Transcript pptx

2301520 Fundamentals of AMCS

Taylor Series

f (x ) 

f
(n )
(c )
(x  c )
n
n!
n 0
 f (c ) 
f (c )
(x  c ) 
1!

f (c )
(x  c ) 
2
2!
f (c )
( x  c )  ...
3
3!
Maclaurin Series

f (x ) 

n 0
f
(n )
( 0)
x
n
n!
 f ( 0) 
f ( 0)
1!
x 
f ( 0)
2!
x
2

f ( 0)
x
3
 ...
3!
2

กำหนดให้ T k ( x ) เป็ นผลบวกย่อยของอนุกรมเทเลอร์ จนถึงพจน์ ( x  c ) k
k
T k (x ) 

n 0
f
(n )
(c )
(x  c )
n!
 f (c ) 
f (c )
1!


T k (x )
n
(x  c ) 
f (c )
( x  c )  ... 
2
2!
f
(k )
(c )
(x  c )
k
k!
เรี ยกว่ำพหุนามเทเลอร์ ดีกรี k ของ f ที่ c
ดังนัน้
f ( x )  lim T k ( x )
k 
3
ให้ R k ( x )  f ( x )  T k ( x ) ดังนัน้ f ( x )  T k ( x )  R k ( x )
 R ( x ) เรี ยกว่ำเป็ นเศษเหลือ
k

Taylor’s inequality
ถ้ ำ
f
( k  1)
(x )  M
R k (x ) 
M
( k  1) !
สำหรับ x  c  d จะได้ วำ่
x c
k 1
สำหรับ x  c  d
4
ตัวอย่ำง
1. จงหำ Maclaurin series ของ sin(x) พร้ อมทังหำขอบเขตบนของ
้

R k (x )
2.
3.
ถ้ ำใช้ พหุนำมเทเลอร์ ดีกรี 5 ของ sin(x) ที่ 0 ในกำรประมำณค่ำ sin(x)
สำหรับช่วง  0.3  x  0.3 จงหำขอบเขตบนของค่ำควำมคำด
เคลื่อน
ถ้ ำใช้ พหุนำมเทเลอร์ ดีกรี 5 ของ sin(x) ที่ 0 ในกำรประมำณค่ำ sin(x)
และต้ องกำรให้ มีคำ่ ควำมคำดเคลื่อนไม่เกิน 0.00005 ควรจะใช้ พหุนำมเท
เลอร์ ดงั กล่ำวประมำณค่ำ sin(x) สำหรับค่ำ x ช่วงใด
5
ตัวอย่ำง
3
x
1. จงหำพหุนำมเทเลอร์ ดีกรี 2 ที่ c=8 ของ f ( x ) 
2. ถ้ ำต้ องกำรใช้ พหุนำมเทเลอร์ ดงั กล่ำวเพื่อประมำณ f ( x ) สำหรับช่วง
7  x  9 จงหำขอบเขตของควำมคำดเคลื่อน

6