Transcript Operasi Biner - WordPress.com

MATEMATIKA
ALJABAR ABSTRAK
Dosen Pembimbing
Gisoesilo Abudi
LOGO
Materi Pokok
A
L
J
A
B
A
R
A
B
S
T
R
A
K
OPERASI BINER
GRUP
SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP
SUB GRUP
GRUP SIKLIK
Tujuan Instruksional Umum
Setelah mempelajari materi ini, Anda
dapat memahami tentang operasi
biner, grup dan sifat-sifat sederhana
dari grup, subgrup serta tentang grup
siklik
Pertemuan Pertama
Operasi
Biner
1. Definisi
2. Jenis
Operasi
Biner
3. Contoh
Soal
4. Latihan /
Tugas
Ke Materi Kedua
Defenisi Umum
Misalkan Q adalah himpunan bilangan Rasional
Untuk setiap a, b ∈ Q, berlaku :
(a + b) ∈ Q dan (b + a) ∈ Q
(a x b) ∈ Q dan (b x a) ∈ Q
(a – b) ∈ Q dan (b – a) ∈ Q
Penjumlahan, perkalian, dan pengurangan
merupakan contoh dari operasi biner pada Q
Definisi 1
Jika S adalah suatu himpunan yang tidak kosong
maka operasi biner o (dibaca “bundaran”) pada
S adalah suatu pemetaan (fungsi) yang
mengawankan setiap pasangan (a, b) ∈ S x S
dengan tepat satu elemen (a o b) ∈ S.
 : S x S S
Contoh 1
A = {2, 4, 6, 8, …} yaitu himpunan bilangan asli
genap dan dipandang operasi +, yaitu operasi
penjumlahan seperti yang telah kita kenal. Maka
+ merupakan operasi biner A, sebab jumlah
setiap dua bilangan asli genap selalu
merupakan bilangan asli genap dalam A
Contoh 2
A = {1, 3, 5, 7, …} yaitu himpunan bilangan asli
ganjil dan dipandang operasi -, yaitu operasi
pengurangan seperti yang telah kita kenal.
Perhatikan bahwa 1 – 7 = -6 dan -6 ∉ B, maka –
bukan merupakan operasi biner pada B, sebab
ada hasil pengurangan dua anggota B yang
bukan merupakan anggota B.
Contoh 3
Perhatikan S = {0, 1, 2, 3, 4} dan pandang operasioperasi penjumlahan dan pengurangan, maka
baik penjumlahan maupun pengurangan bukan
merupakan operasi biner pada S. Coba Anda
Jelaskan !
Operasi pada suatu himpunan tidak hanya
operasi-operasi hitung yang sudah kita
kenal, seperti : +, -, x, dan :, tetapi dapat
berupa apa saja asal didefinisikan dengan
jelas.
Misalnya : operasi o
Perhatikan contoh berikut
Contoh 4
Perhatikan S = {a, b, c, d, e} dan operasi o pada C
didefinisikan seperti tabel berikut :
o
a
b
c
d
e
a
a
b
c
d
e
b
b
c
d
e
a
c
c
d
e
a
b
d
d
e
a
b
c
e
e
a
b
c
d
d yang dilingkari adalah hasil dari b o c, dan dapat
ditulis b o c = d
Apa yang dapat Anda simpulkan dari contoh di
atas ?
Kesimpulannya
Bahwa setiap x, y ∈ C , maka (x o y) ∈ C.
Sehingga operasi o pada C adalah suatu operasi
biner. Dan operasi biner o pada S dinyatakan
sebagai “Himpunan tertutup terhadap operasi o”.
Coba Anda simpulkan contoh 1, 2, 3, dan 4 diatas
Jenis-jenis Operasi Biner
Perhatikan N = {1, 2, 3, 4, …} yaitu bilangan asli.
Maka, 3 + 4 = 4 + 3; 5 + 10 = 10 + 5 dsb.
Secara umum :
Untuk setiap a, b ∈ N, maka a + b = b + a.
Dengan perkataan lain bahwa operasi biner
penjumlahan pada bilangan-bilangan asli bersifat
komutatif
Definisi 2
Suatu operasi biner o pada suatu himpunan S
dikatakan komutatif bila dan hanya bila untuk
setiap x, y ∈ S, maka x o y = y o x.
Dalam simbol logika ditulis :
Operasi biner o pada S, komutatif bila dan hanya
bila ∀ x, y ∈ S, x o y = y o x
Contoh 5
1. Apabila Q+ adalah himpunan bilangan rasional
positif, maka penjumlahan dan perkalian
masing-masing merupakan operasi-operasi
biner yang komutatif pada Q+. Tetapi
pembagian pada Q+ bukan merupakan operasi
biner yang komutatif.
Coba Anda periksa kebenaran pernyataanpernyataan tersebut ?
2. Pada masalah matriks
P adalah himpunan semua matriks
bujursangkar berordo 2. Apakah perkalian
matriks pada P merupakan operasi yang
komutatif ?
Misal :  1 3  x   2 3    1 12
 2 4  1

 
 5   0 14
6 
  2 3   1 3  4

 x 
  

 1  5   2 4    9  17
Maka
 1 3  1 3  - 2 3   1 3

 x 
  
 x 
 …. ?!!
 2 4   2 4   1 - 5  2 4 
Jenis-jenis Operasi Biner
Perhatikan B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} yaitu
bilangan bulat.
Maka, (3 + 5) + (-2) = 3 + (5 + (-2))
(7 + (-2)) + (-4) = 7 + ((-2) + (-4)) dsb.
Secara umum :
Untuk setiap x, y, z ∈ B, berlaku :
(x + y) + z = x + (y + x)
Hal ini dikatakan bahwa operasi penjumlahan pada
himpunan bilangan bulat B bersifat assosiatif
Definisi 3
Suatu operasi biner o pada suatu himpunan S
bersifat asosiatif bila dan hanya bila untuk setiap
x, y, z ∈ S, berlaku (x o y) o z = x o (y o z).
Dengan simbol logika dituliskan :
Operasi biner o pada S bersifat asosiatif bila dan
hanya bila ∀ x, y, z ∈ S, (x o y) o z = x o (y o x)
Contoh 6
1. Pada himpunan bilangan asli, baik perkalian
maupun penjumlahan bersifat asosiatif.
Periksalah kebenarannya !
2. Perhatikan tabel contoh 4 !
(b o c) o d = d o d = b
b o (c o d) = b o a = b, dst.
sehingga operasi biner o pada S = {a, b, c, d,
e} yang didefinisikan seperti pada tabel
bersifat asosiatif.
Perhatikan C = {0, 1, 2, 3, …} yaitu himpunan
bilangan cacah.
Misal :
2+0=0+2=2
7 + 0 = 0 + 7 = 7 dst.
Secara umum
Untuk setiap x ∈ C berlaku x + 0 = 0 + x = x.
Dalam hal ini 0 disebut elemen identitas
(elemen netral) dari C terhadap penjumlahan.
Definisi 4
Suatu
himpunan
S
dikatakan
mempunyai
elemen
identitas
(elemen netral) terhadap operasi
biner o bila dan hanya bila ada
elemen u ∈ S sedemikian hingga
untuk setiap x ∈ S berlaku :
x o u = u o x = x.
Contoh 7
1. B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Elemen
identitas dari B terhadap penjumlahan adalah
0, sedangkan elemen identitas dari B terhadap
perkalian adalah 1. Coba Anda periksa
kebenaran tersebut !
2. Misalkan P adalah himpunan semua matriks
bujur sangkar berordo 2. Kita ketahui bahwa
 a b  1 0  1 0  a b  a b

 x 
  
 x 
  

 c d  0 1 0 1  c d   c d 
Maka kesimpulannya dari contoh di atas !
Teorema
Teorema 1
Jika himpunan S
terhadap operasi
biner o mempunyai
elemen
identitas
maka
elemen
identitas itu tunggal
Teorema 2
Misalkan o adalah
suatu operasi biner
pada himpunan S.
Jika x ∈ S
mempunyai invers
terhadap operasi o,
maka invers dari x
tersebut tunggal
Dari Teorema 1
Bukti
Perhatikan himpunan bilangan bulat B = {…, -3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0; (-5)
+ 5 = 5 + (-5) = 0 dsb.
Kita telah mengetahui bahwa o adalah elemen
identitas dari B terhadap penjumlahan.
Jika diambil sembarang a ∈ B, maka ada b ∈ B
sehingga a + b = b + a = 0, yaitu b = -a. Maka
dikatakan bahwa b adalah invers penjumlahan
dari a pada B.
Definisi 5
Misalkan himpunan S terhadap operasi
biner o mempunyai elemen identitas u.
Suatu elemen y ∈ S terhadap operasi biner
o bila dan hanya bila x o y = y o x = u.
Invers dari x terhadap suatu operasi biner
ditulis x-1 (dibaca “invers x”)
Contoh 8
1. Q adalah himpunan bilangan rasional. Invers
penjumlahan dari ½ adalah - ½. Sebab ½ + (½) = (- ½) + ½ = 0, dan 0 adalah elemen
identitas Q terhadap penjumlahan. Sedang
invers perkalian dari ½ adalah 2, sebab 2 x ½
= ½ x 2 = 1 dan 1 adalah elemen identitas Q
terhadap perkalian.
2. Perhatikan kembali contoh 4, yaitu operasi
biner o pada S yang didefinisikan menurut
tabel. S terhadap operasi biner o mempunyai
elemen identitas a. Buktikan !
Dari Teorema 2
Bukti
Misalkan invers dari x ∈ S terhadap operasi biner
o adalah x1 dan x2 dengan x1 , x2 ∈ S, dan
misalkan elemen identitas S terhadap operasi
biner o adalah u. Karena x1 adalah invers dari
x maka x o x1 = x1 o x = u. Demikian pula,
karena x2 adalah invers x maka x o x2 = x2 o x
= u. Maka x1 = x2. Ini berarti bahwa invers dari
x terhadap operasi biner o adalah tunggal.
Definisi 6
Misalkan operasi-operasi biner ∆ dan o
terdefinisikan pada suatu himpunan S.
1. Jika untuk setiap x, y, z ∈ S berlaku x ∆ (y o
z) = (x ∆ y) o (x ∆ z), maka pada S berlaku
sifat distributif kiri ∆ terhadap o
2. Jika untuk setiap x, y, z ∈ S berlaku (y o z)
∆ = (y ∆ x) o (z ∆ x), maka pada S berlaku
sifat distributif kanan ∆ terhadap o.
Contoh 9
1. Misalkan B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} dan
dipandang operasi penjumlahan seperti yang
sudah kita kenal, sedang operasi ∆ pada B
didefinisikan jika a, b ∈ B maka a ∆ b = a2 b.
Ambil sembarang a, b, c ∈ B maka a ∆(b + c)
= a2 (b + c) = a2 b + a2 c dan (a ∆ b) + (a ∆ c) =
a2 b + a2 c
Jadi a ∆(b + c) = (a ∆ b) + (a ∆ c). Maka pada
B berlaku sifat distributif kiri ∆ terhadap
penjumlahan.
Sedangkan (a + b) ∆ c = (a + b)2 c = a2 c
+ 2abc + b2 c dan (a ∆ c) + (b ∆ c) = a2 c
+ b2 c.
Maka (a + b) ∆ c ≠ (a ∆ c) + (b ∆ a). Ini
berarti bahwa pada B tidak berlaku sifat
distributif kanan operasi ∆ terhadap
penjumlahan.
2. Misalkan M adalah himpunan semua matriks
bujursangkar berordo 2, dan dipandang
operasi perkalian dan penjumlahan matriks.
Tunjukkan dengan contoh
a b
 x y
p q
 , B  
 , C  

A  
c d
 u v
r s
Bahwa A (B + C) = AB + AC yaitu sifat
distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan
matriks dan (A + B) C = AC + BC, yaitu sifat
distributif
kanan
perkalian
terhadap
penjumlahan matriks pada M.
Latihan
Soal 1
A. Tunjukkan dengan tabel bahwa perkalian
merupakan operasi biner pada himpunan S =
{1, -1, i, -i} dengan i = √-1
B. Tunjukkan bahwa S terhadap perkalian
(a) bersifat komutatif
(b) bersifat asosiatif
(c) mempunyai elemen identitas, dan
(d) setiap elemennya mempunyai invers.
Latihan
Soal 2
Perhatikan tabel berikut yang merupakan definisi dari
operasi o pada himpunan S = {a, b, c, d}
(a)
(b)
(c)
(d)
o
a
b
c
d
a
d
a
b
c
b
a
c
b
d
c
b
d
a
a
d
c
b
d
c
Apakah o merupakan operasi biner pada S? Jelaskan !
Apakah o pada S bersifat komutatif ? Jelaskan !
Apakah o pada S bersifat asosiatif ? Jelaskan !
Apakah S terhadap operasi o mempunyai elemen
identitas ? Apakah juga mempunyai invers !
Latihan
Soal 3
Perhatikan tabel berikut yang merupakan definisi dari
operasi ∆ pada himpunan S = {a, b, c, d}
(a)
(b)
(c)
(d)
∆
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
c
d
a
c
c
d
a
b
d
d
a
b
c
Apakah ∆ merupakan operasi biner pada S? Jelaskan !
Apakah ∆ pada S bersifat komutatif ? Jelaskan !
Apakah ∆ pada S bersifat asosiatif ? Jelaskan !
Apakah S terhadap operasi ∆ mempunyai elemen
identitas ? Apakah juga mempunyai invers !
Latihan
Soal 4
Perhatikan tabel soal no. 2 dan tabel soal no. 3,
benar atau salah pernyataan-pernyataan
berikut !
(a) a o (d ∆ c) = (a o d) ∆ (a o c)
(b) (d ∆ c) o a = (d o a) ∆ (c o a)
(c) d ∆ (c o b) = (d ∆ c) o (d ∆ b), dan
(d) (c o b) ∆ d = (c ∆ d) o (b ∆ d)
LOGO
Selamat Belajar