1

 J. Campbell, A. Lo, C. MacKinlay,

The Econometrics of Financial Markets

, Princeton University Press 1997.

 Starzeński O., C.H.Beck 2011.

Analiza rynków finansowych,

2

 E. Syczewska,

Ekonometryczne modele kursów walutowych

, SGH 2007.

 M. Rubaszek, D. Serwa, (red. nauk.) W. Marcinkowska-Lewandowska,

Analiza kursu walutowego

, C.H.Beck 2009.

 M. Osińska, 2006.

Ekonometria finansowa

, PWE 3

 Proces błądzenia losowego  Testy „prognozowalności” 

Fair game

i martyngały  Testy przyczynowości 4

 Biały szum (gaussowski):

y t

 

t



t

~

IID

( 0 ,  2 )  Błądzenie losowe:

y t



y t

 1  

t IID

independen t identicall y distribute d

5

 Modele autoregresyjne z rozkładem opóźnień ( ADL -

autoregressive distributed lag

)

Y t

  0   1

Y t

 1 

...

 

k Y t



k

  1

X t

 1 

...

 

k X t



k

 

t

6

Rynek efektywny: Ceny instrumentów finansowych w pełni odzwierciedlają całą dostępną informację.

Nie ma sposobu na takie wykorzystanie informacji dostępnych w danym momencie ponadprzeciętne stopy zwrotu, t , aby uzyskać czyli proces ustalania cen jest „grą sprawiedliwą”.

7

 Zasady Dow’a (Charles Dow – założyciel The Wall Street Journal”, market index) 1. Rynek dyskontuje wszystko.

2. Ceny podlegają tendencji.

3. Historia się powtarza.  Teoria fraktali – Mandelbrot – hipoteza rynku fraktalnego.

 Teoria chaosu – nieliniowe modele deterministyczne.

8

Przykład:

Y t



Y t

 1  

t

, 

t

      1 , 1 ,

p p

 1 /  1 / 2 2 Румяна Гурска 9

10 -2 -4 -6 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2,5 2 1,5 1 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t=10 -5 -10 5 0 -15 5 0 -5 -10 -15 -20 t=100 Румяна Гурска

Y t



Y t

 1  

t

, 

t

 Wartość oczekiwana i wariancja    ε t :   1 , 1 ,

E

( 

t

)  ...

var( 

t

)  ...

p p

 1 /  1 / 2 2 Wartość oczekiwana i wariancja Y t ?

E E

( (

Y t

Warunkowa wartość oczekiwana i warunkowa wariancja Y t :

Y

)

t

| 

Y t

...

 1 )  ...

var(

Y

var(

t

)

Y t

 | ...

Y t

 1 )  ...

Румяна Гурска 11

 Bachelier (1900), Cootner (1964) – (

random walk hypothesys

)

P t



P t

 1  

t P t



P t

 1    

t



t

~

IID

( 0 ,  2 )  Jeśli ceny instrumentu są generowane przez proces błądzenia losowego, to ciąg cen jest realizacją tego procesu stochastycznego.

12

2900 2700 2500 2300 2100 1900 1700 1500 Румяна Гурска 13

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

1.0

0.9

0.8

98 99 00 01 02 03 04 EUR_USD 05 06 07 08 14

 Jeśli ceny rynkowe zachowują się zgodnie z modelem błądzenia losowego, wówczas spełniona musi być także hipoteza efektywności rynku (słaba forma).

 Czy relacja ta zachodzi również w drugą stronę?

15

 jeśli

p t



ln(

P t

)

logarytmiczna stopa zwrotu: ln  

P t P t

 1    ln(

P t

)  ln(

P t

 1 ) 

p t



p t

 1 

r t p t p t

 

p t

 1  

t



t p t

 1    

t

~

IID

( 0 ,  2 )

r t r t

 

t

   

t

16

 Czy

ρ

=1?

p t

 

p t

 1    

t

  Problem: MNK dla szeregów niestacjonarnych; test DF i ADF  Czy

p t



p t

 1 

r t

   

t

17

 1) Zbadaniu, czy ceny instrumentów finansowych są dobrze opisane przez proces błądzenia losowego.

 2) Zbadaniu, czy stopy zwrotu z inwestycji w instrumenty finansowe mają własności białego szumu.

18

 Model (1): model błądzenia losowego:

p t



p t

 1    

t



t

~

IID

( 0 ,  2 )  Model (2): usunięcie założenia o stałym rozkładzie składnika losowego.

 Model (3): założenie o braku korelacji między składnikami losowymi, ale np.

Cov

(



t

2

,



t

2  1

)



0

Cov

(



t

,



t

 1

)



0

19

   Testy serii: Test sekwencji (bez dryfu) Test sekwencji (po uwzględnieniu dryfu) Test serii (Mood)  Test Walda-Wolfowitza Testy oparte o regułę filtra Testy autokorelacji Testy ilorazu wariancji Testy sezonowości 20

Sprawdzamy czy logarytmiczne stopy zwrotu tworzą serie

Y t I t

 

I

  1 0

t jeś li r t I t

 1

jeś



li r t

( 1

  

I t p t



p t

 1  0

p t



)( 1



p t

 1

I



t

 1

)

0 powtórzenie

N s



t n

  1

Y t N r



n



N s

liczba powtórzeń

CJ



N s

?

 1

N r

21

I t

   1 0

Y t

  1   0   Pr(

r t

 0 ) z prawdopodo bienstwem  z prawdopodo bienstwem 1

-π

z prawdopodo bienstwem z prawdopodo bienstwem  1 -

s

 

s

 2  ( 1   ) 2

CJ

  1 

s



s

  2 2   ( 1  ( 1    ) ) 2  1

CJ a

~

N

  1  

s



s

, 

s

( 1  

s

)  2 (  3  ( 1   ) 3

n

( 1  

s

) 4  

s

2 )   22

x i



N serie

(

i

) 

n



i

( 1  

i

)  

i

2

n x i a

~

N

 0 , 

i

( 1  

i

)  3 

i

2 ( 1  

i

) 2  23

 Porównujemy wzrosty (+1) i spadki (-1) stóp zwrotu (lub cen) – sprawdzamy czy liczba i długość serii ma charakter przypadkowy.

K – liczba serii n 1 , n 2 – liczba dodatnich i ujemnych stóp zwrotu  Asymptotycznie K ma rozkład normalny:

E

(

K

) 

n

2

n

1

n

2 1 

n

2  1

V

(

K

)  2

n

1

n

2 

n

1  (

n

2 2

n

1

n

2  2  ( 

n

1

n

1  

n

2

n

2 )  1 ) 24

 „ Filter rules ” (algorytmy handlu) ◦ filtr k% : kupuj, gdy cena wzrośnie k% od ostatniego dołka i sprzedaj kiedy spadnie k% od ostatniego wierzchołka ◦ uwzględnij koszty transakcyjne ◦ porównaj całkowity zwrot z tej strategii ze zwrotem ze strategii „kup i trzymaj” ◦ Czy rozważane kryterium może przynieść dodatkowe stopy zwrotu?

25

 Współczynniki autokorelacji rzędu

k

  (

k

) 

Corr

(

r t

,

r t



k

) 

Cov

(

r t

,

r t



k

)

Var

(

r t

)  ˆ (

k

) 

T

1

T t

   1

k

(

r t

1

T



r T

)(

r t



k t T

  1 (

r t



r T

) 2 

r T

) Statystyka testowa:

T

 ˆ (

k

)

a

~

N

( 0 , 1 ) 26

 W małych próbach: (

k

)   ˆ (

k

)  (

T T



k

 1 ) 2 ( 1   ˆ 2 (

k

))

T T



k

 (

k

)

a

~

N

( 0 , 1 ) 27

 Dla wielu współczynników korelacji na raz (Box, Pierce, 1970)

Q m



T k m

  1  ˆ 2 (

k

)

a

~  2 (

m

)  W małej próbie (Ljung, Box, 1978)

Q



m



T

(

T

 2 )

k m

  1  ˆ 2 (

k

)

T



k a

~  2 (

m

) 28

 Wariancja stopy zwrotu z k dni będzie równa wariancji jednodniowej stopy zwrotu: k var(

r t

(

k

)) 

k

 var(

r t

)

r t

(

k

) 

r t



r t

 1  ....

 razy

r t



k

 1  Założenia: 1.poszczególne dzienne stopy zwrotu są niezależne.

2.

r t

   

t r t

~

N

(  ;  2 )

VR

(

k

)  var(

r t k

 ( var(

k r t

)) )

VR

(

k

) ?

 1

k



1 , 2 ,...,

q

29

 Lo, MacKinlay (1988)

VR

(

k

) 

Var k

(

r t

( 

Var

(

k r t

)) )  1 

q

 1 2 

k

 1   1 

k q

   (

q

) dla k=1

VR

( 1 )  1

VR

( 2 ) 

Var

[

r t

2 ( 2 

Var

[

r t

)] ]  2 

Var

[

r t

2 ]  2 

Cov

[

r t



Var

[

r t

] ,

r t

 1 ]  1   ( 1 ) 30

 ◦ Testy ilorazu (i różnicy) wariancji dla 2n+1 obserwacji mamy zdefiniowane:  ˆ  ˆ

a

2   1 2

n k

2  

n

1 (

p k

 1 2

n k

2  

n

1 (

p k p k

 1 )   1 2

n

(

p

2

n p k

 1   ˆ ) 2 

p

0 )  ˆ

b

2  1 2

n k n

  1 (

p

2

k



p

2

k

 2  2  ˆ ) 2

V R

ˆ ( 2 )   ˆ

b

2  ˆ 2

a V

ˆ ( 2 )   ˆ

b

2   ˆ

a

2 31

 c.d. H 0 : VR-1=0, (dla różnicy VD=0) 2

n V

ˆ ( 2 )

a

~

N

( 0 , 2  4 ) 2

n

(

V

ˆ ( 2 )  1 )

a

~

N

( 0 , 2 )

V

ˆ ( 2 ) 2  ˆ

a

4   ˆ

b

2   ˆ

a

2 2  ˆ

a

2 

V

ˆ ( 2 ) 2  1

a

~

N

( 0 , 1 ) 32

 Rozpatrujemy 2 próby: styczeń i reszta roku.

 Testy na równość średnich w próbach: ◦ Statystyka z ma rozkład swobody t o (n 1 +n 2 -2) stopniach 33

 Modele regresji ze zmiennymi sezonowymi:

r t

 

d t



model rynkowy

H

0 :   0  Przykład: model jednoczynnikowy

r t

 

d t

    

r t M

 

t

34

 W modelu błądzenia losowego zakłada się, że stopy zwrotu z różnych okresów mają identyczny rozkład i są niezależne w czasie.

 Samuelson (1965) zaproponował złagodzenie warunków nałożonych na składniku losowym: -

cov(



t

;



t



k

)



0

warunkowe wariancje mogą być dodatnio skorelowane.

35

 Warunki „gry sprawiedliwej” są spełnione, gdy nie można wykorzystać informacji, dostępnych w danej chwili, aby uzyskać ponadprzeciętną stopę zwrotu.

 Jeśli dostępny dla danego inwestora zbiór informacji nie jest zawarty w cenie, warunki „gry sprawiedliwej” nie są spełnione w odniesieniu do tego inwestora.

(np. jeśli dany inwestor wie o planowym zawarciu dużego kontraktu przez firmę, może zrealizować ponadprzeciętną stopę zwrotu, dzięki tej wiedzy).

36

 Model „gry sprawiedliwej” nie wymaga, aby stopy zwrotu z różnych okresów miały identyczny rozkład.

 Nie zakłada się, że stopy zwrotu są niezależne w czasie.

(np. firmy mogą zwiększać zadłużenie i ryzyko w kolejnych okresach, co powoduje wzrost oczekiwanych stóp zwrotu można wówczas zaobserwować korelację stóp zwrotu, ale nie dałoby się wykorzystać do uzyskania dodatkowej stopy zwrotu (bo zwiększa się również ryzyko)).

 Proces błądzenia losowego jest szczególnym przypadkiem gry sprawiedliwej.

37

 Ciag (X 1) E| X n n ) zmiennych losowych (skończony lub nie) jest martyngałem, jeżeli: | < ∞ , 2) E(X n +1 | X 1 , X 2 , . . . , X n ) = X n .

 Martyngał określa zatem „grę sprawiedliwą” w takim sensie, że oczekiwana wygrana (średnia) w chwili n+1, gdy znany jest przebieg gry do chwili n, jest równa X n , czyli łącznej wygranej w chwili n.

38

 Proces stochastyczny spełniający:

E E

[

[

t

lub inaczej

P t P

 1  1 

|

P t P

|

t

,

P t P

,

t

 1

P t

,

 1

,

P t

 2

P t

 2

,...]

,...]

 

P

0

t

Najlepszym szacunkiem ceny w dniu następnym jest cena w dniu bieżącym.

Informacje z przeszłości nie zawierają żadnych wskazówek odnośnie odchylenia stóp zwrotu w danym dniu od wartości oczekiwanej.

 Wada: nie uwzględnia ryzyka.

39

 Czy proces ustalania cen na rynku jest „fair game”?

40

41

   M. Osińska (2006) Ekonometria finansowa, PWE Maddala (2008) Ekonometria, PWN Podręcznik SGH do ekonometrii Dodatkowo: Cheung, Y. and L. K. Ng, 1996, A causality-in variance test and its application to financial market prices, Journal of Econometrics 72, 33-48.

42

A B

 Zdarzenie B zależy od zdarzenia A.

 Zdarzenie A miało miejsce wcześniej niż zdarzenie B.

 Zdarzenia A i B następują zaraz po sobie.

43

 Problem: Czy zmienna X ma wpływ na zmienną Y, czy na odwrót?

◦ Czy dynamika kredytu zależy od wzrostu PKB, czy też jest na odwrót?

◦ Czy stopy zwrotu na giełdzie w USA zależą od stóp zwrotu na giełdzie w Japonii? 44

 Przyczynowość w sensie Grangera (Granger casuality test, Granger 1969, Sims 1972) Czy przy pomocy zmiennej X jesteśmy w stanie dokładniej/lepiej prognozować wartości zmiennej Y? 45

 Przyczynowość „w średniej” w równaniu regresji (

causality in mean

wartości zmiennej Y.

) – dotyczy średniej  Przyczynowość „w wariancji” (

causality in variance

) - dotyczy wariancji wartości zmiennej Y.

 Przyczynowość „w rozkładzie” (

causality in distribution, in quantiles

).

46

 Przyczynowość w średniej w równaniu regresji (

causality-in-mean

)

E

(

y t

|

y t

 1 ,

y t

 2 ,

y t

 3 ..., ) 

E

(

y t

|

y t

 1 ,

y t

 2 ,

y t

 3 ...,

x t

 1 ,

x t

 2 ,

x t

 3 ..., ) X  Y 47

 Modele autoregresyjne z rozkładem opóźnień ( ADL -

autoregressive distributed lag

)

y t

  

i Q

  1 

i y t



i



i P

  1 

i x t



i

 

t

48

Testowanie przyczynowości w modelu ADL  H 0 : parametry przy X-ach są równe zero, czyli historyczne wartości X nie wpływają na aktualne wartości Y  H 1 : przynajmniej jeden parametr przy X-ach jest różny od zera 49

 ◦ ◦ ◦ ◦ Statystyki do testowania przyczynowości: statystyka t-Studenta statysyka F statystyka Walda statystyki LM, LR  Ustawiamy restrykcje zerowe na parametry przy opóźnionych zmiennych X 50



Y t

Czy zmiany

X

powodują zmiany   10 Н 0 :  11   11

Y t

 1   12 

...



...

  1

k Y t



k

  1

k



0 Y?

  11

X t

 1 

...

  1

k X t



k

  1

t



X t

Czy zmiany

Y

powodują zmiany   20   21

X t

 1 

...

  2

k X t



k

  21

Y t

 1

X?



...

  2

k Y t



k

Н 0 :  21   22 

...

  2

k



0

Statystyka F.

  2

t

Румяна Гурска 51

Model 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 199 obserwacji 1951:2-2000:4 Zmienna zależna: infl Zmienna Współczynnik Błąd stand. Statystyka t Wartość p const 0,208988 0,322158 0,649 0,51731 tbilrate_1 1,27788 0,229507 5,568 <0,00001 *** tbilrate_2 -1,21589 0,354614 -3,429 0,00074 *** tbilrate_3 0,763303 0,361774 2,110 0,03618 ** tbilrate_4 -0,660217 0,231385 -2,853 0,00481 *** infl_1 0,151030 0,0710895 2,125 0,03492 ** infl_2 0,124406 0,0702716 1,770 0,07827 * infl_3 0,186683 0,0703746 2,653 0,00866 *** infl_4 0,226679 0,0693899 3,267 0,00129 *** Przykładowe obliczenia w programie GRETL 52

53

 Zmiany rynkowych stóp procentowych wpływają z opóźnieniem na zmiany inflacji.

 Istnieje też zależność „natychmiastowa”.

54

 Czy zmienność (

volatility

) zmiennej X pozwala lepiej prognozować zmienność zmiennej Y (np. wariancję zmian kursu walutowego)?

E

(

y t

2 |

y t

2  1 ,

y t

2  2 ,

y t

2  3 ..., ) 

E

(

y t

2 |

y t

2  1 ,

y t

2  2 ,

y t

2  3 ...,

x t

2  1 ,

x t

2  2 ,

x t

2  3 ..., ) 55

 Model dla Y

Y t

  0 

i m

  1 

i Y t



i

 

t

 Model dla X

X t



b

0 

i n

  1

b i X t



i

 

t

 Standaryzowane składniki losowe z dwóch różnych równań regresji:  

z

1

t

 

z

2

t

56

 Wykorzystaj model GARCH lub MGARCH  Test Cheunga i Ng (1996): wykorzystaj wystandaryzowane reszty (i podniesione do kwadratu) z dwóch wcześniejszych regresji

U



z

2 1

t V



z

2 2

t

57

 Statystyka testu do testowania przyczynowości w wariancji z opóźnieniami od

j

do

k

S UV

(

j

,

k

)



T i k

 

j r UV

(

i

)

2

~



k

2 

j

 1 58

 Przyczynowość w wariancji na rynkach finansowych interpretowana jest często jako przepływ informacji (newsów, turbulencji) między rynkami/instrumentami.

 Zmienność rynkowych stóp zwrotu (zaburzenia na rynku) wpływa z opóźnieniem na zmienność inflacji.

59

 Dziękuję za uwagę!

60