Transcript Potens-sammenhænge

Potens-sammenhænge
Definitioner, beviser eller
begrundelser
Definition af potens-sammenhæng:
y = b ∙ xa
b positiv , x positiv
Herved bliver også y positiv.
(a kan være negativ)
Konstanten b
Når
x=1
, er
y=b
Bevis:
x=1 indsættes i regneforskriften
y = b ∙ xa og vi får
= b ∙ 1a
= b∙1
=b
Fremskrivningsfaktorer.
Når x ganges med Fx , ganges y med Fy , hvor
Fy = (Fx)a
Begrundelse:
Vi ser på to grafpunkter (x1 , y1) og (x2 , y2 ),
og anvender regneforskriften y = b ∙ xa
y1 = b ∙ x1a
y2 = b ∙ x2a
Desuden definitionen på fremskrivningsfaktorerne:
x1∙Fx = x2 og
y1∙Fy = y2
(fortsættes)
(fortsat)
Begrundelse for Fy = (Fx)a :
Vi indskrænker os til et eksempel, hvor a=3
(ellers skal man bruge en potensregneregel).
y1 = b ∙ x1a = b ∙ x13
y2 = b ∙ x2a = b ∙ x23
= b ∙ (x1∙Fx)3
= b ∙ x1∙Fx ∙ x1∙Fx ∙ x1∙Fx
= b ∙ x1∙x1∙x1 ∙ Fx∙Fx∙Fx
= b∙x13 ∙(Fx)3
= y1 ∙(Fx)3
Altså y1 ∙ (Fx)a = y2.
Sammenholdt med y1 ∙ Fy = y2
ser vi at Fy = (Fx)a
Formlen Fy = (Fx)a omformuleres ofte med procent-tilvækster :
At lægge px procent til x, er det samme som at gange x
med faktoren Fx , hvor
𝑝𝑥
𝐹𝑥 = 1 +
100
At lægge py procent til y, er det samme som at gange y
med faktoren Fy , hvor
𝑝𝑦
𝐹𝑦 = 1 +
100
Ovenstående tre formler kan kombineres og
omformes, f. eks. således:
Fy = (Fx)a
𝑝𝑦
𝑝𝑥
1+
= 1+
100
100
𝑎
Bestemmelse af a ud fra to punkter (x1, y1) og (x2, y2)
𝑦2
log 𝑦
1
𝑎=
𝑥
log 2
𝑥1
Bevis:
a isoleres i formlen 𝐹𝑦 = 𝐹𝑥
𝑥2
𝑦2
𝐹𝑥 =
og
𝐹𝑦 =
𝑥1
𝑎
, og der indsættes
𝑦1
𝐹𝑥
𝑎
= 𝐹𝑦
log 𝐹𝑦
𝑎=
log 𝐹𝑥
𝑦
log 𝑦2
1
𝑎=
𝑥2
log
𝑥1