Transcript logaritma sunu - WordPress.com

LOGARİTMA
LOGARİTMA
NIN TANIMI
LOGARİTMANIN
TARİHİ VE
KULLANIM
ALANLARI
LOGARİTMANIN
ÖZELLİKLERİ
LOGARİTMALI
DENKLEM
VE
EŞİTSİZLİKLER
Tanım:
• a≠1 ve a›0 olmak üzere,
• f :R→ R+ f(x)=ax fonksiyonun ters
fonksiyonu olan ,
• f −1 (x)=y = log a x fonksiyonuna a tabanına
göre, logaritma fonksiyonu denir.
Bu tanıma göre,
x=ay ⇔ y=log a x ( a tabanına göre x in logaritması y
dir.)
Özel olarak;
• a=10 alınırsa y=log10 x =log x (bayağı logaritma) ,
• a=e=2,718… alınırsa,
• y=log e x = ln x (doğal logaritma) olur.
LOGARİTMANIN TARİHİ
VE
KULLANIM ALANLARI
Logaritmayı 16. yy da John Napier isimli İskoç
matematikçi bulmuştur. Kelime olarak "logos arithmos" tan gelir,
sayıların
mantığı
demektir.
Napier, kemiklerden yaptığı çubuk şeklindeki karşılaştırma tabloları
ile
bu
yöntemi
geliştirmiştir.
Üstel olarak artan çokluklarda, sürekli büyüyen sayılarla işlem
yapmanın zorluğundan kurtulmak için rakamların kendisi değil de
belli
bir
tabana
göre
logaritması
kullanılır.
Örneğin ; 10, 100, 1000... şeklinde büyüyen bir nicelik için bu
sayılar yerine bu sayıların 10 tabanına göre logaritması alınarak ve
1,2,3...
şeklinde
kullanılır.
BİLGİSAYAR PROGRAMCILIĞI
İLK LOGARİTMA
CETVELİNİN
BULUNDUĞU
KİTAP
ASİT VE BAZLARDA pH ve pOH
DEĞERLERİ
1 - Kimya alanında kimyasal tepkimelerde hız konusunun ilerlemiş boyutlarında
denge sabitini bulurken kullanılır.
2 - Asit / Baz konusunda pH ve pOH'ı bulurken kullanılıyor.
3 - Kimyada pH hesaplamalarında, pH değerleri logaritmik bir ifadedir. Bir
sabunun pH 'si 5,5 demek, o sabundaki hidrojen iyonu derişimi 1E-5,5 demektir.
4 - Denizcilik alanında matematiksel konumu verilmiş iki nokta arasındaki gerçek
mesafeyi bulmakta kullanılır.
5 - Logaritma ses düzeyinin kaç desibel olduğunu bulmaya yarıyor.
Örneğin ;
Bir rock müzik konserinde duyulan ses şiddeti 10 üzeri -2 watt/m2 dir.
Buna göre konserde duyulan ses düzeyi nedir?
6 - İstatistiğin konusu olan nüfus artışı tahminlerinde,
7 – Bankacılıkta, bileşik faiz hesaplamalarında,
8 - Astronomi de,
9 - Optik gibi alanlar da,
10 - Bilgisayar programcılığında kullanılıyor. Özellikle "ln"
şuan kullandığınız bilgisayarın yapımında, işletim sisteminin
dizaynında ve hatta yazdığınız bu yazıların saklandığı veri tabanında
nasıl daha hızlı erişebileceğini hesaplarken logaritma ve benzeri
matematiksel fonksiyonlar kullanılmaktadır.
(bir algoritmanın hızını ölçmek için logaritma kullanılmaktadır)
11 - Deprem ölçeği olarak bildiğimiz Richter ölçeğinin deprem
şiddetini hesaplamasında Logaritma kullanılır.
12 - İşletme finansmanında da sıkça başvurulur.
13 - Askeriyedeki top atışlarında yer tayini içinde kullanılır.
14 - Spektroskopide uyarılmış atom/normal atom oranında
kullanılıyor. (Nj / No)
15 - Redox tepkimelerinde de kullanılır. (Epil olayları)
16 - Fizikokimyada kullanılır.
ÖZELLİKLER:
a›0 ve a≠1 o.ü.
1. 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐚 = 𝟏; log 2 2=1 , log 5 5 = 1
2.
𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝟏 = 𝟎;
log 2 1=0 , log 1 = 0, ln 1 = 0
3. x›0, 𝑦›0 için 𝐥𝐨𝐠 𝐚 (𝐱. 𝐲)= 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 + 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐲
𝐱
𝐲
4. x›0, y›0 o.ü. 𝐥𝐨𝐠 𝐚 ( ) = 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 − 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐲
5. x∈ R+ ve n∈ R o.ü. 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 𝐧 = n.𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱
6.
𝐧 𝐧
𝐛
𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐦 =
𝐦
𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐛
7. Taban değiştirme:
log a b =
8.
log 𝑎 𝑏 =
logc b
logc a
1
log𝑏 𝑎
=
log b
log a
=
ln b
ln a
; log 𝑎 𝑏 = 𝑚 𝑖𝑠𝑒 log 𝑏 𝑎 =
9. 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 ; 10log 𝑥 = 𝑥 ;
10. log 𝑥1 = − log 𝑥
1
𝑚
𝑒 ln 𝑥 = 𝑥
11. f x = log a g(x) fonksiyonunun en geniş tanım
kümesi g(x)> 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.
Örnekler
1.log
3 81
log
ifadesinin değeri kaçtır?
3 81=log(3
1
2
34
4
) = 1 log 3 3
2
=4.2=8
2. 2log a +3log b - 4log c ifadesinin eşittir nedir?
2log a +3log b - 4log c=log a2 +log b3 − log c 4
=log
a2 .b3
c4
3.log 2 = a ve log 3 = b olduğuna göre, 𝐥𝐨𝐠 𝟒𝟖 eşitti
nedir?
•
48= 24 . 31
• log 48 = log(24 . 31 ) = 4. log 2 + log 3
•
= 4a + b
4.f x = 3log 4 x + a ve f −1 6 = 11 olduğuna göre, a
kaçtır?
• f −1 6 = 11 ise f(11) = 6 olduğundan
• f(11) = 3 log 4 (11 + a) = 6
•
log 4 11 + a = 2
•
11 + a = 42
•
a + 11 = 16
•
a = 15
5.log 2 = a ve log 3 = b olduğuna göre, 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟐
ifadesinin değeri nedir?
log 5 12 =
log 12
log 5
2.log 2+log 3
log 10−log 2
=
=
log 22 .3
10
log 2
2a+b
1−a
6. log 3 7 = 𝑎 olduğuna göre, log 21 49 ifadesinin a
türünden değeri nedir?
a)
1+𝑎
2𝑎
b)
d)
𝑎
1+𝑎
1−𝑎
2𝑎
e)
2𝑎
c)
1+𝑎
1+𝑎
𝑎
7. f x = log 2 (7−x
) fonksiyonun tanım kümesindeki x
x−1
tamsayılarının toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: f x = log a (g x ) fonksiyonunun tanım
kümesi g(x)>0 eşitsizliğinin çözüm kümesi olduğundan,
(-)
•
7−x
x−1
>0
(+)
•
x
7−x
>0
x−1
− : + = (−)
tablo sağdan (-) ile başlar.
7-x=0 ise x=7 ve x-1=0 ise x=1
1
7
-
+
-
• x tamsayılarının toplamı 2+3+4+5+6=20 bulunur.
LOGARİTMALI DENKLEM VE
EŞİTSİZLİKLER
log a x1 = log a x2 ⇒ x1 = x2 > 0
a>1 iken y=log a x fonksiyonu artan
fonksiyon olduğundan,
𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱𝟏 > 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱𝟐 ⇒ 𝐱𝟏 > 𝐱 𝟐 > 𝟎
 0<a<1 iken y = log a x fonksiyonu azalan
fonksiyon olduğundan
𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱𝟏 > 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱𝟐 ⇒ 𝟎 < 𝐱𝟏 < 𝐱𝟐
ÖRNEKLER
1.log 2 x + log 2 (x − 4) = 5 denkleminin çözüm
kümesi nedir?
• log 2 x + log 2 (x − 4) = 5 = log 2 25
• log 2 x x − 4 = = log 2 25
• x x − 4 =25 = 32
• x 2 − 4x − 32 = 0
• x−8 x+4 =0
• x = 8 ve x = −4
• Fonksiyonun tanımlı olması için x>0 ve x-4>0 olmalı.
• x>4 olmalı. O halde x=8 dir.
• Ç.K.={8}
2. (log x)2 − 5 log x + 6 = 0 denklemini
sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
• log x = t olsun
• t 2 − 5t + 6 = 0
• t−3 t−2 =0
• t = 3 ve t = 2
• log x = 3 ise log10 x = 3 olur.
• x = 103 = 1000
• log x = 2 ise log10 x = 2 olur x = 102 = 100
• Toplamları 1000 + 100=1100 bulunur.
3.x 2 − (log 2 m − 2 )x − 1 = 0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 dir. x1 + x2 = 4 olduğuna göre, m kaçtır?
• ax 2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
olsun.
• 𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 =
•
•
•
•
•
•
𝐛
−
𝐚
𝐝ı𝐫.
x 2 − (log 2 m − 2 )x − 1 = 0
𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 = log 𝟐 (𝐦 − 𝟐)
log 𝟐 (𝐦 − 𝟐) = 𝟒
𝐦 − 𝟐 = 𝟐𝟒
𝐦 − 𝟏 = 𝟏𝟔
m=18
4. log 2 a − log 2 5 = 1 olduğuna göre, a kaçtır?
a) 10
b)20
d)100
c)50
e)120
SUNUYU HAZIRLAYAN:
FERİDE KARALİ
MATEMATİK A ŞUBESİ
NO:140440124
2014 YAZ PEDAGOJİK FORMASYON
DÖNEMİ
MATERYAL TASARIM DERSİ
LOGARİTMA KONUSU