Transcript LIMIT

LIMIT
Jurusan Teknik Mesin
Universitas Riau
2010
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Konsep Limit
Pengkajian Mendalam tentang Limit
Teorema Limit
Limit Melibatkan Fungsi Trigonometri
Limit di Tak-hingga, Limit Tak-berhingga
Kontinuitas Fungsi
Telaah Bab
Pendahuluan Limit
• Kalkulus adalah studi tentang limit
• Apa yang terjadi pada fungsi f(x) ketika x
semakin mendekati suatu konstanta c ????
Contoh
1.
x2  4
4
lim 2

x 2 x  x  6
5
x
f ( x)
x
f ( x)
1
0.75
3
0.83333
1.5
0.7778
2.5
0.81818
1.9
1.999
0.7959
0.79996
2.1
2.001
0.80392
0.80004


2
0.8

2

0.8
2.3 Konsep Limit
Definisi Intuitif
Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
sedemikian hingga:
• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L
• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L
• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg
membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a
• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,
lim f ( x )  L
x a
• Hitung lim f ( x )
x 0
 1 if x  0
1. f ( x )  
0 if x  0
1 if x  0
x
2. f ( x ) 

| x |  1 if x  0
Hukum2 Limit:
1. lim C  C
xa
(Hk.Konstanta).
Jika limit berikut ada
2.
lim f ( x)  L dan
xa
lim g ( x)  M maka
x a
lim[ f ( x)  g ( x)]  [lim f ( x)]  [lim g ( x)]  L  M (Hk. Penjumlahan)
x a
xa
xa
3. lim[ f ( x) g ( x)]  [lim f ( x)][lim g ( x)]  LM
(Hk.Perkalian)
f ( x) L
f ( x) lim
xa
4. lim


xa g ( x)
lim g ( x) M
(Hk.Pecahan)
xa
xa
xa
xa
asalkan jika M  0.
5. Jika n suatu bilangan bulat positif dan jika a  0 untuk nilai n genap,
maka
lim n x  n a .
xa
(Hk.Akar)
6. Misalkan lim g ( x)  L dan lim f ( x)  f ( L) maka
xa
x L
lim f ( g ( x))  f (lim g ( x))  f ( L). (Hk.Substitusi/ Limit Komposisi)
xa
xa
2.4. Teorema2 Limit
1. Teorema Limit trigonometri:
sin x
lim
1
x 0
x
2. Hukum Apit: Misalkan f(x)  g(x)  h(x) untuk
semua x disekitar a namun x a, dan
lim f ( x )  L  lim h( x )
x a
maka
lim g ( x )  L
x a
x a
cos(x)  sin(x)/x  1/cos(x)
1
sin(x)
, maka lim
1
x 0 cos(x)
x 0
x
lim cos(x)  1  lim
x 0
Contoh
Tunjukkan
Bukti:
1
lim x sin  0.
x 0
x
2
Untuk x  0,  1  sin
1
1
x
 x 2  x 2 sin
dan
x2  0
1
 x2
x
karena lim( x 2 )  0 dan lim x 2  0
x 0
x 0
maka
1
lim x sin  0 (menggunakan PrinsipApit).
x 0
x
2
• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)
lim f ( x )  L
x a
• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)
lim f ( x )  L
x a
• Teorema 2:
lim f ( x )  L
x a
jika dan hanya jika
lim f ( x )  L  lim f ( x )
x a
x a
Contoh
 1, x  0
f ( x)  
.
 2, x  0
Untuk x  0, lim f ( x)  lim 1  1.
x 0 
x 0 
lim itkanan.
Untuk x  0, lim f ( x)  lim (2)  2. lim itkiri.
x 0 
Maka
x 0 
lim f ( x) tidakada
x 0
Contoh2 limit
(1) lim ( x 2  1)  12  1  2.
x 1
(2) lim | x | 0.
x 0
1
(3) lim 2 does not exist.
x 0 x
 1, x  0
(4) f ( x)  
 1, x  0
lim f ( x) does not exist.
x 0
Need one - sided limitsfor such example- discussed later.
x2  9
(5) lim
;
x 3 x  3
x2  9
Disini f ( x) 
 f (3) tidak erdefinisi
t
.
x3
T etapi
x 2  9 ( x  3)(x  3)
f ( x) 

 x  3 , untuk x  3.
x3
x3
Jadi
x2  9
lim
 lim ( x  3)  3  3  6.
x 3 x  3
x 3
• Definisi Limit.
Limit dari f(x) bila x menuju a adalah L R,
ditulis
lim f ( x )  L
x a
jika dan hanya jika, untuk e > 0, terdapat d > 0
sedemikian sehingga jika
0 < |x - a| < d maka |f(x) - L| < e.