Transcript priznaki_delimosti

Признаки делимости
Михайлов Михаил
Гимназия № 8 им. Боголюбова
Учитель: Зиновьева Надежда
Владимировна
Цели работы:
•
•
•
•
Рассмотреть признаки делимости
Углубить свои знания по теме «делимость»
Найти необычные признаки делимости
Научиться решать задачи, связанные с
делимостью
Словарик
• Признак делимости—алгоритм,
позволяющий сравнительно
быстро определить, является ли
число кратным заранее
заданному.
Словарик
• Знакочередующаяся сумма цифр.
Возьмем цифры, стоящие на нечетных
местах со знаком «+», а на четных – со
знаком «-» и сложим полученные числа.
• Например: знакочередующаяся сумма
цифр 7782= 7-7+8-2=6
Словарик
• Двузначные(трехзначные ) грани.
Число разбивается на группы по 2 (3)
цифры. Если разбиение начинается
слева и в последней грани не хватает
цифр, то приписываем нули.
• Например: разобьём 1172 на
трехзначные грани: 117и200
Признаки делимости
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
23
25
27
29
31
37
41
59
99
101
2013
Обобщенные признаки
делимости
• Признак делимости
на 5n на 2n
Признак делимости
Признак делимости на 5n
Признак делимости на 10n
Признак делимости на число, заканчивающееся на 1
Признак делимости на число, заканчивающееся на 9
Классификация признаков
делимости
Характеристика признака
Делители
Признаки, связанные с суммой цифр
3,9,27
Признаки, связанные с последними
цифрами
20, 10n,5n,2n
Признаки, связанные с суммами
многозначных граней
7,11,13,27,37,99,101
Признаки, связанные со
знакочередующимися суммами
7,11,13,101
Признаки, связанные с умножением
числа десятков и единиц на некоторые
числа
7,13,17,19,23,29,31,37,59
Комбинированные признаки
(делимость на множители делителя)
6,12,14,15,18
Некоторые задачи, связанные с делимостью
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Результаты
• В работе рассмотрены признаки делимости более, чем на
30 различных чисел
• Сформулированы собственные признаки делимости
• Некоторые признаки обобщены
• Признаки классифицированы по методам их применения
• Составлена подборка задач с подробными решениями по
теме «делимость»
• Придуманы собственные авторские задачи
• Результатом работы стала презентация по теме «признаки
делимости», которая может использоваться в работе
кружка и для подготовки к олимпиадам
Источники
• http://ru.wikipedia.org
• http://www.problems.ru
• Журнал «Квант» 1975 г.
Спасибо за внимание!
Признак делимости на 2
• Число делится на 2 тогда и только тогда,
когда его последняя цифра делится на 2, то
есть является четной
• Пример:10842 делится на 2,так как
последняя цифра чётная
Признак делимости на 3
• Число делится на 3 тогда и только тогда,
когда сумма его цифр делится на 3.
• Пример:10824 делится на 3,так как его
сумма цифр 1+0+8+2+4=15 делится на 3
Признак делимости на 4
• Признак 1: Число делится на 4 тогда и только тогда,
когда две его последние цифры составляют число,
которое делится на 4.
• Пример: 48404 делится на 4, так как 2 последние цифры
делятся на 4
• Признак 2: Двузначное число делится на 4 тогда и
только тогда, когда удвоенное число десятков,
сложенное с числом единиц делится на 4
• Пример:96 делится на 4, так как 9∙2+6=24и2∙2+4=8
делится на 4
Признак делимости на 5
• Число делится на 5 тогда и только тогда,
когда последняя цифра делится на 5, т.е.
если она 0 или 5.
• Пример:1045 делится на 5, так как
последняя цифра делится на 5
Признак делимости на 6
• Признак 1: Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно
делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр
делится на 3).
• Пример: 78 делится на 6, так как оно чётно и 7+8=15 делится на
3
• Признак 2: число делится на 6 тогда и только тогда, когда
учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц
делится на 6.
• Пример:3342 делится на 6,так как 334∙4+2=1338 и 133∙4+8=540
и5 4∙4=216 и 21∙4+6=90 и 9∙4=36 и 3∙4+6=18 и 1∙4+8=12 и 1∙4+2=6
делится на 6
Признак делимости на 7
•
Признак 1. число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся
сумма трехзначных граней числа делится на 7.
•
Пример: 138689257 делится на 7, так как 138-689+257=294, а 294 на 7 делится
•
Признак 2: число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число
десятков, сложенное с числом единиц делится на 7.
•
Пример: 154 делится на 7, так как 15∙3+4=49 на 7 делится.
•
Признак 3: число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа
десятков и удвоенного числа единиц, взятая по модулю, делится на 7.
•
Пример : 364 делится на 7, так как 36-4∙2=28 на 7 делится
Признак делимости на 8
• Признак 1:Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число,
образованное тремя его последними цифрами, делится на 8
• Пример:53328 делится на 8, так как 3 последние цифры делятся
на 8
• Признак 2: Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда,
когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков
и учетверённым числом сотен, делится на 8.
• Пример: 952 делится на 8 так как 9∙4+5∙2+2=48, а 48 на 8
делится.
Признак делимости на 9
• Число делится на 9 тогда и только тогда,
когда сумма его цифр делится на 9.
• Пример:7362 делится на 9, так как
7+3+6+2=18 делится на 9
Признак делимости на 10
• Число делится на 10 тогда и только тогда,
когда оно оканчивается на 0.
• Пример:100 делится на 10, так как
последняя цифра 0
Признак делимости на 11
• Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда,
когда знакочередующаяся сумма цифр делится на 11.
• Пример: 9163627 делится на 11, так 9-1+6-3+6-2+7=22, а
22 делится на 11.
• Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда,
когда на 11 делится сумма двузначных граней этого
числа.
• Пример: 103785 делится на 11, так как 10+37+85=132
делится на 11
Признак делимости на 12
• Признак 1: Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно
делится на 4 и 3 одновременно, то есть сумма цифр делится на
3, а число, составленное из 2 последних цифр делится на 4.
• Пример:1356 делится на 12,так как 1+3+5+6=15 делится на 3и 2
последние цифры делятся на 4
• Признак 2: Число делится на 12 тогда и только тогда, когда
модуль разности числа единиц и удвоенного числа десятков
делится на 12.
• Пример: 1236 делится на 12, так как 2∙123-6=240 делится на 12.
Признак делимости на 13
• Признак 1:Число делится на 13 тогда и только тогда,
когда на 13 делится знакочередующаяся сумма
трехзначных граней
• Пример:132639 делится на 13,так как 132+-639=-507
делится на 13
• Признак 2: Число делится на 13 тогда и только тогда,
когда сумма числа десятков с учетверенным числом
единиц делится на 13.
• Пример: 845 делится 13, так как 84+5∙4=104, а 104 на 13
делится.
Признак делимости на 14
• Число делится на 14 тогда и только тогда,
когда оно делится на 4 и 7 одновременно,
то есть число, составленное из 2 последних
цифр делится на 4, а знакочередующаяся
сумма трехзначных граней числа делится на
7.
• Пример: 284214 делится на 14,так как оно
чётно и 284+-214=70 делится на 14
Признак делимости на 15
• Число делится на 15, если оно делится на 3
и на 5(его сумма цифр делится на 3 и его
последняя цифра либо 5,либо 0)
• Пример:675 делится на 15,так как 6+7+5=18
делится на 3 и его последняя цифра 5
Признак делимости на 16
• Число делится на 16 если число,
составляемое из его последних 4 чисел
делится на 16
• Пример:146432 делится на 16, так как
последние 4 цифры делятся на 16
Признак делимости на 17
• Число делится на 17 тогда и только тогда,
когда модуль разности числа десятков и
пятикратного числа единиц делится на 17.
•
• Пример: 221 делится на 17, так как 225∙1=17 делится на 17.
Признак делимости на 18
• Число делится на 18 тогда и только тогда,
когда оно делится на 2 и 9 одновременно,
то есть число четное и сумма его цифр
делится на 9.
• Пример: 828 делится на 18, так как оно
чётно и 8+2+8=18 делится на 9
Признак делимости на 19
• Признак 1: Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число
десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
• Пример: 646 делится на 19, так как 64+2∙6=76,а 76на 19 делится.
• Признак 2: 1) отбрасываем последнюю цифру у числа
• 2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной
цифры на 2;
3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор,
пока не останется число, меньшее или равное 19.
4) если остается 19, то исходное число делится на 19.
• Пример: 953819 делится на19,так как 95381+9∙2=95399 и
9539+9∙2=9557 и 955+7∙2=969 и 96+9∙2=114 и 11+4∙2=19=19
Признак делимости на 20
• Число делится на 20 тогда и только тогда,
когда число, образованное двумя
последними цифрами, делится на 20.
• Пример:1380 делится на 20, так как 2
последние цифры делятся на 20
Признак делимости на 23
• Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда
число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным
двумя последними цифрами, делится на 23.
• Пример: 28842 делится на 23, так как 288+3∙42=414; 4+3∙14=46,
а 46 на 23 делится
• Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда
число десятков, сложенное с семикратным числом единиц,
делится на 23.
• Пример: 391 делится на 23, так как 39+7∙1=46, а 46 делится на
23.
Признак делимости на 25
• Число делится на 25 тогда и только тогда,
когда число, образованное двумя
последними цифрами, делится на 25.
• Пример:3874875 делится на 25,так как 2
последние цифры делятся на 25
Признак делимости на 27
• Признак 1:Число делится на 27 тогда и
только тогда, когда на 27 делится сумма
трехзначных граней.
• Пример: 275481 делится на 27,так как
275+481=756 делится на 27
Признак делимости на 29
• Число делится на 29 тогда и только тогда,
когда число десятков, сложенное с
утроенным числом единиц, делится на 29.
• Пример: 261 делится на 29, так как
26+3∙1=29 делится на 29.
Признак делимости на 31
• Число делится на 31 тогда и только тогда,
когда модуль разности числа десятков и
утроенного числа единиц делится на 31.
• Пример: 217 делится на 31, так как 21-3∙7=0
делится на 31.
Признак делимости на 37
• Признак 1:число делится на 37 тогда и только тогда,
когда на 37 делится сумма трехзначных граней.
• Пример:111111 делится на 17,так как 111+-111=0
делится на 37
• Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда,
когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен,
сложенного с учетверённым числом десятков, за
вычетом числа единиц, умноженного на семь.
• Пример: число 481 делится на 37, так как 3∙4+4∙8-7=37,
а 37 на 37 делится.
Признак делимости на 41
• Число делится на 41 тогда и только тогда,
когда модуль разности числа десятков и
четырёхкратного числа единиц делится на
41.
• Пример: 369 делится на 41, так как 36-4∙9=0
делится на 41.
Признак делимости на 59
• Число делится на 59 тогда и только тогда,
когда число десятков, сложенное с числом
единиц, умноженное на 6, делится на 59.
• Пример: 767 делится на 59, так как
76+6∙7=118; 11+6∙8=59 на 59 делится.
Признак делимости на 99
• Число делится на 99 тогда и только тогда,
когда на 99 делится сумма двузначных
граней .
• Пример: 12573 делится на 99, так как на 99
делится 12+57+30=99.
Признак делимости на 101
• Число делится на 101 тогда и только тогда,
когда знакочередующаяся сумма
двузначных граней делится на 101.
• Пример: 590547 делится на 101, так как на
101 делится 59-05+47=101.
Мой собственный признак признак делимости на 2013
Число делится на 2013 если оно делится на 11, 3 и 61
одновременно, то есть:
• 1) сумма цифр делится на 3;
• 2)знакочередующаяся сумма цифр делится на 11;
• 3)зачеркнём последнюю цифру числа и вычтем из
полученного числа эту цифру, умноженную на 6. С
полученным числом проделаем то же самое, и так далее.
Если через несколько шагов будет получен ноль, то число
делится на 2013.
•
•
•
•
•
•
•
•
48312 делится на 2013, так как
4+8+3+1+2=18, а 18 делится на 3
4-8+3-1+2=0, а 0 делится на 11
48312
4831-2*6=4819
481-9*6=427
42-7*6=0;
Значит 48312 делится на 2013
Признак делимости на 2n
• Число делится на 2n, если число
составленное из его последних n цифр
делится на 2n
Признак делимости на 5n
• Число делится на 5n, если число
составленное из его последних n цифр
делится на 5n
Признак делимости на 10n
• Число делится на 10n, если его последние n
цифр нули
Признак делимости на число,
заканчивающееся на 1
• Число, заканчивающееся на 1 имеет вид 10к+1.
• Зачеркните последнюю цифру делимого и вычтите из полученного
числа эту цифру, умноженную на к
• Пример : 17484 : 31.
• 31=3∙10+1
• Зачеркиваем 4:
• 1748-3∙4=1736
Признак делимости на число,
заканчивающееся на 1
• С полученным числом проделайте то же самое, и так далее. Если
через несколько шагов будет получен ноль, то число делится на 10к+1.
• Пример : 17484 : 31.
• 31=3∙10+1
• Зачеркиваем 4:
• 1748-3∙4=1736
• Зачеркиваем 6:
• 173-3∙6=155
• Зачеркиваем 5:
• 15-3∙5=0
• Число 17484 делится на 31.
• Выпишите все вычеркнутые числа справа налево. Полученное число
равно частному.
Признак делимости на число,
заканчивающееся на 9
• Число, заканчивающееся на 9 имеет вид 10к-1.
• Зачеркните последнюю цифру числа и прибавьте к
полученному числу эту цифру, умноженную на к.
• Пример: : 22971 : 39.
• 39=4∙10-1
• Зачеркиваем 1:
• 2297+4∙1=2301
Признак делимости на число,
заканчивающееся на 9
С полученным числом проделайте то же самое, и так далее. Если через
несколько шагов будет получен делитель, то число делится на 10к-1.
• Пример: : 22971 : 39.
• 39=4∙10-1
• Зачеркиваем 1:
• 2297+4∙1=2301
• Зачеркиваем 1:
• 230+4∙1=234
• Зачеркиваем 4:
• 23+4∙4=39
• Число 22971 делится на 39
Выпишите все вычеркнутые числа справа налево и вычтите это n-значное
число из 10n. Полученное число равно частному.
Частное равно 1000-411=589
Задача 1
• Может ли число, записываемое при
помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек,
быть точным квадратом?
• Решение: Согласно признаку делимости,
такое число кратно трем. Если бы оно было
полным квадратом, то делилось бы на 9. Но
число не кратно 9 (сумма его цифр не
кратна 9, она равна 300).
Задача 2
•
Чтобы открыть сейф, нужно ввести код— число, состоящее из семи
цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а
код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.
•
Ответ: 2222232
•
Решение: Так как двоек больше, чем троек, двоек может быть 4, 5, 6 или
7. В первом случае сумма цифр — 17, во втором — 16, в третьем — 15, а в
последнем — 14. По признаку делимости на 3 число делится на 3 тогда и
только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Значит, годится только
третий вариант.
Итак, в коде 6 двоек и 1 тройка. По признаку делимости на 4 число,
образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4.
Значит, это 32.
•
Задача 3
• Число 42X4Y делится на 72. Найти его цифры X и Y.
• Ответ: X1=0,Y1=8; X2=8, Y2=0.
• Решение: Так как 72 делится на 4, то по признаку делимости
на 4 получаем, что Y тоже делится на 4. Далее, так как 72
делится ещё и на 9, то по признаку делимости на 9, X+Y+10
делится на 9, что возможно только лишь при X+Y=8 или
X+Y=17. Объединяя полученные результаты и пользуясь тем,
что X,Y - цифры, получаем возможные варианты: (X,Y)=(8,0);
(X,Y)=(4,4); (X,Y)=(0,8); (X,Y)=(9,8). Подставляя все эти пары в
первоначальное число, убедимся, что только две из них: (0,8)
и (8,0), - подходят.
Задача 4
• Вася написал на доске пример на умножение двух
двузначных чисел, а затем заменил в нем все
цифры на буквы, причем одинаковые цифры - на
одинаковые буквы, а разные - на разные. В итоге
у него получилось АБ×ВГ=ДДЕЕ. Докажите, что
он где-то ошибся.
• Решение: Результат умножения (число справа)
делится на 11 (по признаку делимости). Значит, на
11 делится один из множителей. Но двухзначное
число кратно 11, если равны его цифры. Значит,
либо A=Б, либо В=Г, что противоречит условию.
Задача 5
• Дано трехзначное число, у которого первая и последняя
цифра одинаковые. Доказать, что число делится на 7
тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма
второй и третьей цифр.
• Решение: Обозначим первую цифру нашего числа буквой
a, вторую буквой b. По условию последняя цифра тоже
равна a. Тогда наше число равно 100a+10b+a = (98a+7b) +
3(a+b). Первое слагаемое делится на 7 при любых a и b.
Если второе слагаемое делится на 7, то и само число
делится на 7. Обратно, если число делится на 7, то второе
слагаемое 3(a+b) делится на 7, следовательно, a+b делится
на 7.
Задача 6
• Докажите, что число 192021...7980
делится на 1980.
• Ответ: 1980=9∙20∙11
• Решение: На 20 делится(последние две
80),19+20+21+22…+78+79+80=3069и30+69=
99, что делится на
11,1+9+2+0+2+1…+7+9+8+0=558и5+5+8=18и
1+8=9 что делится на 9
Задача 7
• Какую минимальную сумму цифр может иметь
натуральное число, делящееся на 99?
• Ответ: 18
• Решение: Пример с суммой цифр 18 очевиден - это само
число 99. Покажем, что числа с меньшей суммой цифр,
делящегося на 99, не существует. Если число n делится на 99,
то оно делится на 9, следовательно его сумма цифр должна
делиться на 9. Осталось показать, что сумма цифр не может
быть равной 9. По признаку делимости на 11 разность между
суммами цифр на четных и на нечетных местах в числе n
должна делиться на 11. Пусть сумма цифр, стоящих на
четных местах, равна A, а сумма цифр, стоящих на нечетных
местах, равна B, т.е. A-B должно делиться на 11.
Предположим, сумма цифр A+B числа n равна 9. Тогда |A-B|
не превосходит 9, что меньше 11. Кроме того, A-B не равно 0,
поскольку из чисел A, B ровно одно нечетно. Следовательно,
сумма цифр числа n не может равняться 9.
Задача 8
• Может ли число, сумма цифр которого
равна 2001, быть квадратом целого
числа?
• Решение: Так как сумма цифр числа делится
на три и не делится на девять, то и само
число делится на три и не делится на
девять, а, следовательно, это число не
может быть квадратом целого числа.
Задача 9
• Найдите все числа вида 13xy45z, которые
делились бы на 792.
• Ответ:1380456
• Подсказка: Примените признаки делимости
на 8, 9 и 11.
• Число должно делится на 8. Единственное
число, которое можно поставить вместо z6,значит z= 6
• Число должно делится на
9.1+3+x+y+4+5+6=19+x+y доп. x=8, то y либо
0, либо 9. 13+80+45+60=198и 19+80=99, что
делится на 11
•
Задача 10
• Коля Васин выписал пример на умножение,
а затем заменил все цифры буквами:
одинаковые цифры одинаковыми буквами,
а разные—разными. Получилось
равенство ab∙cd=effe. Не ошибся ли Коля?
• Подсказка: Примените признак делимости
на 11.
• Решение: Результат умножения (число
справа) делится на 11 (по признаку
делимости). Значит, на 11 делится один из
множителей. Но двухзначное число кратно
11, если равны его цифры. Значит, либо
a=b, либо c=d, что противоречит условию.
•
Задача 11
• Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз
больше суммы своих цифр.
• Ответ: 108.
• Решение: Число получается из суммы своих цифр умножением
на 12, значит, оно кратно 3. Значит сумма цифр также делится
на 3. Поэтому само число должно делиться на 9. Кроме того оно
делится на 4. Следовательно, нужно искать среди чисел,
которые делятся на 36. Поскольку сумма цифр трехзначного
числа меньше 9+9+9= 27, то само число может быть не больше
27.12 = 324. Перебор можно еще сократить, если заметить, что
сумма цифр может быть не больше 18 (она делится на 9 и
меньше 27). Поэтому само число не больше18.12 = 216.
Осталось перебрать числа 108, 144, 180, 216.
Задача 12
• Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры
которого различны. На какую цифру оно может
оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме
первых двух?
• Ответ: Только на 7
• Решение: Очевидно, что последняя цифра больше 1.
Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на
чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если
последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная
удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само
число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра
семь.
Задача 13
• Может ли число, записываемое с помощью 10 нулей, 10
единиц и 10 двоек, быть точным квадратом?
• Ответ: не может.
• Решение: Рассмотрим сумму цифр написанного числа n.
Она равна 0∙10+1∙10+2∙10=30. Поскольку 30 делится на 3,
то n должно делиться на 3 (согласно признаку делимости
на 3). Если n - точный квадрат, то n должно делиться и на
32=9. Однако сумма цифр числа n (равная 30) не делится
на 9, следовательно и n не может делиться на 9 по
признаку делимости на 9.
Задача 14
• В клетки таблицы 100×100 записаны
ненулевые цифры. Оказалось, что все 100
стозначных чисел, записанных по
горизонтали, делятся на 11. Могло ли так
оказаться, что ровно 99 стозначных
чисел, записанных по вертикали, также
делятся на 11?
• Ответ: Не могло
• Решение: Предположим, что требуемая расстановка цифр возможна.
Напомним критерий делимости числа на 11: число делится на 11 тогда
и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на четных местах,
имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на
нечетных местах.
Рассмотрим шахматную раскраску клеток нашей таблицы.
Тогда в каждой строке сумма цифр, стоящих на черных клетках, имеет
тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на
белых клетках.
То есть и во всей таблице сумма цифр, стоящих на черных клетках,
имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на
белых клетках.
Рассмотрим теперь 99 столбцов, в которых получились делящиеся на
11 числа. Для клеток этих столбцов аналогично получаем, что сумма
цифр, стоящих на черных клетках, имеет тот же остаток при делении
на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках.
Но тогда и в оставшемся столбце получаем, что сумма цифр, стоящих
на черных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и
сумма цифр, стоящих на белых клетках. Но это означает, что это число
делится на 11.
Задача 15
• В клетках таблицы 5×5 стоят ненулевые цифры. В каждой строке
и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлены
десять 5-значных чисел. Может ли оказаться, что из всех этих
чисел ровно одно не делится на 3?
• Ответ: Нет.
•
Решение: Если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3.
Пусть, для определённости, не делящееся на 3 число стоит в
верхней строке. Сумма всех цифр в каждом столбце делится на 3.
Значит, сумма всех цифр в таблице делится на 3. Вычтем из этой
суммы сумму цифр 4х чисел, стоящих в строках 2-5. Эта сумма
делится на 3, поскольку все вычитаемые делятся на 3. Но, с другой
стороны, это и есть сумма цифр, стоящих в верхней строке. Пришли
к противоречию, значит, предположение неверно.
Задача 16
• Найти все двузначные числа, сумма цифр которых не
меняется при умножении числа на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
• Ответ: 18, 45, 90 и 99.
• Решение: По условию сумма цифр числа a и числа 9a одна
и та же. Поэтому согласно признаку делимости на 9 число
a делится на 9. Двузначные числа, делящиеся на 9,
следующие: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 и 99. Из них
числа 27, 36, 54, 63, 72 и 81 не обладают требуемым
свойством; в этом можно убедиться, умножая их,
соответственно, на 7, 8, 7, 3, 4 и 9. Оставшиеся числа
требуемым свойством обладают.
Задача 17
• Подряд без пробелов выписали все четные
числа от 12 до 34. Получилось число
121416182022242628303234. Делится ли
оно на 24?
• Решение: Данное число не делится на 4,
поскольку число, составленное из двух его
последних цифр — 34 — не делится на 4. А,
значит, указанное в условии число не
делится и на 24.
Задача 18
• Дома у Олега есть сейф, но кода он не
знает. Бабушка рассказала Олегу, что код
состоит из 7 цифр - двоек и троек, причем
двоек больше, чем троек. А дедушка - что
код делится и на 3, и на 4. Сможет ли Олег
с первой попытки открыть сейф?
• Ответ: Да. код равен 2222232.
• Решение: Так как двоек больше, чем троек, то двоек
может быть 4, 5, 6 или 7. В первом случае сумма цифр
равна 17, во втором - 16, в третьем - 15, а в последнем 14. По признаку делимости на 3 число делится на 3 тогда и
только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Значит,
годится только третий вариант, и в коде должна быть
ровно одна тройка. Теперь, по признаку делимости на 4
число делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4
число, состоящее из двух последних цифр
рассматриваемого; значит, код обязательно кончается на
32. Отсюда заключаем, что код равен 2222232.
Задача 19
•
В справочнике "Магия для чайников" написано: Замените в слове
ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ одинаковые буквы на одинаковые цифры, а разные — на
разные. Если полученное число окажется простым, случится настоящее
землетрясение. Возможно ли таким образом устроить землетрясение?
•
Ответ: Нет.
•
Решение: Подсчитаем буквы в слове "ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ". Буква Е встречается 4
раза, а остальные 9 букв встречаются по одному разу. Это значит, что в числе
все 10 цифр будут присутствовать по одному разу, а какая-то одна цифра
(соответствующая букве Е)— ещё 3 раза сверх того. Сумма 10 цифр от 0 до 9
равна 45, т.е. кратна 3. Сумма трёх одинаковых цифр также кратна 3. Тем
самым, как бы мы ни заменяли буквы на цифры в слове "ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ",
сумма цифр полученного числа будет кратна трём. Значит, по признаку
делимости на 3, и полученное число будет делиться на 3.
Поскольку единственное простое число, делящееся на 3 — это само число 3, а
наше число заведомо его больше, полученное число не может быть простым.
Задача 20
• а) Скупой рыцарь хранит золотые монеты в шести
сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что
если открыть любые два сундука, то можно разложить
лежащие в них монеты поровну в эти два сундука. Еще
он заметил, что если открыть любые 3, 4 или 5
сундуков, то тоже можно переложить лежащие в них
монеты таким образом, что во всех открытых
сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился
стук в дверь, и старый скряга так и не узнал, можно ли
разложить все монеты поровну по всем шести
сундукам. Можно ли, не заглядывая в заветные сундуки,
дать точный ответ на этот вопрос?
б) А если сундуков было восемь, а Скупой рыцарь мог
разложить поровну монеты, лежащие в любых 2, 3, 4, 5,
6 или 7 сундуках?
Ответ: а) можно; б) нельзя.
• Решение:
• а)Разделим сундуки на три пары. Общее
количество монет в каждой паре сундуков чётно,
поэтому чётно и число монет во всех шести
сундуках. Теперь разделим сундуки на две
тройки. Число монет в каждой тройке кратно
трём, поэтому кратно трём и общее число монет
во всех сундуках. Итак, это общее число монет
делится на 2 и 3, а значит, и на 6 (так как 2 и 3
взаимно просты). Следовательно, все монеты
можно разложить поровну по 6 сундукам.
• б) Рассуждая так же, как в пункте а), можно доказать, что все
восемь чисел, соответствующие количествам монет в сундуках,
дают одинаковые остатки при делении на 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Значит, эти числа дают одинаковые остатки при делении на 420
(420 - это наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 4, 5, 6 и7). Но
поскольку 420 не кратно 8, эти числа могут иметь различные
остатки при делении на 8, что помешает поровну разложить
монеты по восьми сундукам.
Например, в первом сундуке могла быть 421 монета, а в
остальных семи - по одной. Тогда в двух сундуках в сумме либо
2, либо 422 монеты, оба числа чётные. В трёх сундуках в сумме
либо 3, либо 423 монеты, каждое из этих чисел делится на 3 и
т.д. В семи сундуках в сумме 7 или 427 монет. Оба числа
делятся на 7. Однако общее число монет 428 на 8 не делится. То
есть в этом случае на восемь сундуков разложить монеты
поровну не получится. С другой стороны, во всех сундуках
изначально могло храниться, например, поровну монет.
Поэтому точно ответить на вопрос, не зная, что лежит в
сундуках, нельзя.
Задача 21
• Автор: Михайлов Миша
• У Громозеки День Рождения каждые 2013
лет(он родился в 0ом году). Алиса выписала
подряд, без пробелов 429 раз число 61.
Будет ли в этом году День Рождения у
Громозеки?
Ответ: Да будет.
Решение: см. признак делимости на 2013.
Число 61616161…61616161 делится на 2013, так как:
1)его сумма цифр=429∙(6+1), так как 429 делится на 3,
то и число делится на 3.
2)Его знакочередующаяся сумма цифр=429∙(6-1), так
как 429 делится на 11, то и число делится на 11.
3)Число явно делится на 61, значит в этом году у
Громозеки будет День Рождения.
Задача 22
• Автор: Михайлов Миша
• На свой день Рождения Вася купил 174 конфеты.
На праздник пришли 4 человека. Может ли Вася
разделить поровну все конфеты?
• Ответ :нет
• Решение: 174 не делится на 4 так как 74 не
делится на 4
Задача 23
• Автор: Михайлов Миша
• Петя выписал на доске без пробелов числа от 1 до 8
и в конец числа приписал 0(123456780). Можно ли
заведомо сказать что это число делится на 12?
• Ответ: да
• Решение: число 123456780 делится на 4, так как 80
делится на 4; и оно делится на 3, так как
1+2+3+4+5+6+7+8+0=36и 3+6=9, что делится на 3
Задача 24 (городской тур
олимпиады 2012)
• В конце каждого урока физкультуры учитель
проводит забег и дает победителю забега 4
конфеты, а всем остальным ученикам – по одной.
К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля –
32, а Вася – 37 конфет. Известно, что один
мальчик пропустил ровно один урок физкультуры,
участвуя в олимпиаде по математике, остальные
же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил
урок?
Ответ: Вася
• Решение: Если 2 мальчика были на уроке,
то разница их конфет может быть 3 или 0.
Если мальчики уроков не пропускали, то
разность их конфет делится на 3, а если был
пропущен только 1 урок – то не делится.
Разность конфет у Коли и Пети – 3 , у Пети и
Васи – 8, у Коли и Васи – 5. Значит, Коля и
Петя уроков не пропускали, а пропустил
Вася.
Задача 25 (ЕГЭ С6)
• Имеются 8 карточек. На них записывают по одному
каждое из чисел:
• -11; 12; 13; -14; -15; 17; -18; 19
• Карточки переворачивают и перемешивают. На чистых
сторонах заново пишут по одному каждое из этих чисел.
После этого числа на каждой карточке складывают, а
полученные восемь сумм перемножают.
• А) Может ли в результате получиться 0?
• Б) Может ли в результате получиться 117?
Ответ: А) нельзя, Б ) нельзя.
• А)Решение: 0 можно получить только при
умножение числа на 0, а поскольку 0 при
сложение любых двух чисел получить
нельзя, то и в ответе получить 0 нельзя
• Б) Решение: 117=13*3*3. 13 получить
нельзя, тройки получить нельзя: можно
получить 3 и -3.