Transcript Document
Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Chapter 2 Introduction to Optimization and Linear Programming BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 1 Innledning Alle står overfor beslutninger om hvordan en skal utnytte begrensede ressurser, som: - Naturressurser, som oljereserver - Areal - Tid - Penger - Ansatte BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 2 Matematisk programmering MP er et fag i operasjonsanalyse som finner den optimale eller mest effektive måten å utnytte begrensede ressurser; for å oppnå målsettingen til et individ eller en organisasjon. m.a.o. Optimering BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 3 Anvendelser av Matematisk Optimering Bestemme produksjonsmiks Produksjonsplanlegging Ruteplanlegging og logistikk Finansiell planlegging BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 4 Karakteristika for optimeringsproblemer Beslutninger - Handlingsvariabler Restriksjoner - Begrensninger Målsetting - Målfunksjon BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 5 Generell form på et optimeringsproblem MAX (eller MIN): f0(X1, X2, …, Xn) Slik at : f1(X1, X2, …, Xn)<=b1 : fk(X1, X2, …, Xn)>=bk : fm(X1, X2, …, Xn)=bm Merk: Hvis alle funksjonene i et optimeringsproblem er lineære, så er problemet et lineært programmeringsproblem (LP). BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 6 Generell form på et Lineært Programmeringsproblem (LP) MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk : am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 7 Eksempel på et LP Problem Blue Ridge Hot Tubs produserer to typer varmtvannsberedere : Aqua-Spas & Hydro-Luxes. Data Pumper Arbeid Rør DB/pr. stk Aqua-Spa 1 Hydro-Lux 1 9 timer 12 dm $350 6 timer 16 dm $300 Det er 200 pumper, 1566 arbeidstimer, og 2880 dm rør tilgjengelig. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 8 5 trinn i formulering av LP modeller: 1. Forstå problemet. 2. Identifiser beslutningsvariablene. X1=antall Aqua-Spa produsert X2=antall Hydro-Lux produsert 3. Angi målfunksjonen som en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene. MAX: 350X1 + 300X2 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 9 5 trinn i formulering av LP modeller: 4. Angi restriksjonene som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene. 1X1 + 1X2 <= 200 } pumper 9X1 + 6X2 <= 1566 } arbeid 12X1 + 16X2 <= 2880 } rør 5. Identifiser eventuelle øvre og nedre grenser på beslutningsvariablene. X1 >= 0 X2 >= 0 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 10 LP Modellen for Blue Ridge Hot Tubs Max 350X1 + 300X2 S.T.: 1X1 + 1X2 <= 9X1 + 6X2 <= 1566 12X1 16X2 <= 2880 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE 200 >= 0 X2 >= 0 Rasmus Rasmussen 11 Løsning av LP problemer:En intuitiv innfallsvinkel Idé: Hver Aqua-Spa (X1) skaper det største dekningsbidraget ($350), produser derfor så mange som mulig! Hvor mange kan vi produsere? La X2 = 0 1. restriksjon: 2. restriksjon: 3. restriksjon: 1X1 <= 200 9X1 <=1566 eller X1 <=174 12X1 <= 2880 eller X1 <= 240 Hvis X2=0, så er den største mulige verdien av X1 lik 174 og totalt dekningsbidrag er $350*174 + $300*0 = $60,900 Denne løsningen er mulig, men er den optimal? NEI! BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 12 Løsning av LP problemer:En grafisk innfallsvinkel Restriksjonene i et LP problem definerer et mulighetsområde. Det beste punktet i mulighetsområdet er den optimale løsningen av problemet. For LP problemer med 2 variabler er det lett å plotte mulighetsområdet og finne den optimale løsningen. En akse for hver variabel En linje for hver restriksjon En linje for målfunksjonen BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 13 Tegne restriksjonene Vi må gjøre ulikhetene om til likheter for å kunne tegne restriksjonene. For bruk av pumper må vi gjøre om: 1·X1 + 1·X2 ≤ 200 1·X1 + 1·X2 = 200 Om vi bare har X2 på venstre side får vi: 1·X2 = 200 – 1·X1 X2 = 200/1 – 1/1·X1 Vi får dermed: X2 = 200 – 1·X1 Dette kan vi tegne inn i et diagram. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 14 Plotte den første restriksjonen Bruk av pumper: X2 = 200 – 1·X1 X2 X1 ≥ 0 200 X1 = 0 X2 = 200 (punkt på Y-aksen) X2 = 0 200 – 1·X1 = 0 1·X1 = 200 X1 = 200/1 = 200 (punkt på X-aksen) Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 ≤ 200 200 BØK350 OPERASJONSANALYSE X2 ≥ 0 X1 Merk ikke-negativitet: X2 ≥ 0 Rasmus Rasmussen 15 X2 261 Plotte den andre restriksjonen Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 X1 = 0 6X2 = 1566 X2 = 1566/6 = 261 (punkt på Y-aksen) X2 = 0 9X1 = 1566 X1 = 1566/9 = 174 (punkt på X-aksen) Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 ≤ 1566 174 BØK350 OPERASJONSANALYSE X1 Rasmus Rasmussen 16 X2 261 200 Felles mulighetsområde Område som tilfredsstiller begge restriksjonene Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 174 200 BØK350 OPERASJONSANALYSE X1 Rasmus Rasmussen 17 X2 Plotte den tredje restriksjonen Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 X1 = 0 16X2 = 2880 X2 = 2880/16 = 180 (punkt på Y-aksen) X2 = 0 12X1 = 2880 X1 = 2880/12 = 240 (punkt på X-aksen) 180 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 ≤ 2880 240 BØK350 OPERASJONSANALYSE X1 Rasmus Rasmussen 18 X2 261 Felles mulighetsområde Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 200 180 Område som tilfredsstiller alle restriksjonene Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 174 200 BØK350 OPERASJONSANALYSE 240 X1 Rasmus Rasmussen 19 Tegne målfunksjonen Vi ønsker å maksimere DB = 350X1 + 300X2. Anta at vi f.eks. produserer X1 = 100 og X2 = 0. Da blir DB = 350·100 + 300·0 = 35 000. Om vi skal ha samme DB men lar X1 = 0, må: DB = 350·0 + 300· X2 = 35 000 300· X2 = 35 000 X2 = 35 000/300 ≈ 116,67. Begge disse punktene: (100, 0) og (0, 116,67) gir samme DB = 35 000 . BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 20 Plotte nivåkurver for målfunksjonen X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 200 180 DB =350X1 + 300X2 Totalt DB= 35 000 116 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 100 BØK350 OPERASJONSANALYSE 174 200 240 X1 Rasmus Rasmussen 21 X2 Ny nivåkurve for målfunksjonen (0,175) DB =350X1 + 300X2 Totalt DB= 52 500 175 Første nivåkurve tar utgangspunkt i X1 = 100. Andre nivåkurve tar utgangspunkt i X1 = 150. 116 (150, 0) 100 BØK350 OPERASJONSANALYSE 150 X1 Rasmus Rasmussen 22 Maksimalt dekningsbidrag I figuren har vi tegnet isobidragslinjen for totalt dekningsbidrag lik 52 500. Alle punkt på denne linjen har samme DB. Om vi parallellforskyver linjen oppover (nordøst) i diagrammet vil DB øke (jo mer vi produserer av produktene jo større blir DB). Når isobidragslinjen akkurat tangerer mulighetsområdet har vi maksimalt DB, en større produksjon er ikke mulig. Denne tangeringen vil alltid skje i ett (eller 2) hjørnepunkt. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 23 Parallellforskyve nivåkurver X2 Størst mulig dekningsbidrag når nivåkurven ligger lengst nordøst, og samtidig tangerer mulighetsområdet. Optimal løsning 175 DB: 350X1 + 300X2= 52 500 116 DB: 350X1 + 300X2= 35 000 100 BØK350 OPERASJONSANALYSE 150 X1 Rasmus Rasmussen 24 Optimal løsning X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 DB =350X1 + 300X2 200 180 Optimal løsning der restriksjonene for arbeid og pumper krysser hverandre Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 174 200 BØK350 OPERASJONSANALYSE 240 X1 Rasmus Rasmussen 25 Beregne den optimale løsningen Den optimale løsningen inntrer der linjene for pumpe- og arbeidstids- restriksjonene krysser. Det skjer når de er like: X1 + X2 = 200 (1) 9X1 + 6X2 = 1566 (2) Fra (1) får vi, X2 = 200 -X1 (3) Setter vi (3) for X2 inn i (2) får vi, 9X1 + 6 (200 -X1) = 1566 Som forenkles til X1 = 122 Så den optimale løsningen er, X1=122, X2= 200 – X1 X2 =200 – 122 = 78 Totalt DB = $350122 + $30078 = $66,100 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 26 X2 Undersøke alle hjørneløsninger (0,180) Målfunksjon = 54 000 (80,120) Målfunksjon = 64 000 (122,78) Målfunksjon = 66 100 (0,0) Målfunksjon = 0 MERK: Denne metoden fungerer ikke hvis mulighetsområdet ikke er lukket. (174,0) Målfunksjon = 60 900 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 27 Sammendrag Grafisk løsning av LP Problemer 1. Plott grenselinjen for hver restriksjon. 2. Identifiser mulighetsområdet. 3. Finn optimal løsning enten ved: 1. 2. Plott nivåkurver for målfunksjonen, eller Beregn alle hjørneløsningene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 28 Spesielle tilfeller av LP Modeller Forskjellig unormale forhold kan inntreffe i LP problemer: Alternative optimale løsninger Overflødige restriksjoner Ubegrenset gode løsninger Ingen mulige løsninger BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 29 X2 Alternative optimale løsninger DB: 450X1 + 300X2= 78 300 Alle punktene på linjestykket har like stort dekningsbidrag, inklusive endepunktene, som er hvert sitt hjørnepunkt. I tillegg til disse to hjørnepunktene er altså også alle punkt imellom like gode. (122,78) (174,0) X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE MERK: Alternative optimale løsninger er gunstig. En har flere valgmuligheter. Rasmus Rasmussen 30 Overflødig restriksjon X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 225 180 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 225 Pumper påvirker ikke lenger mulighetsområdet Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 174 BØK350 OPERASJONSANALYSE 225 240 X1 MERK: «Overflødige» restriksjoner bør ikke fjernes. De er nødvendige når en skal foreta sensitivitetsanalyse. Rasmus Rasmussen 31 Ubegrenset løsning X2 Max: X1 + X2 -1·X1 + 2·X2 ≤ 400 800 X1 + X2 ≥ 400 Kan øke verdien på målfunksjonen i de uendelige. Problemet har derfor en ubegrenset god løsning. Mulighetsområdet er ikke lukket i alle retninger. 400 200 400 BØK350 OPERASJONSANALYSE 600 800 X1 MERK: Ved ubegrenset løsning vil det ikke fungere å beregne alle hjørnepunkter for å finne optimal løsning. Rasmus Rasmussen 32 Ingen mulig løsning X2 Max: X1 + X2 200 150 Det finnes ingen områder som tilfredsstiller alle restriksjonene samtidig. X1 + X2 ≥ 200 X1 + X2 ≤ 150 Mulighetsområdet er tomt. 150 BØK350 OPERASJONSANALYSE 200 X1 MERK: Ved ingen mulig løsning er det ofte feil fortegn, eller feil retning på restriksjonsgrensene, eventuelt feil verdi på noen restriksjonsgrenser. Hvis alle data er riktig, må en vurdere tiltak for å gjøre problemet løsbart. (Øke kapasitet) Rasmus Rasmussen 33 Slutt på kapittel 2 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 34 LP på generell form MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk : am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 35 LP på standard form MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk : am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm Merk at alle restriksjonene er på formen ”<=” BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 36 Omformulering til standard form ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk Multipliser gjennom med -1: -1| ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk -ak1X1 - ak2X2 - … - aknXn <= -bk Tilsvarende erstattes en ”=” med både ”<=” og ”>=”: am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm BØK350 OPERASJONSANALYSE am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm og am1X1 + am2X2 + … + amnXn >= bm dvs. am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm og -am1X1 - am2X2 - … - amnXn <= -bm Rasmus Rasmussen 37 LP på kompakt form MAX (eller MIN): Slik at: BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 38 LP på matriseform MAX (eller MIN): Slik at: Der: BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 39