Transcript Prof. Robson Ricardo de Araujo ÁLGEBRA - AULA 2

ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações
ÁLGEBRA – AULA 2
Equações
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ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações
DEFINIÇÕES
Expressão matemática é uma combinação de números, operadores e
incógnitas ou variáveis, além de símbolos gráficos, agrupados de
forma significativa para permitir a verificação de valores, formas,
meios ou fins.
Equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas
expressões matemáticas.
Resolver uma equação é encontrar valores numéricos que, ao serem
substituídos nas incógnitas da equação, tornam verdadeira a
sentença matemática.
Os valores numéricos que tornam a equação válida são chamados
raízes ou zeros da equação.
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EXEMPLOS
2𝑥 + 3 = 0
Equação do 1º grau
𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = 0
Equação do 2º grau
𝑥 5 + 3𝑥 + 7 = 𝑥 3 + 2𝑥 2
Equação do 5º grau
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Equação polinomial do nº grau
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EXEMPLOS
3𝑥 = 81
Equação exponencial
𝑥+3 =2
Equação modular
log10 3𝑥 + 1 = 2
Equação logarítmica
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝜋
Equação trigonométrica
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EXEMPLOS
3𝑥 + 2𝑦 = 2
Equação linear com duas variáveis
𝑥2 + 1 = 3
Equação irracional
2𝑥
𝑦
3
7
=
0
−1
𝑧
𝑤
Equação matricial
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IMPORTANTE
Se a e b são números reais,
𝑎. 𝑏 = 0
𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑏 = 0
EXEMPLO
Analise
𝑥 + 3 2𝑥 + 1 𝑥 − 5 = 0.
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OBSERVAÇÕES
1) Depois de determinar as raízes de uma equação, você deve
apresentá-la na forma de conjunto: o chamado conjunto solução,
denotado por S.
2) Equações equivalentes são aquelas que possuem o mesmo
conjunto solução.
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Equações do 1º grau são equações do tipo
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
Os valores a e b são chamados coeficientes da equação.
Toda equação da forma acima admite uma única solução da forma
𝑏
−
𝑎
Exemplos...
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LINGUAGEM USUAL x LINGUAGEM MATEMÁTICA
Expressão matemática de algumas expressões em língua portuguesa:
Em Português
Em Matematiquês
(dado) um número
𝑥
A sexta parte desse número
𝑥
6
O dobro desse número
2𝑥
A metade desse número “mais”
sua terça parte
𝑥 𝑥
+
2 3
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LINGUAGEM USUAL x LINGUAGEM MATEMÁTICA
Expressão matemática de algumas expressões em língua portuguesa:
Em Português
Em Matematiquês
Esse número acrescido de 5
unidades
𝑥+5
Esse número acrescido de 20%
20
𝑥+
𝑥
100
O quadrado desse número
acrescido de seu dobro mais
uma unidade
𝑥 2 + 2𝑥 + 1
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uma torneira A enche um tanque em 3 horas; uma torneira B enche
esse mesmo tanque em 4 horas; e uma ralo esvazia esse tanque em 6
horas. O tanque inicialmente está vazio. As duas torneiras são
abertas, e o ralo, destampado. Quanto tempo demorará para que
esse tanque fique cheio?
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SISTEMA DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
(Método da substituição) Se você tiver duas equações lineares com
duas incógnitas, pode-se achar uma solução para o sistema isolando
uma das variáveis em uma das equações e substituindo na outra
equação.
Exemplo: resolva 2𝑥 + 3𝑦 = 10
𝑥 − 2𝑦 = 7
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
Há três anos, a idade de Pedro era o triplo da
idade de Maria. No próximo ano, Pedro terá o
dobro da idade de Maria. Qual a idade de Pedro e
de Maria hoje?
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Equações do 2º grau são equações do tipo
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
Os valores a, b e c são chamados coeficientes da equação.
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EXEMPLOS
Verifique se a equação dada é ou não uma equação do 2º grau:
3𝑥 2
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1
+ 2𝑥 + = 0
2
SIM
3𝑥 + 4 = 0
NÃO
4𝑥 2 + 5𝑥 = 0
SIM
𝑡2 + 3 = 0
SIM
𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 = 0
NÃO
𝑛2 = 0
SIM
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OBSERVAÇÃO
Uma equação do 2º grau pode ou não ter solução. Tendo solução,
existe apenas uma ou, no máximo, duas soluções.
FÓRMULA DE BHASKARA
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
As soluções da equação acima são dadas por
−𝑏 ± Δ
𝑥=
2𝑎
onde
Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
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EXEMPLOS
(1) 3𝑥 2 − 7𝑥 + 2 = 0
(2) 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 = 0
(3) 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
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DISCUSSÃO SOBRE AS RAÍZES
Δ>0
Δ=0
Δ<0
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2 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
1 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
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EXEMPLOS
(1) Determine 𝛼 tal que 𝛼𝑥 2 + 𝛼𝑥 + 1 = 0 admita uma única raiz real.
(2) Determine 𝑚 real tal que 𝑥 2 − 3𝑥 + 𝑚 = 0 não admita raízes reais.
MAIS EXEMPLOS: resolva as equações incompletas:
(1) 𝑥 2 − 10𝑥 = 0
(2) 𝑥 2 − 36 = 0
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SOMA E PRODUTO DE RAÍZES
Sejam 𝑥1 e 𝑥2 raízes de uma equação do 2º grau
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
Então
𝑏
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑎
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𝑐
𝑥1 . 𝑥2 =
𝑎
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(1) A soma S e o produto P das raízes de 2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 = 0 são...
(2) Sabendo que as raízes de 2𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 são 3 e -5, determine
b e c.
(3) (a) Determine m tal que as raízes de 𝑥 2 − 𝑚 + 3 𝑥 + 𝑘 = 0 são
números simétricos.
(b) No caso acima, determine 𝑘 e 𝛼.
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OBSERVAÇÃO
Sejam 𝑥1 e 𝑥2 raízes de uma equação do 2º grau
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
-S= 𝑏
=P
𝑐
2
𝑥 + 𝑥+ =0
𝑎
𝑎
𝑥 2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
em que S e P são a soma e o produto de 𝑥1 e 𝑥2 , respectivamente.
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TENTE FAZER
Construa uma equação de 2º grau que tenha 3 e 5 como raízes.
EXTRA
Demonstre a fórmula de Bhaskara.
EXERCÍCIO
Demonstre que “Mulher é igual problema”
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A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz
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