Transcript Ejercicios resueltos identidades trigonométricas

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Antes de comenzar debes tener en
cuenta los siguientes consejos:
1. Organiza tu lugar de trabajo. Éste debe ser un lugar despejado, limpio y con
buena iluminación.
2. Evita las distracciones: televisor, messenger abierto, facebook… la novia o el
novio.
3. A medida que desarrolles tus ejercicios, anota en una columna las dificultades
que vas teniendo. Un truco es que no mires el siguiente paso hasta que
definitivamente no encuentres el camino a seguir.
4. Identifica si tu dificultad es sobre factorización, racionalización, operaciones
con fraccionarios u otros.
5. Analiza el ejercicio, especialmente donde tuviste la dificultad. No memorices
el paso puesto que para cada ejercicio es diferente. ANALIZA LOS CASOS Y
CUÁNDO SE APLICAN.
6. Es importante estar sereno y tranquilo. Tomarse el tiempo para estudiar,
respirar profundamente y nunca darse por vencido.
Primer ejercicio:
Establece si la siguiente expresión es o no es identidad
senx cos x
1  cos x
 cot x  csc x  senx
senx cos x
1  cos x

cos x
1

senx
 senx
senx
sen x cos x  cos x 1  cos x 
2
1  cos x  senx
senx
sen x cos x  cos x  cos x
2
2
2
2
senx
x cos x  cos x   cos x
2
1  cos x  senx
1  cos x  senx
2

cos x
senx
cos x  sen x  1   cos x
2
cos x

1  cos x  senx
 sen
1  sen x
2

2
2

cos x
senx
Cambiamos cotx y cscx por sus respectivas equivalencias
Realizamos suma de fraccionarios a ambos lados de la igualdad.
Efectuamos propiedad distributiva en  co s x 1  co s x 
Analizando el numerador, se debe buscar un modo de
eliminar la expresión sen x .
Esta es una forma, pero pueden existen otras maneras de hacerlo.
Aquí agrupamos los dos primeros términos.
2
¡Se factoriza!, pues existe un FACTOR COMÚN en la expresión del paréntesis
arriba.  sen x cos x  cos x 
2
cos x   cos x   cos x
2
2
1  cos x  senx
2
2
3
1  cos x  senx


por  cos 2 x
Multiplicamos los dos primeros términos
cos x   cos x 
2
cos x
Ordenamos o cambiamos el orden para ver las cosas mejor…
senx
1  cos x  senx
senx
2
cos x
senx
2
2
sen x  1
2
cos x  1  cos x 
cos x
Cambiamos la expresión
2
1  cos x  senx
cos x  cos x

senx
 cos x  cos x
3
2
cos x
2

cos x
Nuevamente factorizamos el numerador de la izquierda
senx
2

cos x
senx
Y simplificando la expresión anterior, finalmente concluimos que
!!!ES IDENTIDAD¡¡¡
Segundo ejercicio:
Establece si la siguiente expresión es o no es identidad
senx  cos x tan x
cos x
 2 tan x
senx
1

cos x senx
Cambiamos la expresión tanx por su equivalente
1 cos x  2 tan x
cos x
senx  senx
 2 tan x
Simplicando la expresión
cos x
2 sen x
 2 tan x
cos x senx
1
cos x
Sumando…
co s x
2 tan x  2 tan x
!!!ES IDENTIDAD¡¡¡
nos queda senx.
Tercer ejercicio.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
3 cos x  sen x  2
2
2
3 1  sen x   sen x  2
2
2
3  3 sen x  sen x  2
2
2
3  2 sen x  2
2
 2 sen x  2  3
2
 2 sen x   1
2
2 sen x  1
2
Aplicamos la propiedad fundamental
sen x  cos x  1
2
2
Propiedad distributiva de la multiplicación
con respecto a la suma
Simplificación de términos semejantes
Propiedad uniforme. Tratamos de dejar sola
la expresión sen 2 x
Simplificación…
Multiplicando por (-1) a ambos lados de la igualdad
1
sen x 
2
Despejando…
2
Sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad
1
sen x 
2
2
Y nos queda…
senx  
2
senx  
1
2
Racionalizando…
2
x  sen
x
1

2
 

2


 3 5 7 
,
4
,
4
,
4
4
Recordemos que la incógnita es el ángulo x.
Aplicamos la inversa…
Como las raíces son positivas y negativas, ¡¡¡éstas son
las soluciones!!!
Cuarto ejercicio.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
4 cos x  cos x  0
2
cos x  4 cos x  1   0
Factorizando: ¡FACTOR COMÚN!
Y nos quedan dos soluciones:
co s x  0

4 co s x  1  0
Despejando en ángulo x en cada una, nos darán:
x  co s
x
1
0
co s x 
4
 3
,
2
2
1
x  co s
1
1
 
4
x  1 .3 1 8 1 ra d
Quinto ejercicio.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
2 sen x  co s x  0
2 sen x  co s x
Despejamos 2senx
cos x  sen x  1
2
2 sen x 
1  sen x
2
 2 sen x 
2
2

2

1  sen x
2

2
4 sen x  sen x  1
Y simplificamos…
2
2
1  sen x
2
Elevamos al cuadrado a ambos lados de la igualdad
2
2
cos x  1  sen x
cos x 
4 sen x  1  sen x
Y nos queda…
2
Aplicamos la propiedad fundamental. Pues:
2
2
Juntamos términos semejantes
5 sen x  1
2
sen x 
2
1
Despejando…
5
senx  
1
Raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad
5
x  sen
1
1 




5

Despejando la incógnita, es decir, en ángulo x
En este caso, no hay un ángulo notable por lo que necesitamos la
ayuda de la calculadora en modo radianes
x  0.46 rad ,  0.46 rad