Transcript RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
P3 (cos (a+b), sin (a+b))
P2 (cos b, sin b)
P1 (cos a, sin a)
Q (1, 0)
P4 (cos a, -sin a)
P3 (cos (a+b), sin (a+b))
P2 (cos b, sin b)
P1 (cos a, sin a)
Q (1, 0)
Busur QP1 = a
Busur QP2 = b
Busur P4Q =  a = a
Busur P2P3 = a
P4 (cos a, -sin a)
Busur QP3 = Busur QP2 + Busur P2P3
= b+a
Busur P4P2 = Busur P4Q + Busur QP2
= a+b
Tali Busur P2P4 = Tali Busur QP3
Rumus Jarak Dua titik pada Koordinat Kartesius
s  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2
Shg P2 P4 
(cos b  cos a) 2  (sin b  ( sin a)) 2
P3Q  (cos( a  b)  1) 2  (sin( a  b)  0) 2
 cos 2 (a  b)  2 cos( a  b)  1  sin 2 (a  b)
Shg :
(cos b  cos a ) 2  (sin b  ( sin a )) 2  cos 2 (a  b)  2 cos( a  b)  1  sin 2 (a  b)
(cos b  cos a ) 2  (sin b  ( sin a )) 2  cos 2 (a  b)  2 cos( a  b)  1  sin 2 (a  b)
(cos b  cos a) 2  (sin b  sin a) 2  cos 2 (a  b)  2 cos(a  b)  1  sin 2 (a  b)
Dari Ruas Kiri (Ri)
↔ (cos b – cos a)2 + (sin b + sin a)2
↔ cos2 b – 2 cos a.cos b + cos2 a + sin2 b + 2 sin a. sin b + sin2 a
↔ cos2 b + sin2 b + cos2 a + sin2 a – 2 cos a. cos b + 2 sin a. sin b
↔ 1 + 1 – 2 (cos a. cos b – sin a. sin b)
↔ 2 – 2 (cos a. cos b – sin a. sin b)
Dari Ruas Kanan (Ra)
↔ cos2 (a+b) – 2 cos (a+b) + 1 + sin2 (a+b)
↔ cos2 (a+b) + sin2 (a+b)– 2 cos (a+b) + 1
↔ 1 - 2 cos (a+b) + 1
↔ 2 - 2 cos (a+b)
Sehingga didapatkan :
2 - 2 cos (a+b) = 2 – 2 (cos a. cos b – sin a. sin b)
Kesimpulan : cos (a + b) = cos a. cos b – sin a. sin b
cos (a + b) = cos a. cos b – sin a. sin b
cos (a – b) = cos (a + (-b))
= cos a cos (-b) – sin a sin (-b)
= cos a cos b + sin a sin b
Sehingga :
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b


Diketahui : cos(   )  sin  dan sin(   )  cos 
2
2

Sin (a + b) = cos(  (a  b))
2
= cos(

 a  b)
2

cos((
 a )  b)
=
2


cos(

a
).
cos
b

sin(
 a). sin b
=
2
2
Diperoleh :
Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Bagaimana dengan
Sin (a – b) = ?
Sin (a – b) = sin (a + (-b))
 sin a.cos (-b) + cos a. sin (-b)
 sin a. cos b – cos a. sin b
Sin (a – b) = sin a. cos b – cos a. sin b
tan( a  b) 
sin( a  b) sin a. cos b  cos a. sin b

cos( a  b) cos a. cos b  sin a. sin b
sin a . cos b
cos a . cos b
cos a . cos b
cos. cos b
cos a .sin b
 cos
a . cos b
sin a .sin b
 cos a.cos b
tan a  tan b
tan( a  b) 
1  tan a. tan b
Juga

1
cos a . cos b
1
cos a . cos b
tan a  tan b
tan( a  b) 
1  tan a. tan b
RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a – b) = sin a. cos b – cos a. sin b
cos (a + b) = cos a. cos b – sin a. sin b
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b
tan( a  b) 
tan a  tan b
1  tan a. tan b
tan a  tan b
tan( a  b) 
1  tan a. tan b
CONTOH SOAL
Tanpa menggunakan tabel/kalkulator, hitunglah
nilai dari :
1. Sin 75o
Jawab.
sin 750  sin( 450  300 )
 sin 450. cos 300  cos 450. sin 300
1
1
1
1

2.
3
2.
2
2
2
2
1

2 ( 3  1)
4
LATIHAN
Tanpa Menggunakan Tabel/kalkulator, tentukan
nilai dari
1. Sin 110o
2. Cos 15o
3. Tan 345o
8
10
5
dan sin b =
13
Jika sin a =
Dengan a dan b sudut lancip
Tentukan
a. Cos (a + b)
b. Cos (a – b)