Transcript Analyse de covariance - Service de l'informatique et des

Analyse de la covariance
ANCOVA
Exemple
Méthode 1
Habilité
Sc ore
5
12
4
13
5
11
5
14
6
16
8
15
9
17
10
18
11
19
7
15
Méthode 2
Habilité
Sc ore
1
7
3
11
5
13
4
13
5
16
6
15
6
16
7
17
8
18
5
14
Méthode 3
Habilité
Sc ore
7
9
7
12
9
11
10
14
9
17
12
16
11
17
12
18
13
21
10
15
Modèle général linéaire de l’ANCOVA
[valeur observée] = grande moyenne + [effet du
traitement] + [effet de la variable covariée] +
[erreur]
ou:
Xij = µ + i + ß(Yij-Y.) + eij

Hypothèse nulle
µ*1 = µ*2 = µ*3 = µ* à la place de
µ1 = µ2 = µ3 = µ
La répartition des variances
Pour X:
SC
Totale(x )
SC
Inter(x )
 
 n

SC


Intra (x )

x X
2
SC
ij
X X
 
SC
j
Totale(xy)
SP
Inter(xy)
xij X j
SC
Intra(xy)

   Y ij  Y

 n Y j Y

Inter(Y )

2
Pour la régression de X et Y
SP
Totale(y )
2

SP

Pour Y:
X  X 
X
ij
j
X

X  X 
  Y ij  Y i
ij
j
Intra(y )
 
 n
y Y 
2
ij
Y Y 
2
j
y Y 
 
2
ij
j
Les variances ajustées
Source
Ajustée
inter
Ajustée
intra
Ajustée
totale
SC ajustées
SCInter(aj) = SCTotale(aj) –
SCIntra(aj)
SCIntra(aj) = SCIntra(y) –
(SPIntra(xy)2/SCIntra(x))
SCTotale(aj) = SCTotale(y) –
(SPTotale(xy)2/SCTotale(x))
SC moyennes
ajustées
MSInter(aj) =
k-1
SCInter(aj)/(k-1)
MSIntra(aj) =
kn-k-1
SCIntra(aj)/(kn-k-1)
df
kn-2
F
MSInter(aj/
MSIntra(aj)
df
(k-1);
(kn-k-1)
Exemple de calcul
Sommes des carrées X (pretest)
SCTotale=(5 - 7.333)2 + (4 - 7.333)2 +. . .+ 13 - 7.333)2 = 240
SCInter= (9)[(7 - 7.333)2 + (5 - 7.333)2 + (10 - 7.333)2] = 114
SCIntra=(5 - 7)2 + (4 - 7)2 +. . .+ (13 - 10)2 = 126
Sommes des carrées Y (posttest)
SCTotale =(12 - 14.667)2 + (13 - 14..667)2 +. . .+ (21 - 14.667)2 = 276
SCInter= (9)[(15 - 14.667)2 + (14 - 14.667)2 + (15 - 14.667)2] = 6
SCIntra=(12 - 15)2 + (13 - 15)2 +. . .+ (21 - 15)2 = 270
Sommes des produits XY
SCTotale= (5 - 7.33)(12 - 14.667) + (4 - 7.333)(13 - 14.667) +. . .
+ (13 - 7.333)(21 - 14.667) = 184
SCInter=(9)[(7 - 7.333)(15 - 14.667) + (5 - 7.333)(14 - 14.667)
+ (10 - 7.333)(15 - 14.667)] = 21
SCIntra=(5 - 7)(12 - 15) + (4 - 7)(13 - 15) +. . .
+ (13 - 10)(21 - 15) = 163
Sommes des carrées ajustées
Source
Ajustée
inter
Ajustée
intra
Ajustée
totale
SC ajustées
SCInter(aj) = 134.9359.13=75.80
SCIntra(aj) = 270(1632/126) = 59.13
SCT otale(aj) = 276(1842/240)=134.93
df
SC moye nnes
ajustées
3MSInter(aj) = 37.9
1=2
27MSIntra(aj) = 2.57
31=23
272=25
F
df
37.9/2.57=14.75 2;23
SPSS
Moyennes ajustées
Postulats
Indépendance des observations
 Homogénéité de la variance
 Normalité dans la population
 Homogénéité des pentes de régression

Homogénéité des pentes de régression
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Vérification de l’homogénéité
des pentes de régression
Médiation
Sources d’association entre deux
ou plusieurs variables
Association
Effets
causaux
Effets
directs
Effets
indirects
Effets non
causaux
Anteced.
partagées
Ass. non
analysées
Modèle de médiation
Variable
médiatrice

Variable
indépendante
b
Variable
dépendante
t’
Effet direct = t’
Effet indirect = b
Effet total = t’+ b
Il y a médiation quand … (Baron
& Kenny, 1986)




L’effet direct de la variable indépendante sur la
variable dépendante (t’) est significatif.
Le chemin de la VI à la variable médiatrice () est
significatif.
Le chemin de la variable médiatrice à la VD (b) est
significatif.
Il y a médiation totale quand:
–
Après contrôle de la variable médiatrice l’effet directe de la
VI sur la VD (t’) devient non significatif.
Exemple
=.28
Sexe de
l’act eur
1-h, 0-f
Domiance
perçu
t‘=.42
Effet direct = t’=.42
b=.42
Disposition
perçu de
montré de la
colère
Effet indirect = b.12
Effet après contrÔle de la variable médiatrice: .30
Vérification du chemin ab

Test l’hypothèse que ab = 0 de Goodman (1960)
Z
ab
b
2
2
sa  a
2
2
2
2
sb  sa sb
avec
–
–
–
–

a le coefficient non standardisé de la régression de la VM sur la VI
b le coefficient non standardisé de la régression de la VD sur la VM (en
 pour la VI)
contrÔlant
sa erreur type de a = a/ta
sb erreur type de b = b/tb
Site avec calculatrice pour le test:
http:/www.psych.ku.edu/preacher/sobel/sobel.htm.
Exemple SPSS
Calcul de t’
Calcul de 
a = .41, sa = .164
Calcul de b
b = .40, sb = .096
Effet apès contrÔle de la
variable médiatrice: .30
Test de Goodman
Z
ab
2
2




2
2
2
b
a
b
b s a s s s
a

2
b = .40
sb = .096
a = .41
sa = .164
.16
Z
 2.0997; p  .036
.006
Ressources

Site web de Kristopher Preacher
–

Site web de David Kenny
–


http://www.people.ku.edu/~preacher/sobel/sobel.htm
http://davidakenny.net/cm/mediate.htm
MacKinnon, D. P., Lockwood, C. M., Hoffman, J. M., West, S. G., &
Sheets, V. (2002). A comparison of methods to test mediation and
other intervening variable effects. Psychological Methods, 7, 83-104.
Judd, C. M., Kenny, D. A., & McClelland, G. H. (2001). Estimating
and testing mediation and moderation in within - subject designs.
Psychological Methods, 6, 115-134.