Transcript KERJA DAN ENERGI

KERJA DAN ENERGI
 Garis melengkung pada gambar melukiskan jejak partikel
bermassa m yg bergerak dlm bidang xy dan disebabkan
oleh gaya resultan F yang besar dan arahnya dpt berubahubah dari titik ke titik diatas lintasan itu. Gaya diuraikan
menjadi komponen Fs disepanjang lintasan itu dan
komponen FN normal terhadap lintasan
Fs
y
V
F
ds

0
FN
x
 Komponen FN tegak lurus terhadap kecepatan V,
merupakan gaya sentripetal dan efeknya hanya
mengubah arah kecepatan. Efek komponen Fs
mengubah besar kecepatan. Andaikan s ialah jarak yg
diukur dari titik tertentu 0 disepanjang lintasan. Besar
Fs adalah fungsi dari s. Berdasarkan hukum Newton
kedua:
dV
Fs  m
dt
 Gunakan dalil rantai:
dV
dt

dV ds
ds dt
maka diperoleh:
F s  mV
dV
ds
F s ds  mVdV
V
dV
ds
 Kalau V1 merupakan kecepatan bila s = s1 dan V2 bila
s2, maka:
s2
V2
 F ds   mVdV
( 4 . 1)
s
s1
s=
V1
 Integral pada ruas kiri disebut usaha W yg dilakukan oleh
gaya F antara titik s1 dan s2 :
s2
W 
 F .ds
s
s1
 Integral pada ruas kanan pers.(4.1)dapat dihitung:
V2
1
mV
.
dV

mV 2 
2

2
1
2
mV 1
2
V1
 Setengah hasil kali massa partikel dengan kuadrat besar
kecepatan disebut Energi kinetik Partikel (Ek):
Ek 
1
2
mV
2
 Kerja
Usaha telah dilakukan,kalau ada gaya yang dikerjakan
terhadap sebuah benda sedangkan pada waktu yg sama
benda itu bergerak sedemikian rupa sehingga gaya tsb
mempunyai komponen disepanjang garis gerak titik
tangkapnya. Apabila komponen gaya sama arahnya dengan
arah perpindahan usaha disebut Positif, kalau berlawanan
usaha dikatakan Negatif.
W   F .ds   F cos  ds ( 4 . 3 )
Rumus usaha suatu gaya:
y
s2
s2
s1
s1
F
θ
F cos θ
x
s
Dlm sistem MKS satuan usaha
(kerja) adalah Newton meter
yang disebut Joule.
Dlm sistem inggris satuan
usaha adalah foot pound (ft.lb)
 Contoh :
Seorang anak menarik balok berat 10 lb sejarak 30 ft
sepanjang permukaan horisontal dengan kelajuan
konstan. Berapa kerja (usaha) yang dilakukan
terhadap balok bila koefisien gesek kinetis 0,2 dan ia
menarik balok dengan sudut 45o terhadap bidang
horisontal ?
N
P
P
θ
θ
x
fk
s
w
 Solusi:
Dari Hukum Newton II :
F
0
P cos   f k  0
(1)
dan
P sin   N  w  0
f k   k .N
(2)
(3)
 Dari kedua persamaan diatas terdapat 2 besaran yang
tidak diketahui. Untuk mencari P kita eliminasi f k dan
N dari 3 persamaan diatas dan diperoleh:
P 
 k .w
(cos    k sin  )

0 , 2 . 10
( 0 , 707  0 , 2 . 0 , 707 )
 2 ,36 lb
 Kerja yg dilakukan oleh anak tersebut:
W = P. s cosθ = 2,36.30.0,707 = 50,1 ft.lb
 Kerja yang dilakukan oleh gaya yang berubah
F(x)
0
x1
Δx
x2
x
 Kerja yang dilakukan oleh gaya tidak konstan, gaya
yang berubah hanya besarnya saja. Andaikan Gaya
berubah terhadap posisi F(x) dan arah gaya searah
dengan arah gerak x.
 Pergeseran x dibagi menjadi sejumlah interval kecil
yang sama Δx. Pikirkan pergeseran yg kecil Δx dari x1
sampai dengan x1 + Δx.
 Selama pergeseran yg kecil ini gaya F hampir
mempunyai harga yg konstan dan kerja yg dilakukan
W:
W= F.Δx
F adalah besar gaya pada x1. Begitu pula pergeseran
kecil dari x1 + Δx hingga x1 + 2Δx, gaya F hampir
konstan dan kerja yang dilakukan:
W = F.Δx
F adalah gaya pada x1 + Δx.
 Kerja total yang dilakukan F selama pergeseran x1 hingga
x2, W12 adalah jumlah dari masing-masing kerja dalam
interval Δx, dengan F mempunyai harga yg berbeda dalam
interval Δx.
x
2
W 12 
 F . x
x1
 Untuk membuat pendekatan yg lebih baik, kita dapat
membagi pergeseran dari x1 hingga x2 menjadi interval yg
lebih halus lagi, sehingga gaya F pd permulaan interval
adalah harga yg sungguh-sungguh mewakili interval tsb.
Pendekatan ini akan lebih baik bila interval Δx mendekati
nol dan jumlah interval banyaknya tak terhingga atau:
x2
W 12  lim it
x  0
x2
 F . x   F .dx
x1
x1
( 4 .4 )
 Energi Kinetik
Energi kinetik partikel adalah setengah perkalian antara
massa dan kelajuan kuadrat, maka:
2
Ek 
1
2
mV
( 4 .5 )
 Andaikan resultan gaya yg bekerja harga berubah besarnya
saja dan arahnya ke sumbu x. Kerja yg dilakukan resultan
gaya untuk menggerakkan partikel dari xo hingga x adalah:
x
W 
 F .d s   F .dx
x0
 Dari Hukum Newton II, F = m.a, dan percepatan a :
a
dV

dt
W 
dV
dx
.
dx

dt
x
x
 F .dx 
 mV
x0
x0
dV
.V  V
dx
dV
dx
dV
sehingga:
dx
V
dx 
 mVdV 
V0
1
2
mV
2

1
2
2
mV 0
 Gaya Konservatif
contohnya pada sebuah bola yg dilempar vertikal
keatas , dimana kemampuan bola selama gerakan
pergi pulang untuk melakukan kerja sama.
B
B
1
1
2
A
2
A
Bila gaya adalah konservatif : kerja yg dilakukan pada
lintasan tertutup = 0, sehingga:
WAB,1 + WBA,2 = 0 atau WAB,1 = - WBA,2
 Berarti kerja dari A ke B sepanjang lintasan 1 adalah
negatif kerja dari B ke A sepanjang lintasan 2. Bila kita
bergerak dari A ke B sepanjang lintasan 2 akan
diperoleh:
WAB,2 = -WBA,2 sehingga WAB,1 = WAB,2
atau kerja yg dilakukan pada partikel oleh gaya
konservatif tidak tergantung lintasan.
 Gaya Konservatif: bila kerja yg dilakukan selama
gerakan dari 2 titik yang tetap tidak tergantung
lintasan, hanya tergantung pada keadaan awal dan
akhir dari dua titik.
 Energi Potensial Gravitasi
Sebuah benda bermassa m dan beratnya w = m.g
bergerak vertikal (spt gambar a)


y2
y1


w
w

(a)
ds
P
P
y
y1
φ
dy
θ
y2
w

(b)
(c)
 P adalah resultan semua gaya yg bekerja terhadap benda itu.
W’ adalah usaha semua gaya-gaya ini. Arah gravitasi w
berlawanan dengan perpindahan ke atas, dan usaha gaya ini:
W grav   w ( y 2  y1 )   ( mgy 2  mgy 1 )
( 4 .6 )
 Misalkan benda itu mulai bergerak dari ketinggian yg sama
y1 tetapi menuju y2 menuruti suatu lintasan (gambar (b)),
gambar (c) merupakan gambar pembesaran dari bagian kecil
s
lintasan. Usaha gaya gravitasi adalah:
2
W grav 
 w cos  ds
s1
 Andaikan φ merupakan sudut antara ds dan komponen
vertikalnya dy. Maka dy = ds cos φ, karena φ= 180o-θ,maka:
cos φ=-cos θ dan cos θ ds = -dy, maka:
y2
W grav    wdy   w ( y 2  y1 )   ( mgy 2  mgy 1 )
y1
( 4 .7 )
 Karena usaha total sama dengan perubahan energi
kinetik, maka:
W ' W grav  E k 2  E k 1
W ' ( mgy 2  mgy 1 )  ( 12 mV 2 
2
W '  ( 12 mV 2 
2
1
2
1
2
2
mV 1 )
mV 1 )  ( mgy 2  mgy 1 )
2
( 4 .8 )
 ruas kiri hanya mengandung gaya P. suku-suku dlm
ruas kanan hanya bergantung pd keadaan akhir dan
permulaan gerak benda itu dan tidak tergantung pd
lintasannya . Besaran mgy disebut Energi potensial
gravitasi.
 Persamaan (4.8) dpt juga ditulis:
W '  ( mV
1
2
2
2
 mgy 2 )  ( mV 1  mgy 1 )
1
2
2
( 4 .9 )
 Jumlah energi kinetik dan potensial benda itu disebut
Energi Mekanik. Jadi usaha semua gaya yg bekerja
pada benda, kecuali gaya gravitasi sama dengan
perubahan jumlah energi mekanik benda itu. Kalau
W’ positif energi mekaniknya bertambah, kalau W’
negatif energi mekaniknya berkurang.
 Dlm hal khusus, dimana pada benda hanya ada gaya
gravitasi, usaha W’ adalah nol. Maka pers. (4.9) dpt
ditulis:
1
2
mV 2  mgy
2
2

1
2
mV 1  mgy 1
2
maka dalam kondisi ini, jumlah energi mekanik tetap
konstan atau kekal. Ini merupakan kejadian khusus
asas kekekalan energi mekanik.
 Contoh: sebuah benda menuruni sebuah jalur
lengkung yg merupakan salah satu kuadran sebuah
lingkaran berjari-jari R. Jika benda itu mulai bergerak
dari keadaan diam dan tidak ada gesekan, tentukanlah
kecepatannya pada dasar jalur itu.
0
1
R
N
2
w
Ketinggian patokan
 Solusi:
Jika tidak ada gesekan, satu-satunya gaya disamping
gaya berat itu hanyalah gaya normal N saja, yg
dilakukan oleh jalur terhadap benda. Usaha gaya ini
adalah nol. Sehingga W’ = 0, dan energi mekaniknya
kekal.
E k 2  E p 2  E k 1  E p1
1
2
mV 2  0  0  mgR
2
V 2   2 gR
 Bila sebuah benda bermassa 0,5 kg meluncur
menuruni sebuah jalur berjari-jari R = 1 m(spt gambar
diatas), sedangkan kecepatan di dasar jalur 3 m/s.
Berapa usaha gaya gesekan dilakukan terhadap benda.
 Solusi:
dalam hal ini, W’ = Wf , dan :
W f  ( 12 mV 2 
2
1
2
mV 1 )  ( mgy 2  mgy 1 )
2
 ( 12 . 0 , 5 . 3  0 )  ( 0  0 , 5 . 9 ,8 . 1)
2
W f  2 , 25  4 , 9   2 , 65 J
Jadi usaha gaya gesekan adalah – 2,65 J dan energi
mekanik total berkurang sebesar 2,65 J. Energi
mekanik benda tidak kekal bila ada gaya gesekan yg
bekerja pada benda itu.
 Energi Potensial Elastik
Sebuah benda bermassa m dilekatkan pegas diatas
permukaan bidang datar.
m
(a)
x
F(F=kx)
m
P
(b)
 Bila pegas mulai memanjang , suatu gaya F di dalam
pegas itu yang berlawanan arahnya dengan arah
pertambahan panjang x , oleh karena itu berlawanan
dengan arah P.
Gaya F dinamakan gaya Elastik. Menurut hukum
Hooke:
F=kx
(4.10)
dimana: k = konstanta gaya atau koefisien kekakuan.
 Usaha gaya elastik Wel, dlm tiap proses dimana pegas
diregangkan dari x1 ke x2 :
x2
W el 
 F .ds   F cos  dx
x1
 Karena arah F berlawanan dengan arah dx, cos θ = -1,
maka:
x2
W el    k x dx
x1
W el   ( 12 kx 2 
2
1
2
2
kx 1 )
 Andaikan W’ adalah usaha gaya P yg dikerjakan. Maka
dengan membuat usaha total sama dengan energi
kinetik benda, diperoleh:
W ' W el   E k
W ' ( 12 kx 2 
2
1
2
kx 1 )  ( 12 mV 2 
W '  ( 12 mV 2 
2
2
1
2
2
1
2
mV 1 )  ( 12 kx 2 
2
 Dimana :Ep(elestik) = ½ kx2
2
2
mV 1 )
1
2
2
kx 1 )
( 4 . 11 )
 Persamaan (4.12) dapat juga ditulis:
W '  ( 12 mV 2 
2
1
2
kx 2 )  ( 12 mV 1 
2
2
1
2
2
kx1 )
Jumlah energi kinetik dan potensial benda sama
dengan energi mekanik totalnya dan usaha semua
gaya-gaya yg bekerja pada benda itu, dengan
pengecualian gaya elastik, sama dengan perubahan
energi mekanik total benda.
Jika usaha W’ positif, energi mekanik bertambah. Jika
W’ negatif ia berkurang. Dalam kejadian khusus
dimana W’=0, energi mekanik tetap konstan atau
kekal.
 Contoh :
suatu pegas mempunyai konstanta gaya k 24 N/m,
massa benda 4 kg. Benda mula-mula diam dan pegas
mula-mula tidak regang. Suatu gaya P sebesar 10 N
dilakukan kepada benda itu dan tidak ada gesekan.
Berapa kecepatan benda apabila bergerak 0,5 m?
solusi: W '   E   E
k
p
W '  ( 12 mV 2 
2
1
2
mV 1 )  ( 12 kx 2 
2
2
1
2
2
kx 1 )
10 x 0 , 5  ( 12 x 4 V 2  0 )  ( 12 x 24 x 0 ,5  0 )
2
V2  1 m / s
2
 Daya
adalah usaha yg dilakukan persatuan waktu.
Bila usaha sejumlah ΔW dilakukan dalam selang
waktu Δt, daya rata-rata P didefinisikan :
P 
W
t
 Daya sesaat P :
P  lim
t  0
W
t

dW
dt
 Sebuah balok yg beratnya 16 lb didorong sejauh 20 ft
diatas sebuah permukaan horisontal tanpa gesekan
oleh gaya horisontal 8 lb. balok itu bergerak dari
keadaan diam.
Hitung:
1. Usaha yg dilakukan
2. Percepatan balok
3. Kecepatan akhirnya
4. Kenaikan energi kinetik
 Sebuah balok yg beratnya 16 lb diangkat vertikal
dengan kecepatan konstan 10 ft/s setinggi 20 ft.
Hitung:
1. Gaya yang diperlukan
2. Usaha yg dilakukan
 Sebuah balok yg massanya 7 kg di dorong sejauh 6 m
diatas sebuah permukaan horisontal tanpa gesekan
oleh gaya horisontal 36 N. balok bergerak dari keadaan
diam.
Hitung:
a. Usaha yg dilakukan
b. Percepatan balok
c. Kecepatan akhir
d. Kenaikan energi kinetik