Transcript Fungsi Harmonik

Fungsi Harmonik
Oleh : Kelompok 5
Farid Sugiono
070210191156
Akhmad Mukhlis
070210191154
M. Sidik Yusuf
070210191157
M. Sofyan Hadi
070210191140
Malihur Rohma
070210191143
Martha Citra D.
070210191161
Fungsi Harmonik
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v
mempunyai derivatif parsial di semua orde yang
kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux = vy
dan uy = –vx
Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v
kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam
ux = vy dan uy = –vx diderivatifkan parsial terhadap x
dan y maka (x,y) D berlaku
uxx + uyy = 0
vxx = vyy = 0
#
Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi
persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi.
2
 
x
2
2

 
y
2
0
u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu
domain maka f(z) harmonik pada domain tersebut.
#
Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domain
dinamakan Dua Fungsi yang Harmonik Konjugat
dalam domain itu.
Suatu fungsi 2 peubah (riil) yg memenuhi pers.
Laplace disebut fungsi Harmonic (u,v:harmonic
function)
u : fungsi sekawan harmonis v
v : fungsi sekawan harmonis u
#
#
#
#
#
#
#
Contoh 3
Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang
harmonik konjugat dengan u = 4xy3 – 4x3y, (x,y) ℂ
Jawab :
Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y)
jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada ℂ sedemikian sehingga
berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx
ux = 4y3 – 12x2y
vy = 4y3 – 12x2y
uy= 12xy2 – 4x3
v= y4 – 6x2y2 + g(x)
karena vx = –uy maka –12xy2 + g’(x) = –12xy2 + 4x3 sehingga
g’(x) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + C
Jadi v = y4 – 6x2y2 + x4 + C
#
Cara Milne Thomson
Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat
atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D
andaikan v(x,y) sehingga
f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D
f”(z) = ux(x,y) + ivx(x,y)
sesuai persamaan C-R : f”(z) = ux(x,y) – iuy(x,y)
z = x + iy dan
x
zz
z
= x – iy sehingga diperoleh
dan y 
2
zz
2i
f(z) = ux  z  z

2
,
zz

2i 
–
z z zz
iuy  2 , 2i 


#
Suatu identitas dalam z dan z , jika diambil z = z
maka
f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0)
Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya ux(z,0) –
iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y)
#
Contoh 5
Dari Contoh 3 dengan u= 4xy3 – 4x3y, (x,y)  ℂ, jika
diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson.
Jawab :
ux = 4y3 – 12x2y
uy= 12xy2 – 4x3
f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0)
= –i(– 4z3)
= 4iz3
sehingga f(z) = iz4 + C
f(z) = i(x + iy)4 + C
= 4xy3 – 4x3y + i(x4 – 6x2y2 + y4) + C
#
Thankz
#