Transcript 03b.Mencari Akar Persamaan

Mencari Akar
Persamaan
Metode Terbuka
Mengapa Dikatakan
Metode Terbuka?
• Karena tidak memerlukan adanya
interval.
• Karena hanya memerlukan satu tebakan
awal.
Macam Metode Terbuka?
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant
Metode
Newton – Rhapson . . .
Newton – Raphson
Isaac Newton
• Menulis penelitian dengan judul
“Analysis Aequationum Universalis”
• Dipublikasikan tahun 1960,
• Sekarang dikenal dengan Metode
Newton-Raphson
• Menulis penelitian dengan judul
“Method of Fluxions” (1671)
• Dipublikasikan tahun 1736
Joseph Raphson
Prinsip Dasar
• Memerlukan tebakan awal.
• Akar persamaan tebakan awal
dinotasikan dengan x0.
• Tebakan awal ini diiterasi terus
menerus untuk mendapat nilai tebakan
yang lebih baik.
Syarat
Metode Newton-Rhapson
•
Fungsi f(x) merupakan fungsi kontinyu.
•
Turunan pertama dari f(x) diketahui.
•
f ‘ ( x 0) ≠ 0
Mengapa Menggunakan
Turunan?
Mengapa Menggunakan
Turunan?
A
C 
B
𝐴𝐵
tan 𝛼 =
𝐵𝐶
𝑓(𝑥𝑖 )
𝑓′(𝑥𝑖 ) =
(𝑥𝑖 −𝑥𝑖+1 )
𝑥𝑖+1
𝑓(𝑥𝑖 )
= 𝑥𝑖 −
𝑓′(𝑥𝑖 )
Langkah
Metode Newton-Rhapson
𝑥0 , 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1
𝑓 𝑥
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − ′
𝑓 𝑥
𝑖 =𝑖+1
Tidak
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 < 𝜀
Ya
Selesai
Contoh Persoalan
Temukan akar persamaan dari fungsi
f(x) =x32x2+x 3
dengan x0 = 4
Iterasi-1: x1 = x0  f(x0)/f’(x0) =
Iterasi-2: x2 = x1  f(x1)/f’(x1) =
Iterasi-3: x3 = x2  f(x2)/f’(x2) =
Permasalahan dalam
Newton-Rhapson (1)
Jika tebakan inisial akarnya jauh
dari akar yang dicari, metode ini
sulit mencapai konvergensi.
Runaway
x0
x1
Permasalahan dalam
Newton-Rhapson (2)
Flat Spot
• Jika nilai f’(x) adalah nol, maka langkah gagal.
• Jika f ’(x) sangat kecil maka nilai x1 akan sangat
jauh dari x0.
Permasalahan dalam
Newton-Rhapson (3)
Cycle
x1=x3=x5
x0=x2=x4
Langkah terus berulang pada dua nilai x0 dan x1
Metode Secant . . .
Secant
• Sudah ada 3.000 tahun sebelum metode Newton.
• Ada yang menyebutnya dengan “Rule of Double False
Position”
Dari Metode Newton-Raphson
Diketahui : f(x), f’(x), dan 𝑥0 dapat dicari,
dengan 𝑓′(𝑥0 ) ≠ 0
Akar persamaan baru menggunakan Metode
Newton-Raphson :
𝑥𝑖+1
𝑓(𝑥𝑖 )
= 𝑥𝑖 −
𝑓′(𝑥𝑖 )
Namun . . .
Bagaimana jika :
𝑓′(𝑥𝑖 ) tidak tersedia,
atau sulit dicari secara analitis?
Pendekatan Pada Turunan
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
𝑓 𝑥 =
ℎ
′
Jika 𝑥𝑖 dan 𝑥𝑖−1 adalah dua titik awal :
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖−1 )
′
𝑓 𝑥𝑖 =
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
maka . . .
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖+1 − 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥𝑖
𝑖 −𝑓 𝑥𝑖−1
𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑓
(𝑥𝑖 −𝑥𝑖+1 )
𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖 −𝑓 𝑥𝑖−1
Syarat Metode Secant
Harus ditentukan suatu titik awal
supaya 𝑓(𝑥𝑖 ) ≠ 𝑓(𝑥𝑖+1 )
Diagram Alir Metode Secant
𝑥0 , 𝑥1 , 𝑖 = 1
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖
𝑥𝑖 −𝑥𝑖+1
𝑓 𝑥𝑖 −𝑓 𝑥𝑖−1
𝑖 =𝑖+1
Tidak
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 < 𝜀
Ya
selesai
Analisa Konvergensi (1)
• Laju konvergensi metode Secant sangat
linear :
|𝑥𝑖+1 − 𝑟|
≤𝐶
𝛼
𝑥𝑖 − 𝑟
dengan 𝛼 = 1,62
r = akar persamaan
𝑥𝑖 = perkiraan akar pada iterasi ke-i
Analisa Konvergensi (2)
• Nilainya lebih baik dari metode bagi dua,
namun tidak lebih baik daripada metode
Newton.