Transcript barisan dan deret - Media Pembelajaran Online

PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
STANDAR KOMPETENSI
Memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam
pemecahan masalah
KOMPETENSI DASAR
► Menentukan pola barisan bilangan sederhana
► Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan
geometri
► Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan
deret geometri
► Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan
deret geometri
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
TUJUAN PEMBELAJARAN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Siswa dapat mengidentifikasi pola bilangan, barisan, dan
deret berdasarkan ciri-cirinya
Siswa dapat menggunakan notasi sigma untuk
menyederhanakan suatu deret;
Siswa dapat mendeskripsikan barisan dan deret
aritmatika berdasarkancirinya
Siswa dapat menentukan nilai suku ke – n suatu barisan
aritmatika dan geoometri dengan menggunakan rumus
Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret
geometri dengan menggunakan rumus
Mendeskripsikan barisan da deret geometri berdasarkan
ciri-cirinya.
Menentukan suatu jumlah suku takhingga suatu deret
geometri dengan menggunkan rumus
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
HOME
A. Barisan Aritmetika
Definisi
SK - KD
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku
berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).
Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan
dilambangkan dengan b.
Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
b. 2, 8, 14, 20, ...
c. 30, 25, 20, 15, ...
Barisan Aritmetika
PENYUSUN
5
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
30, 25, 20, 15, ...
–5
–5
–5
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku
sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda
sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku
b = Un – Un – 1.
Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku
pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b
dapat ditentukan seperti berikut.
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
6
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
U1 =
U2 =
U3 =
U4 =
U =
5
.
Un =
a
U1+ b = a + b
U 2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U 3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U 4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
Un1 + b = a + (n – 1)b
Jadi, suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b
di mana, Un = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda
n = banyaknya suku
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
7
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
Contoh 1 :
HOME
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....
SK - KD
Jawab:
–3, 2, 7, 12, …
Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) =5.
TUJUAN
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :
Un= –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : U 8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.
MATERI
SOAL
REFERENSI
20
PENYUSUN
8
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
Contoh 2 :
HOME
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak
suku barisan tersebut.
SK - KD
Jawab:
TUJUAN
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan
Un = 40.
Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga;
40 = –2 + (n – 1)3
40 = 3n – 5
3n = 45
Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.
Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
9
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
B. Deret Aritmetika
•
Definisi
Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu
barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + . + Un disebut deret aritmetika,
dengan U n = a + (n – 1)b.
•
•
Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama
barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu
barisan bilangan dinotasikan S.
Dengan demikian, S = U1 + U2 + U3 + ... + U.
Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
10
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
Jika setiap suku barisan aritmetika dijumlahkan,
maka diperoleh deret aritmetika :
HOME
SK - KD
TUJUAN
Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan
aritmetika.
Bentuk umum :
U1 + U2 + U3 + … + Un atau
a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n – 1)b)
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
11
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
HOME
atau
SK - KD
di mana,
Sn = jumlah suku ke-n
n = banyaknya suku
a = suku pertama
b = beda
Un = suku ke-n
TUJUAN
MATERI
SOAL
Catatan :
1. Barisan dituliskan
sebagai berikut
a1, a2, a3, …, an
2. Deret dituliskan
sebagai berikut
a1 + a2 + a3 + … + an
REFERENSI
PENYUSUN
12
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
Contoh 1:
HOME
SK - KD
Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....
Jawab:
Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.
S
=
x 100 {2(2) + (100 – 1)2}
= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah
10.100.
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
13
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
Contoh 1:
Suku kedua suatu deret aritmetika adalah 5. Jumlah suku keempat dan
suku keenam adalah 28. Tentukan suku kesembilannya.
Jawab:
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
Dengan mensubtitusikan b = 3, ke a + b = 5 dapat a + 3 = 5
sehingga a = 2
REFERENSI
Jadi, suku kesembilan deret aritmetika tersebut adalah
PENYUSUN
14
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
C. Barisan Geometri
HOME
• “ Seandainya kamu mempunyai satu lembar kertas ”
SK - KD
• “ Kemudian, kamu melipat kertas tersebut, satu kali ”
Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? 2
• “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, dua kali ”
Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? 4
• “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, tiga kali ”
Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? 8
• “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, empat kali ”
Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk pada kertas itu? 16
• “ Jika, kamu melipat kertas tersebut, n kali ”
Berapa banyak bagian (kotak) yang terbentuk???
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
15
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
Coba perhatikan barisan bilangan berikut !!!
1 2 4 8 16 32 . . . . . . .
20 21 22 23 24
Suku ke-2  U2 = 2 =
Suku ke-3  U3 = 4 = 22
21
SK - KD
TUJUAN
25
Suku ke-1  U1 = 1 = 20
Suku ke-2  U2 = 2 = 21
HOME
1
2
2
2  
2
0
U
1 2
1
U
U3 4 2 2
  1 2
U2 2 2
Kesimpulan apa yang kalian peroleh ???
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
16
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
SYARAT BARISAN GEOMETRI
Suatu barisan bilangan dengan suku-suku
U1, U2, U3, … , Un
disebut suatu barisan geometri apabila
memenuhi syarat bahwa:
U 2 U3 U 4
Un


 ... 
 k onstan
U1 U2 U3
Un1
Nilai konstan disebut dengan pembanding atau rasio
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
17
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
HOME
Berdasarkan syarat/ciri barisan geometri, yang
telah dikemukakan di awal, maka :
SK - KD
TUJUAN
BARISAN GEOMETRI adalah suatu barisan dengan
rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang
berurutan selalu tetap
MATERI
SOAL
REFERENSI
Coba bandingkan ciri barisan geometri dengan barisan
aritmatika yang telah kalian pelajari !!
PENYUSUN
18
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
RUMUS SUKU ke-n BARISAN GEOMETRI
Suatu barisan geometri dengan bentuk umum
a, ar, ar2, ar3, ar4, … , Un
maka Rumus Suku ke-n Barisan Geometri adalah:
Un = arn-1
Keterangan:
dengan
Un
r
Un1
a = suku pertama
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
r = rasio
PENYUSUN
n = banyak suku
19
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
CONTOH SOAL 1
Diketahui barisan geometri : 3, 9, 27, 81, …….
Tentukan :
HOME
SK - KD
TUJUAN
a) Suku pertama
b) Rasio
c) Rumus suku ke-n
d) Suku ke-10
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
20
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
Pembahasan
HOME
Diketahui barisan geometri : 3, 9, 27, 81, …….
a) Suku pertama = U1 = 3
U2 9
b) Rasio = U1  3  3
= 3(3)n-1 =31+(n-1) = 3n
d) Suku ke-10 =
TUJUAN
MATERI
n-1
ar
c) Rumus suku ke-n =
310
SK - KD
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
= 59049
21
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
HOME
D. Deret Geometri
PENGERTIAN DERET GEOMETRI
SK - KD
DERET GEOMETRI adalah penjumlahan dari
masing-masing suku dari suatu barisan geometri
TUJUAN
MATERI
Deret Geometri dituliskan :
U1 + U2 + U3 + … + Un
SOAL
REFERENSI
atau
a + ar + ar2 + … + arn-1
PENYUSUN
22
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
RUMUS DERET GEOMETRI
Jika U1, U2, U3, …. , Un merupakan barisan
geometri dengan suku pertama a dan rasio r.
maka jumlah n suku barisan geometri dinyatakan
dengan rumus:
a (r  1 )
Sn 
r 1
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
n
Untuk r ≠ 1 dan r > 1
SOAL
REFERENSI
a(1- r n )
Sn 
1 r
Untuk r ≠ 1 dan r < 1
PENYUSUN
23
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
CONTOH SOAL 1
HOME
Hitunglah jumlah 6 suku pertama deret geometri:
2 + 6 + 18 + ….
SK - KD
TUJUAN
Pembahasan!!!
U1 = a = 2
U 6
r  2  3
U1 2
a(rn  1)
Sn 
r 1
2 (36 - 1 )
S6 
3 1
2 (7 2 9 1 ) S = 728

6
2
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
24
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
E. Deret Geometri Tak
Terhingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1.
Jumlah S dari deret geometri tak hingga adalah
HOME
SK - KD
TUJUAN
Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga.
Adapun untuk n tak terhingga terdapat dua kasus yang harus kalian
perhatikan, yaitu :
Kasus I
Jika –1 < r < 1, maka rn menuju 0.
MATERI
SOAL
Akibatnya,
REFERENSI
Deret geometri dengan –1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen
(memusat).
PENYUSUN
25
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
HOME
Kasus II
Jika
makin besar.
Untuk
Untuk
Untuk
, maka untuk
,nilai
dengan n ganjil didapat
dengan n genap didapat
didapat
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
Akibatnya,
REFERENSI
Deret geometri dengan
ini disebut
deret geometri divergen (memancar).
PENYUSUN
26
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
REFERENSI
Barisan dan deret banyak
digunakan dalam bidang
ekonomi
seperti
perbankan, perdagangan,
dan lain sebagainya.
SK yang akan di capai pada
materi ini yaitu dapat
memahami barisan dan
Deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah.
Selain itu dapat memperhatikan KD
dan Indikator Pencapaian Tujuan serta
Pengalaman belajar untuk barisan dan
deret.
Fibonacci adalah seorang
matematikawan Italia yang
dikenal sebagai penemu
bilangan Fibonacci dan
perannya
dalam
mengenalkan sistem
penulisan dan perhitungan bilangan
Arab ke dunia Eropa.
Rizha agustin, barisan dan deret, 27 sept
2013.
Siswi macmudah, barisan dan deret, 27
sept 2013
Gunawan T.2002. soal dan penyelesaian
matematika
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN
27
PEMERINTAH KOTA PONTIANAK
DINAS PENDIDIKAN
Jl. Letjen. Sutoyo Pontianak, Telp. (0561) 736711, Website: http://dindikptk.net
PENYUSUN
NAMA
ARIC GHARMITA YUDHA,S.Pd
E-MAIL
[email protected]
TEMPAT TUGAS
SMK PGRI PONTIANAK
HOME
SK - KD
TUJUAN
MATERI
SOAL
REFERENSI
PENYUSUN