Transcript 4. Peubah Acak & Distribusi

PROBABILITAS & STATISTIK
POLITEKNIK
UNIVERSITAS ANDALAS
Konsep Distribusi Peluang Kontinu
Peubah acak kontinu mempunyai peluang nol
pada semua titik x.
Oleh karena itu, tidak dapat disajikan dalam
bentuk tabel tetapi dengan sebuah rumus.
Distribusi peluang X dinyatakan dengan fungsi
f(x) yang disebut fungsi padat
2
Definisi Fungsi Padat
Fungsi dengan peubah acak kontinu X, yang
terdiri dari semua bilangan real R, dengan
1) f(x) ≥ 0 untuk semua x Є R.

2)
 f ( x).dx 1

b
3) P(a< X <b ) =
 f ( x).dx
a
3
Contoh Soal
Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi
padat peluang
a)
x2
f ( x) 
; untuk - 1  x  2
3
Tunjukkan bahwa fungsi tersebut
memenuhi syarat

 f ( x).dx 1

b)
Hitung P (0 < x < 1)
4
Harapan Matematik
Diskret
Misal X suatu peubah
acak dengan distribusi
peluang f(x), maka nilai
harapan X atau
harapan matematik X
ialah :
E( X )   x. f ( x)
x
Kontinu

E ( X )   x. f ( x) . dx

5
Harapan Matematik (Diskret)
Bila 2 uang logam dilemparkan 16 kali. x
menyatakan banyaknya muncul gambar, maka
nilai x adalah 0,1 atau 2.
Pada percobaan 16 kali pelemparan uang
logam, diperoleh tidak ada gambar, satu
gambar, dan dua gambar masing-masing 4, 7
dan 5 kali. Tentukan nilai harapan muncul
gambar per 2 uang logam tersebut juga nilai
harapan!
6
Pembahasan
x
 banyaknya gambar
f(x)  banyaknya muncul gambar
x
f(x)
0
4
1
7
2
5
E ( X )   x. f ( x)
x
 (0  4)  (1 7)  (2  5)
 17
7
Harapan Matematik (Kontinu)

Misalkan x peubah acak yang menyatakan
umur dalam jam sejenis bola lampu.
Fungsi padat peluang diberikan oleh :
 20.000

; unt uk x 100
f ( x) x 3
0
; unt uk xlainnya
Hitunglah nilai harapan umur jenis bola
lampu tadi.
8
Pembahasan

E( X ) 
 x. f ( x) . dx


100


100
 x. f ( x) . dx   x. f ( x) . dx


20.000
20.000
  x.
. dx  
. dx
3
2
x
x
100
100
 20.000 
 20.000  20.000



 200
100
x

100
9
Harapan Matematik berupa Fungsi
E ( g ( x))   g ( x) . f ( x)
x

E ( g ( x)) 
 g ( x). f ( x) . dx

10
Contoh Soal
Misal X suatu peubah acak dengan
distribusi peluang :
X
f(x)
0
⅔
1
½
2
0
3
1/6
Hitunglah harga harapan untuk
g(x) = (x – 1)2
11
Pembahasan
X
f(x)
g(x)
0
⅔
1
1
½
0
2
0
1
3
1/6
4
E ( X )   g ( x). f ( x)
x
 (1 2 / 3)  (0 1 / 2)  (1 0)  (4 1 / 6)
 4/3
12
Contoh Soal

Misalkanlah X suatu peubah acak dengan
fungsi padat
 x2

;
unt
uk
1

x

2
f ( x) 3
0
; unt uk xlainnya
Hitunglah nilai harapan g(X) = 2 x – 1
13
Pembahasan

E( X ) 
 g ( x). f ( x) . dx

2
  g ( x). f ( x) . dx
1
2
2
2


x
1
3
2
  2 x  1 . dx  .  2 x  x . dx
3
3 1
1
11 4 1 3 2
  x  x 
3 2
3  1
 
14
15