Transcript Kalkulus Bab II _GRAFIK PERSAMAAN

Universitas Jenderal Achmad Yani
1
• Sumbu mendatar: sumbu-x
y
Sumbu tegak: sumbu-y.
x1 ( absis P )
y1
P: (x1 , y1)
• Kedua sumbu dsb sumbu koordinat.
• Perpotongan sumbu: titik asal O:(0,0).
y1 ( ordinat P )
KW II
KW I
O
KW III
x1
KW IV
x
• Titik P(x1,y1): pasangan terurut x1 dan y1.
Jarak P ke sumbu-y : x1, dsb absis P
Jarak P ke sumbu-x : y1, dsb ordinat P.
• Kedua sumbu koordinat membagi bidang
atas empat bagian yang dinamakan
kuadran.
Universitas Jenderal Achmad Yani
2
Definisi
• Grafik suatu persamaan di R2 adalah himpunan semua titik (x,y) di R2
yang bilangan koordinatnya memenuhi persamaan tersebut.
• Grafik suatu persamaan disebut juga tempat kedudukan atau kurva
dari persamaan tersebut.
Contoh. Sketsa grafik persamaan:
(x – 2y + 3 ) ( y – x2 ) = 0
x
y = ½ x + 3/2
y = x2
-3
-2
0
½
9
4
-1
0
1
2
3
1
3/2
2
5/2
3
1
0
1
4
9
…
…
…
y-x 2=0
y
9
(-3,9)
x-2y+3 = 0
3
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Universitas Jenderal Achmad Yani
3
Cth. Gambar skets grafik persamaan : y = x-2 
Jawab:
x  2 bila

2  x bila
 (x  2) bila x  2  0
y = x-2   
 (x  2) bila x  2  0
x
-1
0
1
2
3
4
y
3
2
1
0
1
2
x2
x2
y
y= 2-x
3
untuk x < 2:
y =2-x
untuk x  2:
y = x-2
y= x-2
2
1
x
-1
0
Universitas Jenderal Achmad Yani
1
2
3
4
4
Teorema. ( Uji Kesimetrian )
Grafik persamaan akan:
• simetri terhadap sumbu-x  f(x,- y) = f(x, y)
• simetri terhadap sumbu-y  f(-x,y) = f(x,y)
• simetri terhadap titik asal  f(-x, -y) = f(x,y)
C: (- x,y)
A:(x,y)
O
D:(-x,-y)
B:(x, - y)
Universitas Jenderal Achmad Yani
5
Contoh • Grafik persamaan y = x2 simetri terhadap sumbu-y,
• Grafik persamaan y = x3 simetri terhadap titik asal,
• Grafik persaman y2 – x = 0 simetri terhadap sumbu-x.
f(x,y) : y = x²
f(-x,y) : y = (-x)² = x² : f(x,y)
Simetri thdp sb-y
f ( x, y ) : y 2  x
f ( x, y ) : (  y )2  x  y 2  x : f ( x, y )
Simetri thdp sb-x
Universitas Jenderal Achmad Yani
6
1.8 Rumus Jarak, Titik Tengah, dan Lingkaran
y
Teorema. ( Jarak )
Jarak titik P:(x1,y1) dan Q:(x2,y2)
Q : (x 2 ,y 2)
y2
ditentukan oleh :
yt
y 2- y 1
T
P:(x1 ,y 1 )
PQ =
Titik Tengah ruas garis PQ adalah
y1
x 2-x 1
T : (xt , yt ) =
x
x1
( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
xt
 x1  x 2 y1  y 2 
,


2
2


x2
Contoh.
Buktikan bhw segitiga dg titik sudut P:(3,-6), Q: (8,- 2), dan R: (-1,-1)
adalah suatu segitiga siku-siku.
Universitas Jenderal Achmad Yani
7
Jawab:
P:(3,-6), Q: (8,- 2), dan R: (-1,-1)
Jarak dua titik merupakan panjang sisi segitiga.
PQ  (8  3)2  ( 2  ( 6))2  25  16  41
QR  ( 1  8)2  ( 1  ( 2))2  81  1  82
PR  ( 1  3)2  ( 1  ( 6))2  14  25  41
Bahwa :
2
2
QR  PQ  PR
2
(berlaku dalil Phitagoras )
Ini berarti PQR siku  siku di P
Universitas Jenderal Achmad Yani
8
Persamaan garis melalui dua titik P:(x1,y1) dan Q:(x2,y2) ?
y
Definisi.
Q: (x2,y 2)
y2
y 2- y 1
P:(x1,y 1)
y 2  y1
x 2  x1
m=
y1
R (x 2, y 1 )
α
O
Jika garis g melalui dua titik P(x1,y1)
dan Q(x2,y2) yang tidak sejajar dg
sumbu-y, maka kemiringan garis g ,
dinyata-kan dg m, ditentukan oleh:
x 2-x 1
x1
….
(1.9.1)
x
Kemiringan garis = tanjakan,
slope, garis tangen, atau
gradien garis.
x2
Misalkan α sudut yang dibentuk
garis dengan sumbu-x positif
Gradien: m = tan α
Universitas Jenderal Achmad Yani
9
Dari sifat ketunggalan gradien, diperoleh:
y  y1 y 2  y1

x  x1 x 2  x1


y 2  y1
y  y1  (
)( x  x1 )
x 2  x1
y  y1
y ( 2
)( x  x1 )  y1
x 2  x1
Teorema.
Pers. garis yg melalui dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah
y 2  y1
y (
)( x  x1 )  y1
x 2  x1
….
(*)
• Akibat
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik
A:(a,b) adalah: y  m(x  a)  b
Universitas Jenderal Achmad Yani
10
Cth. 1
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (6, -3 ) dan ( -2, 3).
Jawab: x1  6 , x 2  2 , y1  3 , y 2  3
Pers. garis :
3
3
18
 3  ( 3) 
y
3
( x  6)  3   ( x  6)  3   x 
4
4
4
 26 
3
30
y x
atau 4 y  3 x  30 atau 3 x  47  30
4
4
Cth. 2
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (6, -3 ) dan membentuk
sudut ¼ π radian dengan sumbu-x positif.
Jawab:
Gradien garis : m  tan   tan 41   1
Garis melalui titik (6,3)  a  6 , b  3
Jadi pers. garis :
y  m( x  a)  b  1( x  6)  3  x  9
Universitas Jenderal Achmad Yani
atau
yx9
11
• Bentuk Lain Persamaan Garis Lurus
Persamaan Ax + By + C = 0 , dimana A,B, dan C konstanta; A dan B
tidak keduanya nol, adalah persamaan garis lurus
Ax + By + C = 0
 By = – A x – C
 y = (– A/B) x – (C/B)
y
gradien :
M:(0, -C/B)
m  tan 
Jika x = 0, maka y = - C/B
→ garis melalui titik M: (0, - C/B)
→ titik potong dg sb-y
Jika y = 0, maka x = - C/A
→ garis melalui titik N: (- C/A, 0)
→ titik potong dg sb-x
m
α
A
B
x
O
Universitas Jenderal Achmad Yani
N:(-C/A,0)
12
Hubungan dua garis
Misalkan garis g dan l mempunyai gradien masing-masing
mg dan ml
g sejajar l ↔ mg = ml
g
l
α
α
g
l
g tegak lurus l ↔ mg .ml = - 1
Universitas Jenderal Achmad Yani
13
Cth. 4
Dengan menggunakan kemiringan garis, buktikan bhw keempat titik
A: (6,2), B: (8,6), C: (4,8), dan D: (2,4) titik sudut suatu persegi panjang.
Petunjuk:
Tunjukkan bahwa gradien garis dari sisi yang berhadapan sama (sejajar)
Kemudian tunjukkan bahwa sudut persegi adalah siku-siku
Cth. 5
Garis g dengan pers. 2x + 3y – 5 = 0. Tentukan suatu pers. garis yang
tegak lurus garis g dan melalui titik A:( - 1, 3)
Misal garis yang dicari: garis l . Karena keduanya tegak lurus, maka: ml . mg  1
grs g : 2x  3 y  5  0  3 y  2x  5  y   32 x  53 . Mempunyai
gradien mg   32
Dengan demikian : ml . mg  1 
ml 
1

2
3
3
2
Pers. garis l adalah :
y  m( x  a)  b  32 ( x  1)  3  32 x  4 21
Universitas Jenderal Achmad Yani
atau
2y  3 x  9
14
Persamaan Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang yang berjarak tetap
(sama) dari suatu titik tetap.
Titik tetap tersebut dinamakan pusat dan jarak yang tetap dinamakan
jari-jari lingkaran.
y
Misalkan C: (a,b) menyatakan pusat
lingkaran dan r sebagai jari-jari
lingkaran, maka untuk sebarang
titik P(x,y) pada lingkaran berlaku:
Jarak P dan C = jari-jari lingk.
 PC = r
P :(x,y)
r
b
C :(a,b)
x
( x  a )2  ( y  b )2  r
( x  a )2  ( y  b )2  r 2
O
a
Persamaan lingkaran dengan pusat
C:(a,b) dan jejari r
Universitas Jenderal Achmad Yani
15
Dengan menjabarkan persamaan sebelumnyadiperoleh:
( x – a )2 + ( y – b )2 = r2  x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
 x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 - r2) = 0
 x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Menghasilkan :
A = -2a atau a = - ½ A ,
B = -2b atau b = - ½ B , dan
C = a2 + b2 - r2 atau r =
=
(  21 A )2  (  21 B)2  C
1
4
A 2  41 B 2  C
Teorema.
Persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah perssamaan lingkaran
dengan pusat C:(- ½ A, - ½ B) dan jari-jari r =
Universitas Jenderal Achmad Yani
1
4
A  14 B  C
2
2
16
Cth. 6
• Persamaan x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0 adalah persamaan lingkaran
dengan pusat C : ( - 3 , 1 ) dan jari-jari r = 5 .
Petunjuk: Gunakan rumus pada teorema sebelumnya
• Tentukan pers. lingkaran yang melalui titik (4,5), (3,-2), dan (1,-4).
Jawab:
Misalkan persamaan lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Melalui (4, 5) ==> 14 + 25 + 4A + 5B + C = 0 ....
(1)
Melalui (3, -2) ==> 9 + 4 + 3A – 2B + C = 0 ....
(2)
Melalui (1, -4) ==> 1 + 16 + A – 4B + C = 0 ....
(3)
Dari ketiga persamaan, dengan eliminasi atau substitusi
diperoleh A, B, dan C, sehingga persamaan lingkaran adalah:
x2 + y2 + 7x - 5y - 44 = 0
Universitas Jenderal Achmad Yani
17
HUBUNGAN LINGKARAN DAN GARIS
Berpotongan pada dua titik:
D>0
Berpotongan pada satu titik
(Garis menyinggung lingkaran):
D=0
Tidak berpotongan
(Garis di luar lingkaran):
D<0
Cata tan :
D  b 2  4ac : diskri min an persamaan kuadrat
Universitas Jenderal Achmad Yani
18
Universitas Jenderal Achmad Yani
19
2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan
A. Persamaan
• Persamaan adalah kalimat terbuka yg mengandung minimal
satu variabel yg melibatkan pernyataan “sama dengan”.
Misalnya: x2 - 4 = 0
Nilai tertentu variabel x yang membuat kalimat
bernilai benar dsb penyelesaian atau akar pers.
Misalnya,
x = 2 atau x = - 2 adalah akar
dari persamaan x2 – 4 =0.
Universitas Jenderal Achmad Yani
20
Cth. Persamaan
• Persamaan Linear.
Bentuk umum PL: ax + b = 0
Penyelesaian (akar)nya : x = - b/a
…
(1)
• Persamaan Kuadrat
BU Pers. kuadrat : ax2 + bx + c = 0
dimana a,b, dan c konstanta riil dan a≠0.
…
(2)
Penyelesaian/akar-akarnya:
x1,2 
b D
2a
, dimana: D = b2 - 4ac.
• Persamaan Derajat-n
BU Pers. Derajat-n : axn +an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
dimana: ai , i=1,2,3, …,n konstanta riil dan an ≠ 0
Universitas Jenderal Achmad Yani
21
Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 akar-akar PK: ax2 + bx + c = 0, maka berlaku:
i) x1  x 2  
b
a
ii) x1 . x 2 
c
a
iii) x1  x 2  
D
a
Cth: Tentukan penyelesaian pers. : 2x2 – 7x +5 = 0
x1,2
 ( 7)  ( 7)2  4( 2)(5)
 b  b 2  4ac


2a
2( 2)
7 9 73

4
4
73 5
x1 

dan
4
2

x2 
73
1
4
Universitas Jenderal Achmad Yani
22
B. Pertidaksamaan.
• Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dg minimal satu variabel
yg mengandung salah satu tanda berikut:
lebih besar dari ( > ) ,
lebih kecil dari ( < ) ,
lebih besar atau sama dengan (  ), atau
lebih kecil atau sama dengan (  ).
• Bentuk Umum:
P(x )
0
Q (x )
dimana P(x) dan Q(x) merupakan fungsi polinom derajat- n.
atau
tanda > diganti oleh tanda : < , ≥ , ≤
Universitas Jenderal Achmad Yani
23
Cara menentukan
penyelesaian pertidaksamaan.
Untuk mempermudah pemahaman, kita diskusikan melalui contoh
berikut ini. Prosedur dan proses penyelesaian pertaksamaan
mengacu kepada contoh tersebut.
Menentukan solusi:
(x  1)(x  2x  3)(x  9)
0
2
2
(4  x )(2  x)
2
2
Tanda Pertidaksamaan: ≥
Pembilang: P(x)
Penyebut: Q(x)
Universitas Jenderal Achmad Yani
24
Langkah-1:
• Faktorkan pembilang P(x) dan penyebut Q(x) dalam bentuk
perkalian faktor linear, dan tentukan pembuat nol faktor.
Ini untuk menentukan akar atau pembuat nol pembilang dan
penyebut. Dalam hal tidak dapat difaktorkan menjadi faktor linear
berarti bentuknya adalah kuadrat dan definit (definit positif atau
negatif).
P(x) = (x-1)(x2-2x-3)(x2-9)
Q(x) = (4-x2)(2-x)2
= (x-1)(x-3)(x+1)(x-3)(x+3)
= (2-x)(2+x)(2-x)2
= (x-1)(x+1)(x-3)2(x+3)
= (2-x)3(2+x).
Pembuat nol faktor-faktor tersebut adalah: { - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3 }
Faktor berderajat ganjil adalah: (x-1), (x+1), (2+x), (2-x), dan (x+3)
Faktor berderajat genap adalah: (x-3)
Universitas Jenderal Achmad Yani
25
Langkah-2:
• Nyatakan pembuat nol faktor tsb pada garis bilangan dg ketentuan:
Jika tanda pertidaksamaan memuat tanda “sama dengan” maka pembuat
nol pembilang dinyatakan tertutup dan pembuat nol penyebut dinyatakan
terbuka;
Jika tanda pertidaksamaan soal tidak memuat sama dengan ( > atau < )
maka semua tanda pembuat nol dinyatakan terbuka, yang berarti tidak ikut.
• Kemudian tentukan salah satu tanda bagian dengan melakukan uji oleh
salah satu nilai x yang diambil sembarang pada bagian itu.
(- )
-3
-2
-1
1
2
3
uji dengan x = 10
tandanya: ( - )
(x-1)(x+1)(x-3)2(x+3)
X=10
(2-x)3(2+x).
()( )( ) () ()


 ()
()
()3 ()
2
Universitas Jenderal Achmad Yani
26
( x  1)( x  1)( x  3)2 ( x  3)
(2  x ) (2  x )
3
Langkah-3:
0
• Tentukan tanda bagian lain secara berurutan dari tanda bagian
yang telah ditentukan sebelumnya, dengan ketentuan berikut :
Jika melewati pembuat nol dari faktor berderajat ganjil maka
tanda berubah dari tanda sebelumnya dan jika melewati
pembuat nol dari faktor yang berpangkat genap maka tandanya
tetap dari tanda sebelumnya.
Berubah
Berubah
Berubah
Berubah
Berubah
(+)
(-)
-3
Tetap
(+)
-2
(+)
(-)
-1
1
(-)
2
(-)
3
Tanda yang sudah ditentukan
Sebelum nya (Langkah-2)
Universitas Jenderal Achmad Yani
27
Langkah-4:
Arsir daerah penyelesaian kemudian terjemahkan dalam bentuk himpunan,
dengan ketentuan berikut:
• Arsir daerah positif jika tanda soal pertidaksamaan  atau > dan
• Arsir daerah negatif jika tanda pertidaksamaan soal adalah  atau < .
Dalam contoh ini, arsir daerah bertanda (+) karena soal
pertidaksamaan bertanda “  0 “.
(+ )
(- )
-3
(+ )
-2
(+ )
(- )
-1
1
(- )
2
(- )
3
HP = { x/ x  -3 atau -2 < x  -1 atau 1  x < 2 atau x = 3 }
Universitas Jenderal Achmad Yani
28
Cth. Tentukan solusi dari:
( x  2)( x  4)2
( x  3)
5
0
Soal Latihan
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
Buatlah ilustrasinya pada garis bilangan riil.
1. 3 – 2x  9 + 4x
2. 4  3  2  7
x
x
3. x11

2
3 x 1
4.
5.
( x 1)( x  2 )2
( x 3 )
3
0
x 2  2 x 3
( x  2 )3 ( x 1)4
Universitas Jenderal Achmad Yani
0
29
2.3 Nilai Mutlak
Secara geometri,
Nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan riil x didefinisikan
sebagai jarak dari x terhadap 0.
Berarti nilai mutlak dari setiap bil. selalu bernilai tak negatif.
Notasi yang digunakan adalah:
 x , jika x  0
x 
 x , jika x  0
Ini berarti:
4= 4 , - 4= - (- 4) = 4 , 0= 0
Universitas Jenderal Achmad Yani
30
Sifat-Sifat Nilai Mutlak.
Misalkan x dan y bilangan riil dan a bilangan riil positif, maka:
1. -x  x  x
2. x2 = x2
3. x y=xy
4.
x / y= x/y , asalkan y≠ 0
5.
x + y  x+y
6.
xy  x2  y2
Universitas Jenderal Achmad Yani
31
7. x< a  - a < x < a
dan
-a
a
 x< a  - a < x < a
8. x > a  x < - a atau x > a
x a  - a  x  a
-a
a
 x a  - a  x  a
dan
x a  x  - a atau x  a
Universitas Jenderal Achmad Yani
32
Contoh.
Tentukan penyelesaian dari :  x + 1 > 4
Jawab:
Cara 1 : Menggunakan sifat 8, diperoleh:
 x + 1  > 4  x + 1 < - 4 atau x + 1 > 4
 x < - 5 atau x > 3
Jadi HP = { x/ x < - 5 atau x > 3 }
Universitas Jenderal Achmad Yani
33
Cara 2: Menggunakan sifat 2 dan 6, diperoleh:
 x + 1 > 4
 (x + 1)2 > (4)2
 x2 + 2x + 1 > 16
 x2 + 2x – 15 > 0
 (x-3) (x+5) > 0
Pembuat nol faktor : pnf = { - 5 , 3 }
(+)
(-)
-5
(+ )
Uji dengan x = 10, maka
tanda: f(10) = (+)(+) = (+)
3
Jadi HP = { x/ x < - 5 atau x > 3 }
Universitas Jenderal Achmad Yani
34
Contoh.
Tentukan penyelesaian dari:
Jawab:
x2
5
x2

( x  2) 2
2

5
( x  2) 2

x 2  4 x  4  25( x 2  4 x  4)
0
2
x  4x  4
 8(3x  4)(x  3)
 24x 2  104x  96
0
2

0
( x  2)
( x  2) 2

(+)
(-)
4/3

x  4x  4
 25  0
2
x  4x  4
2

(+)
2
x2
5
x2
(-)
Pembuat nol pembilang: { 4/3 , 3 }
Pembuat nol penyebut : { 2 }
Jika diuji dengan x = 5, maka
Tanda f(5) =  8()()  0
( ) 2
3
Jadi HP = { x/ x  4/3 atau x  3 }
Universitas Jenderal Achmad Yani
35