Transcript Himpunan - WordPress.com

Apa itu Himpunan?
0 Himpunan (set) adalah kumpulan obyek-obyek tidak urut
0
0
0
0
0
0
0
0
(unordered) atau berbeda
Obyek dalam himpunan disebut elemen,unsur atau anggota
(member)
Himpunan yang tidak berisi obyek disebut himpunan kosong
(empty set)
Universal set berisi semua obyek yang sedang dibahas
Contoh :
S = { a, e, i, o, u }
U = himpunan semua huruf
HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.
Satu set huruf (besar dan kecil)
Cara penyajian himpunan
1. Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2,
…}.
0 Keanggotaan
0 x  A : x merupakan anggota himpunan A;
0 x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.Simbol-simbol baku
0 P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
0 N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
0 Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
0 Q = himpunan bilangan rasional
0 R = himpunan bilangan riil
0 C = himpunan bilangan kompleks
0 Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan
dengan U.
0 Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah
himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3, Notasi Pembentuk Himpunan
0 . Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
sifat umum (role) dari anggota. Contoh :
A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}
Contoh soal Notasi Himpunan dan Anggota himpunan
Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal.
a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.
b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.
c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.
Penyelesaian:
a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan
bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. Anggota himpunan huruf-huruf vokal
adalah a, e, i, o, dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}.
c. Q adalah himpunan tiga binatang buas. Anggota himpunan binatang buas
antara lain harimau, singa, dan serigala. Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.
Diagram Venn
0 Salah satu cara merepresentasikan
himpunan
a
S
e
u
o
i
Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
U
A
1
3
B
2
5
7
8
6
4
Kardinalitas dari himpunan
0 Jika suatu himpunan memiliki n buah anggota yang
0
0
0
0
0
0
berlainan, n ∈ N, kita menyebut S sebagai
himpunan berhingga dengan kardinalitas n.
Contoh:
A = {Mercedes, BMW, Porsche}, |A| = 3
B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6}
|B| = 4
C={}
|C| = 0
D = { x ∈ N | x ≤ 7000 }
|D| = 7001
E = { x ∈ N | x ≥ 7000 }
|E| tak
berhingga!
Himpunan kosong
(null set)
0 Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}
memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga,
dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6}
memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6.
Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan
yang tidak memiliki anggota apa pun.
Himpunan ini disebut sebagai himpunan
kosong.
0 Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa
pun, ditulis sebagai:
Himpunan Bagian
Aturan-aturan yg berlaku:
0   A untuk sebarang himpunan A
0 A  A untuk sebarang himpunan A
Himpunan Bagian Sejati (proper subset):
AB
“A adalah himp. bagian sejati
dari B”
A  B  x (xA  xB)  x (xB 
xA)
atau
A  B  x (xA  xB)  x (xB 
xA)
Himpunan Bagian (Subset)
 Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan
B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan
elemen dari B.
 Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
 Notasi: A  B
 Diagram Venn:
U
B
A
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3}  {1, 2, 3}
(iii) N  Z  R  C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y  0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y < 4, x  0 dan y  0 }, maka B  A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai
berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A  A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A
(   A).
(c) Jika A  B dan B  C, maka A  C
   A dan A  A, maka  dan A disebut himpunan
bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan
A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan  adalah
improper subset dari A.
 A  B berbeda dengan A  B
(i) A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi
A  B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper
subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset
dari {1, 2, 3}
(ii) A  B : digunakan untuk menyatakan bahwa A
adalah himpunan bagian (subset) dari B yang
memungkinkan A = B.
Kesamaan Himpunan
Himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya
jika keduanya memiliki elemen yang tepat sama.
Contoh :
A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} → A = B
A = {anjing, kucing, kuda}, B = {kucing, kuda,
tupai, anjing} → A ≠ B
A = {anjing, kucing, kuda}, B = {kucing, Kuda,
anjing} → A = B
Contoh-contoh Himpunan
Himpunan “Standard” :
Bilangan Cacah N = {0, 1, 2, 3, …}
Bilangan Bulat Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Bil. Bulat Positif Z+ = {1, 2, 3, 4, …}
Bil. Riil R = {47.3, -12, π, …}
Bil. Rasional Q = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …}
(definisi yg tepat akan dibahas
kemudian)
Contoh-contoh Himpunan
A = ∅ “himpunan kosong/himp. nol”
A = {z} Catatan: z∈A, tapi z ≠ {z}
A = {{b, c}, {c, x, d}}
A = {{x, y}}
Catatan: {x, y} ∈A, tapi {x, y} ≠ {{x, y}}
A = {x | P(x)} “himpunan semua x
sedemikian hingga P(x)”
A = {x | x∈N ∧ x > 7} = {8, 9, 10, …}
“notasi pembentuk himpunan”
*
 Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan
hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
 Notasi : A ~ B  A = B
Contoh 10.
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka
A ~ B sebab A = B = 4
*
 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak
memiliki elemen yang sama.
 Notasi : A // B
 Diagram Venn:
U
A
B
Contoh 11.
Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan Kuasa (Power Set)
2A atau P(A)
“power set dari A”
2A = {B | B  A} (mengandung semua himpunan
bagian dari A)
Contoh:
(1) A = {x, y, z}
2A = {, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}
(2) A = 
2A = {}
Catatan : |A| = 0, |2A| = 1
Himpunan Kuasa (Power Set)
Kardinalitas dari power set :
| 2A | = 2|A|
0 Bayangkan setiap elemen didalam A memiliki saklar “ON/OFF”
0 Setiap konfigurasi yang mungkin dari saklar didalam A
berkorespondensi dengan satu elemen didalam 2A
A
1
2
3
4
5
6
7
8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
y
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
• Untuk A yang memiliki 3 elemen, terdapat 222
= 8 elemen didalam 2A
Perkalian Kartesian
Suatu n-tupel berurutan (ordered n-tuple) (a1, a2, a3, …, an) adalah sebuah
koleksi berurut dari objek-objek.
Dua buah n-tupel berurut (a1, a2, a3, …, an) dan (b1, b2, b3, …, bn) disebut
sama jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen-elemen yang tepat
sama dalam urutan yang juga sama, yakni, ai = bi untuk 1  i  n.
[jika n=2, disebut sbg pasangan berurut)
Perkalian Kartesian dari dua himpunan didefinisikan sebagai :
AB = {(a, b) | aA  bB}
Contoh: A = {x, y}, B = {a, b, c}
AB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}
Perkalian Kartesian
Perhatikan bahwa:
0 A = 
0 A = 
0 Untuk himpunan A dan B yg tidak kosong:
AB  AB  BA
0 |AB| = |A||B|
Perkalian Kartesian dari dua himpunan atau lebih didefinisikan
sebagai:
A1A2…An = {(a1, a2, …, an) | aiAi for 1  i  n}
Operasi terhadap himpunan
Penggabungan/ Union: AB = {x | xA  xB}
Contoh: A = {a, b}, B = {b, c, d}
AB = {a, b, c, d}
Irisan/Intersection: AB = {x | xA  xB}
Contoh: A = {a, b}, B = {b, c, d}
AB = {b}
Operasi terhadap himpunan
0Dua buah himpunan disebut disjoint jika irisan dari keduanya
adalah himpunan kosong:
AB = 
0Perbedaan (pengurangan) antara dua himpunan, A dan B,
adalah suatu himpunan yang memiliki elemen-elemen
didalam A yang bukan elemen B:
A-B = {x | xA  xB}
Contoh:
A = {a, b}, B = {b, c, d}, A-B = {a}
Operasi terhadap himpunan
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang
mengandung semua elemen dalam semesta pembicaraan yang
tidak ada di dalam A :
A=U-A _
Contoh: U = N, B = {250, 251, 252, …}
B = {0, 1, 2, …, 248, 249}
_
Operasi terhadap himpunan
Bagaimana membuktikan A(BC) = (AB)(AC)?
Cara I:
xA(BC)
 xA  x(BC)
 xA  (xB  xC)
 (xA  xB)  (xA  xC)
(hukum distributif untuk logika matematika)
 x(AB)  x(AC)
 x(AB)(AC)
Operasi terhadap himpunan
Cara II: Menggunakan tabel keanggotaan
1 berarti “x adalah anggota dari himpunan ini”
0 berarti “x adalah bukan anggota dari himpunan ini”
A B C
BC
0 0 0
0
0 0 1
A(BC)
(AB) (AC)
AB
AC
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 1 0
0
0
1
0
0
0 1 1
1
1
1
1
1
1 0 0
0
1
1
1
1
1 0 1
0
1
1
1
1
1 1 0
0
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
1
1
Operasi terhadap himpunan
Dari contoh-contoh yang diberikan, maka dapat kita simpulkan
bahwa:
Setiap ekspresi logis dapat ditransformasikan ke dalam ekspresi
ekivalen dalam teori himpunan dan begitu pula sebaliknya.
31
Operasi Himpunan
a. Irisan (intersection)
Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan
yang setiap elemennya merupakan elemen dari
himpunan A dan himpunan B
Notasi : A  B = {x | x  A dan x  B }
A
B
Operasi Himpunan
b. Gabungan (union)
Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan
yang setiap elemennya merupakan elemen dari
himpunan A atau himpunan B
Notasi : A  B = {x | x  A atau x  B }
A
B
Operasi Himpunan
c. Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu
himpunan semesta adalah suatu himpunan yang
merupakan elemen S yang bukan elemen A
Notasi: A’ = {x | x  S dan x  A } = S – A
B
A
Operasi Himpunan
d. Selisih
Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang
elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B
Notasi: A - B = {x | x  A dan x  B } = A  B’
A
B
Operasi Himpunan
e. Perbedaan Simetris (Symmetric Difference)
symmetric difference dari himpunan A dan B adalah suatu
himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B,
tetapi tidak pada keduanya
Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A - B)  (B - A)
A
B
Operasi Himpunan
f. Perkalian Cartesian (cartesian products)
cartesian products dari himpunan A dan B adalah
himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan
yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari
himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B
Notasi: A x B = { (a,b) | a  A, b  B}
Contoh: A = {1,2,3} B = {a,b}
A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
Operasi Himpunan
Catatan:
a. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka
n(A x B) = n(A).n(B)
b. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a)
c. A x B  B x A
Teorema Aljabar Himpunan
Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan
dari S maka berlaku sifat berikut:
1. Hukum asosiatif (associative law)
(A  B)  C = A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C)
2. Hukum komutatif (commutative law)
A  B = B  A, A  B = B  A, A  B = B  A
3. Hukum distributif (distributive law)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
Teorema Aljabar Himpunan
4. Hukum identitas (identity law)
A   = A, A  S = A
5. Hukum komplemen (complement law)
A  A’ = S, A  A’ = 
6. Hukum idempoten (idempotent law)
A  A = A, A  A = A
7. Hukum ikatan (bound law)
A  S = S, A   = 
Teorema Aljabar Himpunan
8. Hukum penyerapan (absorption law)
A  (A  B) = A, A  (A  B) = A
9. Hukum involusi (involution law)
A’’ = A
10. Hukum 0/1(1/0 law)
’ = S, S’ = 
11. Hukum De Morgan untuk himpunan (De
Morgan’s laws for sets)
(A  B)’ = A’  B’, (A  B)’ = A’  B’
Himpunan hingga dan
perhitungan anggota
1. Jika A  B =  maka n(A  B) = n(A) + n(B)
2. Jika A B dan A B adalah hingga maka
n (A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
3. Perluasan (2) dengan 3 himpunan A,B, dan C
n (A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) –
n(A  B) – n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)
Metode pembuktian untuk
pernyataan tentang himpunan
1. Diagram Venn
Buktikan bahwa A  (B – A) = A  B!
2. Hukum-hukum aljabar himpunan
Buktikan bahwa A  (B – A) = A  B!
Bukti: A  (B – A) = A  (B  A’) (definisi operasi selisih)
= (A  B)  (A  A’) (hukum distributif)
= (A  B)  S
(hukum komplemen)
= A  B (hukum identitas)
3. Definisi
Sebagai contoh, A dan B himpunan. Misalkan A  B =  dan A 
(B  C). Buktikan bahwa A  C!
Metode pembuktian untuk
pernyataan tentang himpunan
Bukti:
(i) Dari definisi himpunan bagian, P  Q jika setiap x  P
juga  Q.
Misalkan x  A. Karena A  (B  C), maka dari definisi
himpunan bagian, x juga  (B  C).
Dari definisi operasi gabungan (), x  (B  C) berarti x
 B atau x  C
(ii) Karena x  A dan A  B = , maka x  B
Dari (i) dan (ii), x  C harus benar. Karena x  A juga berlaku
x  C, maka dapat disimpulkan A  C
0 Misalkan
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor dari Jepang
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum thn 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang
dari Rp
100 juta
E = himpunan mobil mahasiswa STMI
Nyatakan dalam notasi himpunan:
a. mobil mahasiswa STMI yang produksi dalam negeri atau
diimpor dari Jepang
b. semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun
1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
c. semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai
nilai jual lebih dari Rp 100 juta
0 Ketika dilakukan survey hewan peliharaan pada 10
rumah, didapat data sebagai berikut:
6 rumah memelihara anjing
4 rumah memelihara kucing
2 rumah tidak memiliki hewan peliharaan
Tentukan berapa rumah yang tidak memiliki hewan
peliharaan anjing dan kucing!
0 Tentukan banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100
yang habis dibagi 3 atau 5
0 Dengan menggunakan hukum-hukum aljabar
himpunan, buktikan bahwa:
a. (A  B)  (A  B’) = A
b. A  (A  B)’ = A  B’
Perampatan Operasi Himpunan
n
A1  A 2  ...  A n   A i
i 1
n
A1  A 2  ...  A n   A i
i 1
n
A 1  A 2  ...  A n   A i
i 1
n
A1  A 2  ...  A n   A i
i 1
Contoh 22.
(i) A (B1B2  ... Bn) = (A B1)  (A  B2)  ...  (A  Bn)
n
n
i 1
i 1
A  ( B i )   ( A  B i )
(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka
A  B  C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ),
(2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }
Hukum-hukum Himpunan
0 Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan
0 Disebut juga hukum aljabar himpunan
1. H ukum identitas:

A   = A

A  U = A
2. H ukum null/dom inasi:

A   = 

A  U = U
3. H ukum kom plem en:

A  A = U

A  A = 
4. H ukum idem poten:

A  A = A

A  A = A
5. Hukum involusi:
 ( A) = A
7. Hukum komutatif:
 A  B = B  A
 A  B = B  A
9. Hukum distributif:
 A  (B  C) = (A 
B)  (A  C)
 A  (B  C) = (A 
B)  (A  C)
11. Hukum 0/1
  = U
 U = 
6. Hukum penyerapan
(absorpsi):
 A  (A  B) = A
 A  (A  B) = A
8. Hukum asosiatif:
 A  (B  C) = (A  B)
C
 A  (B  C) = (A  B)
C
10. Hukum De Morgan:
A B = A B

A B = A B

Prinsip Dualitas
0 Prinsip dualitas  dua konsep yang berbeda dapat
saling dipertukarkan namun tetap memberikan
jawaban yang benar.
C ontoh: A S  kem udi m obil di kiri depan
Inggris (juga Indonesia)  kem udi m obil di kanan depan
P eraturan:
(a) di A m erika S erikat,
- m obil harus berjalan di bagian kanan jalan,
- pada jalan y ang berlajur bany ak, lajur kiri untuk m endahului,
- bila lam pu m erah m eny ala, m obil belok kanan boleh langsung
(b) di Inggris,
- m obil harus berjalan di bagian kiri jalan,
- pada jalur y ang berlajur bany ak, lajur kanan untuk m endahului,
- bila lam pu m erah m eny ala, m obil belok kiri boleh langsung
P rinsip d u alitas:
K onsep k iri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut
sehingga peraturan y ang berlaku di A m erika S erikat m enjadi berlaku
pula di Inggris
(P rin sip D u a lita s p a d a H im p u n a n ). M isalk an S ad alah
su atu k esam aan (id en tity ) y an g m elib atk an h im p u n an d an
o p erasi-o p erasi sep erti  ,  , d an k o m p lem en . Jik a S *
d ip ero leh d ari S d en g an m en g g an ti
  ,
  ,
  U,
U  ,
sed an g k an k o m p lem en d ib iark an sep erti sem u la, m ak a
k esam aan S * ju g a b en ar d an d iseb u t d u al d ari k esam aan S .
1 . H u k u m id en titas:
A   = A
D u aln y a:
A  U = A
2 . H u k u m n u ll/d o m in asi:
A   = 
D u aln y a:
A  U = U
3 . H u k u m k o m p lem en :
A  A = U
D u aln y a:
A A = 
4 . H u k u m id em p o ten :
A  A = A
D u aln y a:
A  A = A
5 . H u k u m p en y erap an :
A  (A  B ) = A
D u aln y a:
A  (A  B ) = A
6 . H u k u m k o m u tatif:
A  B = B  A
D u aln y a:
A  B = B  A
7 . H u k u m aso siatif:
A  (B  C ) = (A  B )
 C
D u aln y a:
A  (B  C ) = (A  B ) 
C
8 . H u k u m d istrib u tif:
A  (B  C )= (A  B )  (A
 C)
D u aln y a:
A  (B  C ) = (A  B )  (A
 C)
9 . H u k u m D e M o rg an :
A B = A  B
D u aln y a:
1 0 . H u k u m 0 /1

= U
D u aln y a:
U
= 
A B = A  B
C on toh 23. D ual dari (A  B )  (A  B ) = A adalah
(A  B )  (A  B ) = A .
Prinsip Inklusi-Eksklusi
U n tu k d u a h im p u n a n A d a n B :
A  B = A + B – A  B
A  B = A +B – 2A  B
C o n to h 2 4 . B erap a b an y ak n y a b ilan g an b u lat an tara 1 d an 1 0 0 y an g
h ab is d ib ag i 3 atau 5 ?
P en y elesaian :
A = h im p u n an b ilan g an b u lat y an g h ab is d ib ag i 3 ,
B = h im p u n an b ilan g an b u lat y an g h ab is d ib ag i 5 ,
A  B = h im p u n an b ilan g an b u lat y an g h ab is d i b ag i 3 d an 5 (y aitu
h im p u n an b ilan g an b u lat y an g h ab is d ib ag i o leh K P K –
K elip atan P ersek u tu an T erk ecil – d ari 3 d an 5 , y aitu 1 5 ),
Y an g d itan y ak an ad alah  A  B  .
 A  = 1 0 0 /3  = 3 3 ,
 B  = 1 0 0 /5  = 2 0 ,
 A  B  = 1 0 0 /1 5  = 6
A  B = A + B – A  B = 33 + 20 – 6 = 47
Jad i, ad a 4 7 b u ah b ilan g an y an g h ab is d ib ag i 3 atau 5 .
U ntuk tiga buah him punan A , B , dan C , berlaku
A  B  C = A + B + C – A  B –
A  C – B  C + A  B  C
U ntuk him punan A 1 , A 2 , … , A r , berlaku:
 A i –   A i  A j +
 A 1  A 2  …  A r = 
1 i  j  r
i
  A i  A j  A k + … +
1 i  j  k  r
(-1)
r-1
 A 1  A 2  …  A r
Latihan:
Di antara bilangan bulat antara 101 – 600 (termasuk
101 dan 600 itu sendiri), berapa banyak bilangan
yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak
keduanya?
P enyelesaian :
D iketahui:




U
= 500
A  = 600/4  – 100/4  = 150 – 25 = 125
B  = 600/5  – 100/5  = 120 – 20 = 100
A  B  = 600/20  – 100/20  = 30 – 5 = 25
yang ditanyakan  A  B  = ?
H itung terlebih dahulu
 A  B  =  A  +  B  – 2  A  B  = 125 + 100 – 50 = 175
untuk m endapatkan
 A  B  = U –  A  B  = 500 – 175 = 325
Partisi
P artisi dari sebuah him punan A adalah sekum pulan him punan
bagian tidak kosong A 1 , A 2 , … dari A sedem ikian sehingga:
(a) A 1  A 2  … = A , dan
(b) A i  A j =  untuk i  j
C on toh 25. M isalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, m aka { {1},
{2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } a dalah partisi A .
Himpunan Ganda (multiset)
 H im punan y ang elem enny a boleh berulang (tidak harus berbeda)
disebut h im p u n an gan d a (m ultiset).
C ontohny a, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
 M u ltip lisitas dari suatu elem en pada him punan ganda adalah jum lah
kem unculan elem en tersebut pada him punan ganda. C ontoh: M = { 0,
1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, m ultiplisitas 0 adalah 4.
 H im punan (set) m erupakan contoh khusus dari suatu m ultiset, y ang
dalam hal ini m ultiplisitas dari setiap elem enny a adalah 0 atau 1.
 K ardinalitas dari suatu m ultiset didefinisikan sebagai kardinalitas
him punan padananny a (ekivalen), dengan m engasum sikan elem en elem en di dalam m ultiset sem ua berbeda.
O p erasi A n tara D u a B u ah M u ltiset:
M isalkan P dan Q adalah m ultiset:
1. P  Q adalah suatu m ultiset y ang m ultiplisitas elem enny a sam a
dengan m ultiplisitas m aksim um elem en tersebut pada him punan
P dan Q .
C ontoh: P = { a, a, a , c, d , d } dan Q = { a, a , b, c, c },
P  Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }
2. P  Q adalah suatu m ultiset y ang m ultiplisitas elem enny a sam a
dengan m ultiplisitas m inim um elem en tersebut pada him punan
P dan Q .
C onto h: P = { a, a, a , c, d , d } dan Q = { a, a , b , c, c }
P  Q = { a, a, c }
3 . P – Q ad alah su atu m u ltiset yan g m u ltip lisitas elem en n ya sam a
d en g an :
 m u ltip lisitas elem en terseb u t p ad a P d ik u ran g i m u ltip lisitasn ya
p ad a Q , jik a selisih n ya p o sitif
 0 , jik a selisih n ya n o l atau n eg atif.
C o n to h : P = { a , a , a , b , b , c, d , d , e } d an Q = { a , a , b , b , b , c,
c, d , d , f } m ak a P – Q = { a , e }
4 . P + Q , yan g d id efin isik an seb ag ai ju m lah ( su m ) d u a b u ah h im p u n an
g an d a, ad alah su atu m u ltiset yan g m u ltip lisitas elem en n ya sam a
d en g an p en ju m lah an d ari m u ltip lisitas elem en terseb u t p ad a P d an Q .
C o n to h : P = { a , a , b , c, c } d an Q = { a , b , b , d },
P + Q = { a , a , a , b , b , b , c, c, d }
Pembuktian Proposisi Perihal
Himpunan
 P roposisi him punan adalah argum en y ang m enggunakan notasi
him punan.
 P roposisi dapat berupa:
1. K esam aan (identity )
C ontoh: B uktikan “ A  (B  C ) = (A  B )  (A  C )”
2. Im plikasi
C ontoh: B uktikan bahw a “Jika A  B =  dan A  (B  C )
m aka selalu berlaku bahw a A  C ”.
1 . P em b u k tia n d en g a n m en g g u n a k a n d ia g ra m V en n
C o n to h 2 6 . M isalk an A , B , d an C ad alah h im p u n an . B u k tik an b ah w a
A  (B  C ) = (A  B )  (A  C ) d en g an d iag ram V en n .
B u kti:
A  (B  C )
(A  B )  (A  C )
K ed u a d ig aram V en n m em b erik an area arsiran y an g sam a.
T erb u k ti b ah w a A  (B  C ) = (A  B )  (A  C ).
0 Diagram Venn hanya dapat digunakan jika
himpunan yang digambarkan tidak banyak
jumlahnya.
0 Metode
ini
mengilustrasikan
membuktikan fakta.
ketimbang
0 Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode
yang valid untuk pembuktian secara formal.
2. P em b u k tik an d en gan m en ggu n ak an tab el k ean ggotaan
C on toh 27. M isalkan A , B , dan C adalah him punan. B uktikan bahw a A 
(B  C ) = (A  B )  (A  C ).
B ukti:
A
B
C
B 
C
A  (B 
C)
A 
B
A 
C
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
(A  B )  (A
 C)
0
0
0
0
0
1
1
1
K arena kolom A  (B  C ) dan kolom (A  B )  (A  C ) sam a, m aka A 
(B  C ) = (A  B )  (A  C ).
3. P em b u k tian d en gan m en ggu n ak an aljab ar h im p u n an .
C o n to h 2 8 . M isalk an A d an B h im p u n an . B u k tik an b ah w a
(A  B )  (A  B ) = A
B u kti:
(A  B )  (A  B ) = A  (B B )
= A  U
= A
(H u k u m d istrib u tif)
(H u k u m k o m p lem en )
(H u k u m id en titas)
C on toh 29. M isalkan A dan B him punan. B uktikan bahw a A  (B – A ) =
A  B
B ukti:
A  (B – A ) = A  (B  A )
= (A  B )  (A  A )
= (A  B )  U
= A  B
(D efinisi operasi selisih)
(H ukum distributif)
(H ukum kom plem en)
(H ukum identitas)
Contoh 30. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan
B, bahwa
(i) A  ( A  B) = A  B dan
(ii) A  ( A  B) = A  B
Bukti:
(i) A  ( A  B) = ( A  A )  (A  B) (H. distributif)
= U  (A  B)
(H. komplemen)
= AB
(H. identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A  ( A  B) = (A  A )  (A  B) (H. distributif)
=   (A  B)
(H. komplemen)
= AB
(H. identitas)
0 Latihan. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
Gunakan hukum-hukum aljabar himpunan dan
prinsip dualitas untuk menentukan hasil dari operasi
himpunan
(a)
(b) ( A  B )  ( A  B )  ( A  B )  ( A  B )
(A  B)  (A  B)  (A  B)  (A  B)
Jawaban:
a.
(A  B)  (A  B)  (A  B)  ( A  B)
= (( A  B )  ( A  B ))  (( A  B )  ( A  B ))
[Hukum Asosiatif]
= ( B  ( A  A ))  ( B  ( A  A ))
[Hukum Distributif]
= (B  U )  (B  U )
[Hukum Komplemen]
= U  (B  B)
[Hukum Distributif]
=U U
=U
[Hukum Komplemen]
[Hukum Idempoten]
b. ( A  B )  ( A  B )  ( A  B )  ( A  B )
=
[Hukum Dualitas dari jawaban a]
0 Latihan. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
Buktikan dengan hukum-hukum himpunan
bahwa
(A – B)  (A – C) = A – (B  C).
0 Jawaban:
(A – B)  (A – C)
= (A  B )  (A 
= A (B  C )
=A BC
= A – (B  C)
C
) (Definisi Selisih)
(Hukum Distributif)
(Hukum DeMorgan)
(Definisi Selisih)
4. P em b u k tian d en gan m en ggu n ak an d efin isi
 M eto d e in i d ig u n ak an u n tu k m em b u k tik an p ern yataan
h im p u n an yan g tid ak b erb en tu k k esam aan , tetap i p ern yataan
yan g b erb en tu k im p lik asi. B iasan ya d i d alam im p lik asi
terseb u t terd ap at n o tasi h im p u n an b ag ian ( atau  ).
C on toh 31. M isalkan A dan B him punan. Jika A  B =  dan
A  (B  C ) m aka A  C . B uktikan!
B ukti:
(i) D ari definisi him punan bagian, P  Q jika dan hany a jika
setiap x  P juga  Q . M isalkan x  A . K arena A  (B 
C ), m aka dari definisi him punan bagian, x jug a  (B  C ).
D ari definisi operasi gabungan ( ), x  (B  C ) berarti x 
B atau x  C .
(ii) K arena x  A dan A  B =  , m aka x  B
D ari (i) dan (ii), x  C harus benar. K arena  x  A juga
berlaku x  C , m aka dapat disim pulkan A  C .
Latihan
Misalkan A adalah himpunan bagian dari himpunan
semesta (U). Tuliskan hasil dari operasi beda-setangkup
berikut?
(a) A  U
(b) A  A
(c) A  U
Penyelesaian:
(a) A  U = (A – U)  (U – A)
= ()  (A)
= A
(b) A  A
=
=
=
= (A – A )  ( A – A)
(A  A)  ( A  A )
A A
U
(c) A  U = ( A  U) – ( A  U)
=U– A
=A
(Definisi operasi beda setangkup)
(Definisi opearsi selisih)
(Hukum Identitas)
(Definisi operasi beda setangkup)
(Definisi operasi selisih)
(Hukum Idempoten)
(Hukum Komplemen)
(Definisi operasi beda setangkup)
(Hukum Null dan Hukum Identitas)
(Definisi operasi selisih)
Tipe Set dalam Bahasa
Pascal
B ahasa P ascal m eny ediakan tipe data khusus untuk him punan,
y ang bernam a set. T ipe set m eny atakan him punan kuasa dari
tipe ordinal (integer, character) .
C ontoh:
type
HurufBesar = ‘A’..‘Z’;{ enumerasi }
Huruf = set of HurufBesar;
var
HurufKu : Huruf;
N ilai untuk peubah H u r u f K u dapat diisi dengan
perny ataan berikut:
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];
HurufKu:=[‘M’];
HurufKu:=[];
{ himpunan kosong }
 O perasi y ang dapat dilakukan pada tipe him punan adalah
operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh
berikut:
{gabungan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{irisan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{selisih}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];
 U ji k ean g g o taan seb u ah elem en d i d alam h im p u n an d ilak u k an
d en g an m en g g u n ak an o p eato r in sep erti co n to h b erik u t:
if ‘A’ in HurufKu then
...
 D i d alam k ak as p em ro g ram an D elp h i, set serin g d ig u n ak an
u n tu k m en g in d ik asik an fla g . M isaln y a h im p u n an ico n u n tu k
w in d o w :
type
TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,
biMaximaze);
Huruf = set of TBoderIcon;
Sekian
selamat mencoba 