Transcript Tema III Solución de Ecuaciones No Lineales - Informatica

Tema III: Solución de ecuaciones no lineales
•Método de la Bisección
•Método de Newton
•Método de la Secante
•Método de Regula Falsi
•Método de Sustitución Sucesiva
¿Qué buscan estos métodos?
Hallar raíces de funciones, f(x)=0
•Caso particular: Funciónes polinómicas
•Primer Grado: ax + b = 0 -> una raíz x=-b/a
•Segundo Grado:
ax2 +
bx + c -> dos raíces
b
•Tercer Grado: ax3 + bx2 + cx + d -> tres raíces
b  4a  c
2
2a
Método de Bisección
•Definición: Es el método más elemental y antiguo para
determinar las raíces de una ecuación. Consiste en partir
de un intervalo [x0,x1] tal que f(x0)f(x1) < 0 . A partir de
este punto se va reduciendo el intervalo, hasta que sea
menor al error  (Tolerancia).
Cambio de Signo de f(x)
f(X)
Xo
X
X1
f(X)
f(X)
Xo
Xo
X
X1
X
X1
Método de Bisección
•Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de la
siguiente función en el intervalo [ 0 , 3 ] con un error   0 . 1
2
f ( x )  ( x  1)  ( x  2 )  ( x  1)
Raíces: x=1, x=2, x=-1
0
3/2
X0
m
X1
Método de Bisección
x0
x1
| x1  x 0 |
| x1  x 0 | 
m 
x 0  x1
2
f ( m )  f ( x1 )  0
No: Sigo
Si X0=m
Si: Fin
No X1=m
Método de Bisección
x0
x1
| x1  x 0 |
| x1  x 0 | 
m 
x 0  x1
2
f ( m )  f ( x1 )  0
0
1.5
1.5
No
0.75
f ( 0 . 75 )  f (1 . 5 )   0 . 34
0.75
1.5
0.75
No
1.125
f (1 . 125 )  f (1 . 5 )  0 . 15
0.75
1.125
0.5
No
0.813
f ( 0 . 813 )  f (1 . 125 )   0 . 09
0.813
1.125
0.312
No
0.969
f ( 0 . 969 )  f (1 . 125 )   0 . 015
0.969
1.125
0.156
No
1.047
f (1 . 047 )  f (1 . 125 )  0 . 021
0.969
1.047
0.078
Si
Método de Bisección
•Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de la
siguiente función en el intervalo [ 2 , 0 ] con un error   0 . 1
f ( x )  ( x  1)  ( x  2 )  ( x  1)
Raíces: x=1, x=2, x=-1
0
3/2
Método de Bisección
x 0  x1
x1
| x1  x 0 |
| x1  x 0 | 
-2
0
2
No
-1
f (  1)  f ( 0 )  0
-1
0
1
No
-0.5
f (  0 . 5 )  f ( 0 )  3 . 75
-1
-0.5
0.5
No
-0.75
f (  0 . 75 )  f (  0 . 5 )  2 . 26
-1
-0.75
0.25
No
-0.875
f (  0 . 875 )  f (  0 . 75 )  0 . 81
-1
-0.875
0.125
No
-0.9375
f (  0 . 9375 )  f (  0 . 875 )  0 . 24
-1
-0.9375 0.0625
Si
x0
m 
2
f ( m )  f ( x1 )  0
Método de Bisección
•Ventajas del Método
−Algoritmo muy sencillo
−Muy estable (Está garantizada su convergencia)
•Desventajas del Método
−De muy lenta convergencia
Método de Newton
•Definición: Partiendo de un punto x0, el método de
Newton consiste en una linealización de la función, es
decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al
punto (x0,f(x0)) y cuya pendiente coincide con la
derivada de la función en el punto, f'(x0)
y  y0  m ( x  x0 )
y  f ( x 0 )  f ( x 0 )( x  x 0 )
'
( x0 , y0 )
x1  x 0 
f ( x0 )
'
f ( x0 )
Raíz
Método de Newton
•Ejemplo: Hallar por el método de newton la raíz de la
siguiente función partiendo de x0 = 3 con un error   0 . 1
f ( x )  ( x  1)  ( x  2 )  ( x  1)
0
3/2
f ( x)  x  2 x  x  2
3
2
f ( x)  3x  4 x  1
'
2
Raíces: x=1, x=2, x=-1
Método de Newton
xn
f ( xn )
| x n 1  x n |
| x n 1  x n | 
2.429
0.571
No
6.984
2.128
0.3
No
0.4516
4.073
2.017
0.11
No
0.0522
3.137
2.00036
0.0166
Si
'
f ( xn )
f ( xn )
3
8
14
2.429
2.102
2.128
2.017
x n 1  x n 
'
f ( xn )
Método de Newton
Zoom
Método de Newton
•Ventajas del Método
−Convergencia muy rápida
•Desventajas del Método
−Muy inestable (No se garantiza la convergencia)
−La función debe ser derivable y contínua
−Se requiere conocer la primera derivada de la función
Método de Newton
•Inestabilidad del Método de Newton
X1
X0
(A)
A : No se alcanza la convergencia
B : Converge pero fuera de la raíz
X0 X2 X1
(B)
Método de la Secante
•Definición: Partiendo de dos puntos [x0,f(x0)] y
[x1,f(x1)]. El método de la secante utiliza una
aproximación de la pendiente mediante la expresión:
m 
y1  y 0
x1  x 0
y  f ( x0 ) 
x2  x0 

f ( x1 )  f ( x 0 )
x1  x 0
f ( x1 )  f ( x 0 )
x1  x 0
x1  x 0
f ( x1 )  f ( x 0 )
y  y0  m ( x  x0 )
( x0 , y0 )
( x  x0 )
Raíz
f ( x0 )
( x1 , y 1 )
Método de la Secante
•Ejemplo: Hallar por el método de la secante la raíz de la
siguiente ecuación partiendo de X0 = 0 y X1 = 3/2 con error
  0 .1
0
3/2
f ( x)  x  2 x  x  2
3
2
f ( x )  ( x  1)  ( x  2 )  ( x  1)
Raíces: x=1, x=2, x=-1
Ejemplo:
x n  1  x n 1 
x n  x n 1
f ( x n )  f ( x n 1 )
f ( x n 1 )
| x n  x n 1 | | x n  x n 11 | 
x n 1
xn
f ( x n 1 )
f ( xn )
x n 1
0
1.5
2
-0.625
1.143
0.357
No
1.5
1.143
-0.625
-0.2626
0.8843
0.259
No
1.143
0.8843
-0.2626
0.243
1.0086
-0.1243
No
0.8843 1.0086
0.2432
-0.0171
1.000424
0.00436
Si
Método de la Secante
•Ventajas del Método
−Convergencia muy rápida, aunque no tan rápida como
El Método de Newton
-No requiere conocer la derivada de la función
•Desventajas del Método
−Muy inestable (No se garantiza la convergencia)
Método Regula Falsi (Falsa Posición)
•Definición: Es un método similar al de bisección, con la
diferencia que en vez de tomar el punto medio, se toma
como nuevo valor, la intersección con el eje x de una
línea recta formada por los dos puntos del intervalo.
f(X)
x2
0
y  y0  m ( x  x0 )
X2
m 
Xo
X1
y1  y 0
x1  x 0
X
x2  x0 

f ( x1 )  f ( x 0 )
x1  x 0
x1  x 0
f ( x1 )  f ( x 0 )
f ( x0 )
Método Regula Falsi (Falsa Posición)
•Ejemplo: Hallar por el método Regula Falsi la raíz de la
siguiente función en el intervalo [ 0 , 3 ] con un error   0 . 1
2
f ( x )  ( x  1)  ( x  2 )  ( x  1)
Raíces: x=1, x=2, x=-1
0
3/2
Método Regula Falsi (Falsa Posición)
x n  1  x n 1 
x n 1
xn
f ( x n 1 )
f ( xn )
x n  x n 1
f ( x n )  f ( x n 1 )
x n 1
f ( x n 1 )
| x n  x n 1 | 
f ( x n )  f ( x n 1 )  0
0
1.5
2
-0.625 1.143
No
No
0
1.143
2
-0.263
1.01
No
No
0
1.01
2
-0.02
1
Si
Método Regula Falsi (Falsa Posición)
•Ventajas del Método
−Convergencia intermedia, más rápido que el método de
bisección, aunque no tan rápida como el Método de
Newton o de la Secante.
-Muy estable
•Desventajas del Método
−Como converge a partir de un sólo extremo del
intervalo, si ese extremo se encuentra muy lejos de la
raíz, la convergencia sería mucho más lenta.
Método de Sustitución Sucesiva
•Definición: Dada una función f(x), la idea es reemplazar
la ecuación f(x) = 0 por otra de la forma x = g(x) (Si s es
una solucion de f(x), entonces s = f(s)). Se calcula x1 a
partir de x0 y se repite el proceso, esta vez con el nuevo
valor x1, hasta que |x1 – x0|<Error.
Por ejemplo:
f ( x )  x  13 x  18  x  13 x  18  0
3
3
g1 ( x )  x 
3
g3 ( x)  x 
13 x  18
 18
x  13
2
Raíz, ya que
g(x) = x
x  18
3
g 2 ( x)  x 
13
Método de Sustitución Sucesiva
•
Condiciones para Aplicación del Método:
1. Partiendo de un intervalo I = [a,b], tal que para todo x
Є I, se debe cumplir que g(x) Є I
a) La función de iteración g(x) debe ser continua sobre I=[a,b].
a) La función de iteración es diferenciable sobre I = [a,b].
Además, existe una constante no negativa K < 1 tal que para
todo x Є I, | g’(x) | ≤ K < 1
Método de Sustitución Sucesiva
f ( x )  x  13 x  18
3
Zoom
2
-4,1622
2,1622
Método de Sustitución Sucesiva
x  18
3
g3 ( x)  x 
 18
g 2 ( x)  x 
x  13
2
13
g1 ( x )  x 
3
13 x  18
g(x) Pertenece a [1,4] ?
Raíz
Intervalo [1,4]
Método de Sustitución Sucesiva
Raíz
Raíz
Raíz
Método de Sustitución Sucesiva
•Ejemplo: Hallar por el método de la sustituciones
sucesivas la raíz de la siguiente ecuación partiendo de x0 =
3/2 con un error   0 . 01
0
3/2
f ( x)  x  2 x  x  2
3
2
g1 ( x )  x  2 x  2
3
g 2 ( x) 
3
2
2x  x  2
2
Raíces: x=1, x=2, x=-1
Método de Sustitución Sucesiva
2
g 2 ( x) 
3
2x  x  2
2
g1 ( x )  x  2 x  2
3
2
1
f ( x)  x
X=1.5
Ejemplo:
g (x) 
3
2x  x  2
2
| x n  x n 1 |
| x n  x n 11 | 
xn
x n 1  g ( x n )
1.5
1.5874
0.0874
No
1.5874
1.666
0.0786
No
1.666
1.7344
0.06838
No
1.7344
1.79157
0.05175
No
1.79157
1.83818
0.04661
No
1.83818
1.8754
0.0372
No
1.8754
1.90466
0.0292
No
1.90466
1.9274
0.02275
No
1.9274
1.9449
0.0175
No
1.9449
1.958
0.01344
No
1.958
1.9686
0.0106
No
1.9686
1.9763
0.0077
Si
Método de la Sustitución Sucesiva
•Ventajas del Método
-Convergencia rápida (dependiendo de la g(x))
-No requiere conocer la derivada de la función
•Desventajas del Método
−Muy inestable (No se garantiza la convergencia)
−Depende de una escogencia adecuada de la g(x)