Transcript 2. Permutasi - WordPress.com

Permutasi dan Kombinasi
By Gisoesilo Abudi, S.Pd
[email protected]
Soesilongeblog.wordpress.com
Harapan setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
Permutasi dan kombinasi serta dapat
menerapkannya dalam kehidupan
sehari-hari
Permutasi
Jika terdapat suatu himpunan dengan
n unsur yang berlainan, maka
banyaknya
susunan
(cara
pengurutan*)
dari
semua
atau
sebagian unsur tersebut dinamakan
permutasi.
*) Terurut artinya susunan (a, b) berbeda dengan (b, a)
1. Permutasi n unsur dari n unsur yang
berbeda
Permutasi n unsur dari n unsur
yang tersedia (ditulis Pnn atau nPn)
adalah banyak cara menyusun
n unsur yang berbeda diambil dari
sekumpulan n unsur yang tersedia.
Rumus:
nPn
= n!
Contoh 1
Tentukan banyak cara untuk
menyusun huruf-huruf H, A, T, dan I
….
Penyelesaian
 n = 4, maka :
 4P4 = 4 ! = 4. 3. 2 = 24 cara
Misal susunan huruf yang mungkin
HATI
ATIH
TAIH
ITAH
HAIT
ATHI
TAHI
...
HITA
AITH
...
...
HIAT
...
...
...
HTAI
...
...
...
HTIA
...
...
...
Contoh 2
Tentukan banyaknya bilangan yang
dapat dibentuk dari angka 5, 7, dan 9,
jika tidak boleh ada angka yang sama
….
Penyelesaian
 n = 3, maka :
 3P3 = 3 ! = 3. 2 = 6 cara
Misal susunan angka yang mungkin
579
759
975
597
795
957
2. Permutasi r unsur dari n unsur
yang berbeda
Permutasi r unsur dari n unsur
yang tersedia (ditulis Prn atau nPr)
adalah banyak cara menyusun
r unsur yang berbeda diambil dari
sekumpulan n unsur yang tersedia.
Rumus:
nPr
=
𝒏!
𝒏 −𝒓 !
Contoh 1
Banyak cara menyusun pengurus
yang terdiri dari Ketua, Sekretaris,
dan Bendahara yang diambil dari
5 orang calon adalah….
Penyelesaian
 Banyak calon pengurus 5  n = 5
 Banyak pengurus yang akan dipilih 3, jadi
r=3
𝒏!
𝟓!
=
5P3 =
𝒏 −𝒓 !
5P3
=
𝟓!
𝟐!
=
5P3
𝟓 −𝟑 !
𝟓 . 𝟒. 𝟑. 𝟐!
𝟐!
= 5. 4. 3
= 60 cara
Contoh 2
Banyak bilangan yang terdiri dari
tiga angka yang dibentuk dari
angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8,
di mana setiap angka hanya boleh
digunakan satu kali adalah….
Penyelesaian
 Banyak angka = 6  n = 6
 Bilangan terdiri dari 3 angka, jadi r =
3
𝒏!
𝟔!
=
5P3 =
𝒏 −𝒓 !
𝟔 −𝟑 !
𝟔!
𝟔. 𝟓. 𝟒. 𝟑!
5P3 = 𝟑! =
𝟑!
6P3
= 6. 5. 4 = 120 cara
Aktivitas Kelas
 Coba anda
halaman 6
Erlangga
Teknologi
 Coba anda
halaman 7
Erlangga
Teknologi
kerjakan aktivitas kelas
no 1 – 3 buku paket
Matematika
SMK
kerjakan aktivitas kelas
no 1 – 3 buku paket
Matematika
SMK
3. Permutasi yang memuat unsur yang
sama
Permutasi n unsur dari n unsur
yang sama. Banyaknya permutasi n
unsur yang memuat K1 unsur yang
sama, K2 unsur yang sama, dan
seterusnya hingga K1 maka dapat
disimpulkan
Rumus: nP(K1, K2, K3, … , Kn) =
𝒏!
𝒌𝟏 !𝒌𝟐 !𝒌𝟑 ! … 𝒌𝒏 !
Contoh 1
Berapa kata dapat disusun dengan
semua huruf pada kata “ADA” ….
Penyelesaian
 Jika digunakan rumus permutasi dengan
n = 3, maka 4P4 = 3! = 6 kata.
 Padahal kata yang terbentuk hanya ada
3, yaitu ADA, AAD, dan DAA. Hal ini
karena ada huruf yang sama, yaitu huruf
A, maka gunakan rumus :
𝟑!
=𝟑
3P(2!) =
𝟐!
Dengan K1 = A = 2
Contoh 2
Berapa kata dapat disusun dengan
semua huruf pada kata
“MATEMATIKA” ….
Penyelesaian
 Tentukan huruf yang sama : M = 2; A =
3; T = 2 dan n = 10
 Rumus :
𝟏𝟎 !
𝟏𝟎.𝟗.𝟖.𝟕.𝟔.𝟓.𝟒.𝟑!
=
10P(2!, 3!, 2!) =
𝟐!.𝟑!.𝟐!
10P(2!, 3!, 2!)
10P(2!, 3!, 2!)
=
𝟐!.𝟐!.𝟑!
𝟏𝟎.𝟗.𝟖.𝟕.𝟔.𝟓.𝟒.
𝟒
= 10.9.8.7.6.5 = 151.200
4. Permutasi siklis
Permutasi siklis dari n unsur yang
berbeda mempertimbangkan tempat
kedudukan unsur di lingkaran
terhadap unsur lainnya sebab n unsur
tersebut ditempatkan secara
melingkar. Banyak permutasi siklis
dari n unsur adalah sebagai berikut :
Rumus:
nP(siklis)
= (n – 1)!
Contoh 1
Suatu rapat dihadiri oleh 5 orang
peserta yang duduk melingkar.
Dengan berapa cara mereka dapat
duduk dengan urutan yang berbeda
….
Penyelesaian
 n=5
 Banyaknya cara mereka duduk adalah
5P(siklis) = (5 – 1) !
5P(siklis)
= 4 ! = 4. 3. 2 = 24 cara
Contoh 2
Tujuh orang termasuk si A, B, dan C
duduk mengelilingi meja bundar. Ada
berapa formasi duduk berbeda jika A,
B, dan C selalu duduk berdampingan
….
Sketsa tempat duduk
B
C
A
Meja
X
X
X
X
Penyelesaian
 A, B, dan C dianggap sebagai satu
elemen dan ditambah 4 orang lainnya,
sehingga n = 5
 Oleh karena A, B, dan C berdampingan,
maka mereka bertiga hanya bisa
bertukar posisi dengan sesamanya = 3 !
=6
Penyelesaian
 Banyaknya formasi mereka duduk yang
mungkin adalah :
(5 – 1)!. 3! = 4! . 3!
4!. 3! = (4. 3. 2).(3. 2)
= 24. 6 = 414 cara
Aktivitas Kelas
 Coba anda
halaman 8
Erlangga
Teknologi
 Coba anda
halaman 9
Erlangga
Teknologi
kerjakan aktivitas kelas
no 1 – 3 buku paket
Matematika
SMK
kerjakan aktivitas kelas
no 1 – 3 buku paket
Matematika
SMK
5. Permutasi berulang
Banyaknya permutasi r unsur yang
diambil dari n unsur yang tersedia
(dengan tiap unsur yang tersedia
boleh ditulis berulang) adalah sebagai
berikut :
Rumus: P(berulang) = nr
Contoh
1. Berapa banyak susunan 3 huruf yang
diambil dari huruf-huruf K, A, M, I, dan
S, jika unsur-unsur yang tersedia itu
boleh ditulis ulang ….
2. Berapa banyak bilangan terdiri 2 angka
yang dapat disusun dari angka-angka
3, 4, 6, 7, 8, dan 9, jika angka-angka
yang tersedia boleh ditulis ulang ….
Penyelesaian
 untuk no. 1
P(berulang) = nr = 53 = 125 susunan
 Untuk no. 2
P(berulang) = nr = 62 = 36 bilangan
Aktivitas Kelas dan Latihan
 Coba anda kerjakan aktivitas kelas
halaman 10 no 1 – 2 buku paket
Erlangga
Matematika
SMK
Teknologi
 Coba
anda
kerjakan
latihan
halaman 10 no 1 – 10 buku paket
Erlangga
Matematika
SMK
Teknologi
Kombinasi
Suatu kombinasi dari anggota suatu
himpunan adalah sembarang pemilihan
dari satu atau lebih anggota himpunan
itu tanpa memperhatikan urutannya.
32
Kombinasi r unsur dari n unsur yang
berbeda
Kombinasi r unsur dari n unsur
yang tersedia (ditulis Crn atau nCr)
adalah banyak cara
mengelompokan r unsur yang
diambil dari sekumpulan n unsur
yang tersedia.
Rumus:
nCr
=
𝒏!
𝒏 −𝒓 !.𝒓!
Contoh 1
Seorang siswa diharuskan
mengerjakan 6 dari 8 soal,
tetapi nomor 1 sampai 4 wajib
dikerjakan .
Banyak pilihan yang dapat
diambil oleh siswa adalah….
Penyelesaian
 mengerjakan 6 dari 8 soal,
tetapi nomor 1 sampai 4 wajib
dikerjakan
 berarti tinggal memilih 2 soal
lagi dari soal nomor 5 sampai 8
 r = 2 dan n = 4
 4C2 =
4!
4 −2 !.2!
=
4!
2!.2!
= 6 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛
Contoh 2
Berapa banyak cara memilih 4
anggota dari 9 anggota suatu
himpunan, jika :
(a). Tanpa syarat apapun
(b). Salah seorang harus selalu
terpilih
Penyelesaian
Penyelesaian (a)
 Banyak cara pemilihan 4 orang
dari 9 orang : 9C4 =
9!
5!.4!
= 126 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛
9!
9 −4 !.4!
=
Penyelesaian
Penyelesaian (b)
 Dari 9 orang akan dipilh 4 orang,
tetapi seorang harus selalu
terpilih, hanya akan dipilih 3
orang lagi dari 8 orang, sehingga
banyak cara pemilihan adalah :
8 C3
=
8!
8 −3 !.3!
=
8!
5!.3!
= 56 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛
Kombinasi r unsur dari n unsur dengan
beberapa unsur yang sama
Misal terdapat n unsur yang terdiri dari
….Kombinasi r unsur dari n unsur
yang tersedia (ditulis Crn atau nCr)
adalah banyak cara
mengelompokan r unsur yang
diambil dari sekumpulan n unsur
yang tersedia.
Rumus:
nCr
=
𝒏!
𝒏 −𝒓 !.𝒓!
Contoh 1
Dari sebuah kantong yang berisi
10 bola merah dan 8 bola putih
akan diambil 6 bola sekaligus
secara acak.
Banyak cara mengambil 4 bola
merah dan 2 bola putih adalah….
Penyelesaian
 mengambil 4 bola merah dari 10
bola merah  r = 4, n = 10,
maka :
10C4
=
10!
10−4 !.4!
=
10!
4!.6!
3
10.9.8.7.6!
6!.4.3.2
=
= 10.3.7 = 210
Penyelesaian
 mengambil 2 bola putih dari 8
bola putih  r = 2, n = 8,
sehingga
8!
8C2 = 8 −2 !.2!
4
8.7.6!
=
6!.2
= 4. 7 = 28
=
8!
6!.2!
Penyelesaian
 Jadi banyak cara mengambil 4
bola merah dan 2 bola putih
adalah :
 10C4 x 8C2 = 210 x 28 = 5880
cara
Catatan
• Analisah masalah terlebih dahulu sebelum
menentukan masalah tersebut merupakan masalah
permutasi atau kombinasi.
• Dalam permutasi urutan diperhatikan, sedangkan
dalam kombinasi urutan tidak diperhatikan.
• Agar lebih mudah dalam menentukan apakah itu
masalah permutasi atau masalah kombinasi cobalah
untuk belajar lebih banyak dari soal-soal permutasi
dan kombinasi.
Kunjungi A-ku
TERIMA KASIH
email : [email protected]
blog : soesilongeblog.wordpress.com
03172687730