0
n n 1 an x 1
n2
n0
nan x 1
n 1
n 0
1 x 1 n n 1 an x 1
nan x 1
n 0
x an x 1 0
n
n 0
n 1
1 x 1 an x 1 0
n2
n0
nan x 1
n0
an x 1 x 1 an x 1 0
n
n 0
n n 1 an x 1
n2
n
n 0
n2
n n 1 an x 1
n2
an x 1 an x 1
n 0
n
n0
n 1
0
n 1
n
n 0
x 1 n n 1 an x 1
nan x 1
n 1
n 1
n 1
n n 1 a x 1
n
n2
na x 1
n 1
n2
n 1
n
n n 1 an x 1
n 1
0
n2
an x 1 an x 1
n
n0
n 1
n0
n 2 n 1 a x 1 n 1 na x 1
n
n2
n0
n 1
n 1
n
n 1 an 1 x 1 an x 1 an 1 x 1 0
n
n0
n
n0
n
n 1
2a2 n 2 n 1 an 2 x 1 n 1 nan 1 x 1 a1
n
n 1
n 1
n 1 a x 1
n 1
n
n 1
n
a0 an x 1 an 1 x 1 0
n 1
n
n 1
n
2a2 n 2 n 1 an 2 x 1 n 1 nan 1 x 1 a1
n
n 1
n 1
n 1 a x 1
n 1
n
n 1
n
a0 an x 1 an 1 x 1 0
n 1
n
n
n 1
a0 a1 2a2
n 2 n 1 a
n 1
n2
n 1 nan 1 n 1 an 1 an an 1 x 1 0
n
a0 a1 2a2
n 2 n 1 a
n 1
n2
n 1 nan 1 n 1 an 1 an an 1 x 1 0
n
a0 a1
a2
2
n 2 n 1 an 2 n 1 nan 1 n 1 an 1 an an 1 0
n 2 n 1 an 2 n 1
2
an 1 an an 1 0
n 1
an an 1
an 2
an 1
n2
n 1 n 2
a0 a1
a2
2
a3
a4
a5
a6
a7
an 2
n 1
an an 1
an 1
n2
n 1 n 2
2
a1 a0
2
a2
a2 a0 a1
a2
a2
3
6
3
3
3
6
3
a2 a1
a0 a1
a3
4
12
12 6
a0 9a1
12 60
13a0 a1
180
8
13a0 271a1
210 2520
d 2 y dy
x 2
xy 0 alrededor de x0 1
dx
dx
a0 a1
n 1
an an 1
a2
; an 2
an 1
2
n2
n 1 n 2
( x 1) 2 ( x 1)3 ( x 1) 4 ( x 1)5 13( x 1) 6 13( x 1)5
y1 x 1
2
6
12
12
180
210
( x 1) 2 ( x 1)3 ( x 1) 4 9( x 1)5 ( x 1)6 271( x 1)5
y2 x x 1
2
6
6
60
8
2520
d 2 y dy
x 2
xy 0 alrededor de x0 1
dx
dx
( x 1) 2 ( x 1)3 ( x 1) 4 ( x 1)5 13( x 1) 6 13( x 1)5
y1 x 1
2
6
12
12
180
210
( x 1) 2 ( x 1)3 ( x 1) 4 9( x 1)5 ( x 1) 6 271( x 1)5
y2 x x 1
2
6
6
60
8
2520
y1 x J 0 x
y2 x Y0 x
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.9
0.2
1.0
1.1
1.2
2
d y
dy
1 x dx2 2 x dx l l 1 y 0
2
2
d y
dy
1 x dx2 2 x dx l l 1 y 0
2
d y
2 x dy l l 1
y
0
2
2
2
dx 1 x dx 1 x
2
2
d
y
dy
2
1 x dx 2 2 x dx l l 1 y 0
d2y
2 x dy l l 1
y0
2
2
2
dx 1 x dx 1 x
n
1
2
2 n 1
2 x
2
x
x
2
x
para x 1
2
1 x
n0
n0
n
1
2
2n
l l 1
l
l
1
x
l
l
1
x
para x 1
2
1 x
n0
n0
Por lo tanto, x 0 es un punto ordinario
d y
2 x dy l l 1
y0
2
2
2
dx
1 x dx
1 x
2
Los únicos puntos singulares son x 1.
Por lo tanto, podemos resolver
la ecuación con series alrededor
de x 0, ya que x 0 es un punto
ordinario.
2
d
y
dy
2
1 x dx2 2 x dx l l 1 y 0
Por tanto, existe una única solución que se puede escribir como
y ( x ) an x n .
n0
Tenemos
dy
d
y
n2
nan x n 1 y
n
n
1
a
x
n
dx n 0
dx 2 n 0
y sustituyendo en la ecuación diferencial,
2
n0
n0
n0
2
n2
n 1
n
1
x
n
n
1
a
x
2
x
na
x
l
l
1
a
x
n 0
n
n
2
d
y
dy
2
1 x dx 2 2 x dx l l 1 y 0
1 x
2
n n 1 an x
n0
n2
2 x nan x
n0
n 1
l l 1 an x n 0
n0
n0
n0
n0
n0
n2
n
n
n
n
n
1
a
x
n
n
1
a
x
2
na
x
l
l
1
a
x
n
n 0
n
n
2
d
y
dy
2
1
x
2
x
l l 1 y 0
dx 2
dx
1 x n n 1 a x
2
n
n0
n n 1 an x
n2
n0
n2
2 x nan x
n 1
n0
l l 1 an x n 0
n0
n n 1 an x 2 nan x l l 1 an x n 0
n
n0
n
n0
n0
Ahora
n n 1 an x
n2
n2m
n0
m
(
m
2)
m
1
a
x
m2
m0
Regresando a la variable original
n n 1 an x
n0
n2
(n 2) n 1 an 2 x n
n0
y ahora
n
(
n
2
)
n
1
a
x
n
n
1
a
x
2
na
x
l
l
1
a
x
n
n 0
n2
n
n
n0
n
n0
n
n0
n0
d2y
dy
1 x dx 2 2 x dx l l 1 y 0
2
n
(
n
2)
n
1
a
x
n
n
1
a
x
2
na
x
l
l
1
a
x
n
n 0
n2
n
n
n0
n
n0
n
n0
n0
n
n
2
n
1
a
n
n
1
a
2
na
l
l
1
a
x
0
n2
n
n
n
n0
Por lo tanto,
n 2 n 1 an 2 n n 1 an 2nan l l 1 an 0
ó bien
an 2
n n 1 2n l l 1
n 2 n 1
an
n n 1 l l 1
n 2 n 1
an
an 2
n n 1 l l 1
n 2 n 1
an
Los primeros coeficientes, a0 y a1 , son arbitrarios.
Los siguientes
a2
a3
a4
...
l l 1
2!
a0
2 l l 1
3!
a1
l 1 l 2
a
2 2 1 l l 1
2 2 2 1
3!
1
6 l l 1 l l 1 l l 1 l 2 l 3
a2
a0
43
2!
4!
an 2
n n 1 l l 1
n 2 n 1
an
En general, para k 1,2,3,... tenemos
(l 2k 1)(l 2k 3)...(l 1)l (l 2)...(l 2k 2)
a2 k 1
a0
2k !
k
y
(l 2k )(l 2k 2)...(l 2)(l 1)(l 3)...(l 2k 1)
a2 k 1 (1)
a1
2k 1!
k
2
d
y
dy
2
1 x dx2 2 x dx l l 1 y 0
Tenemos entonces dos soluciones
u ( x) 1
l l 1
1 1
2!
k
k 1
x
2
l 2 l l 1 l 3 4 l 4 l 2 l l 1 l 3 l 5 6
x
x ...
4!
6!
l 2k 1 l 2k 3 l 1 l l 2 l 2k 2 x 2k
2k !
y
l 1 l 2 3 l 3 l 1 l 2 l 4 5 l 5 l 3 l 1 l 2 l 4 l 6 7
v( x) x
x
x
x ...
3!
x 1
k 1
k
5!
l 2k l 2k 2 l 2 l 1 l 3 l 2k 1 x 2k 1
2k 1!
7!
u ( x) 1 1
2
d
y
dy
2
1 x dx2 2 x dx l l 1 y 0
l 1 l l 2
k l 2k 1 l 2k 3
l 2k 2 x 2 k
2 k !
l 2 l 1 l 3 l 2k 1 2 k 1
k l 2k l 2k 2
v( x) x 1
x
2k 1!
k 1
k 1
1. Si l no es un entero positivo, tenemos dos
series infinitas que convergen para x 1.
2. Si l es un entero positivo, una de las dos series
infinitas termina para dar un simple polinómio.
d2y
dy
1
x
2
x
dx2 dx l l 1 y 0
l 1 l l 2
k l 2k 1 l 2k 3
2
u ( x) 1 1
l 2k 2 x 2 k
2 k !
l 2 l 1 l 3 l 2k 1 2 k 1
k l 2k l 2k 2
v( x) x 1
x
2
k
1
!
k 1
k 1
Escribiendo la solución y x APn x BQn x
un x
se tiene que Pn x
para n par,
un 1
vn x
y Pn x
para n impar.
vn 1
Qn x es una serie infinita que
converge para x 1.
Los polinomios Pn x son los
polinomios de Legendre
y puede ser escritos como
n
[ ]
2
2 n 2 r ! x
Pn x 1 n
2 r ! n r ! n 2r !
r 0
n 2r
r
y P x y Q x y x
El punto x0 es un punto ordinario
de la ecuación diferencial si tanto
P x como Q x son analíticas en x0 .
y P x y Q x y x
Si cualquiera de las dos funciones,
P x y Q x , no son analíticas,
entonces el punto x0 es singular.
Si x 0 es un punto ordinario de la ecuación
y P x y Q x y 0
entonces la solución general en un intervalo
conteniendo al cero, tiene la forma
y x an x c1 y1 x c2 y2 x
n
n0
donde c1 y c2 son constantes arbitrarias y y1 x y
y2 x son funciones linealmente independientes
y analíticas en x 0
y P x y Q x y 0
La solución general tiene la forma
y x an x
n
n 0
¿Cómo determinamos los coeficientes an ?
Paso 1:
Sustituimos la propuesta solución
y x an x
n
n 0
en la ecuación diferencial original
y P x y Q x y 0
y x an x
y P x y Q x y 0 ;
n
n 0
d a xn
?
n
n
dy x d
an x
dx
dx n 0
n 0
dx
an
n 0
d x
n
dx
n 1
n
a
x
n
n 0
y x an x
y P x y Q x y 0 ;
n
n 0
?
d nan x
d y x d
n 1
nan x
2
dx
dx n 0
dx
n 0
2
nan
n 0
d x
n 1
dx
n n 1 a x
n0
n
n 1
n2
y x an x
y P x y Q x y 0 ;
n
n 0
Paso 1:
n n 1 a x
n 0
n
n2
P x nan x
n 0
n 1
Q x an x 0
n
n 0
y P x y Q x y 0 ;
y x an x
n
n 0
Paso 2:
Agrupamos las potencias de x e igualamos a
cero los coeficientes (Dado que las potencias
de x son linealmente independientes)
y P x y Q x y 0 ;
y x an x
n 0
Paso 3
Se resuelven las formulas de recurrencias que
se obtiene al igualar las potencias de x a cero.
Se determinan a j j 2,3, 4,... en términos
de a0 y a1
n
y P x y Q x y 0 ;
y x an x
n 0
Paso 4
Los coeficientes a j j 0,1, 2,3, 4,...
se sustituyen en la serie y se trata de
determinar una forma analítica.
n