Transcript PENGUJIAN HIPOTESIS

PENGUJIAN HIPOTESIS
Hipotesis statistik (lanjt)
• Hipotesis statistik adalah dugaan mengenai
distribusi dari satu atau lebih populasi.
• Jika hipotesis statistik secara lengkap
menentukan distribusi atau parameter dari
populasi maka disebut hipotesis sederhana, jika
tidak demikian maka disebut hipotesis majemuk.
• Hipotesis statistik:
H0:  =0 
 =0 
 =0
H1:  0 
 >0 
 <0
Hipotesis statistik (lanjt)
• Suatu pengujian dari hipotesis statistik adalah
suatu aturan, yang jika nilai dari pengamatan
telah didapat, akan membawa kepada suatu
keputusan menerima atau menolak H0.
menolak H 0 : berarti H 0 tidak didukung
oleh data
tidak menolak H 0 : berarti H 0 didukung
oleh data
• Pengujian satu arah adalah pengujian dari
hipotesis statistik dimana alternatifnya adalah
satu sisi.
• Pengujian dua arah adalah pengujian dari
hipotesis statistik dimana alternatifnya adalah
dua sisi.
Hipotesis statistik (lanjt)
• Daerah kritis adalah daerah
penolakan H0.
• Nilai kritis adalah nilai yang
membatasi daerah kritis dari daerah
penerimaan H0.
Hipotesis statistik (lanjt)
• Kesalahan jenis pertama adalah kesalahan yang
dibuat ketika menolak H0 padahal H0 benar.
Probabilitas (Kesalahan jenis pertama) umumnya
dinotasikan dengan  atau tingkat signifikansi.
• Kesalahan jenis kedua adalah kesalahan yang
dibuat ketika menerima H0 padahal H0 salah.
Probabilitas (Kesalahan jenis kedua) umumnya
dinotasikan dengan .
Hipotesis statistik (lanjt)
• Jika menggunakan perangkat statistik sering
muncul istilah p-value atau sig. Nilai ini dapat
digunakan untuk pengambilan keputusan
menolak atau menerima H0.
• Jika p-value lebih kecil dari  maka H0 ditolak
pada  tersebut.
Hipotesis statistik (lanjt)
• Situasi yang mungkin dalam pengujian
hipotesis statistik
H0 benar
H0 salah
menerima H0 keputusan benar
kesalahan jenis II
menolak H0
keputusan benar
kesalahan jenis I
Hipotesis statistik (lanjt)
Langkah pengujian hipotesis statistik:
- Nyatakan H0 dan H1.
- Pilih tingkat signifikansi .
- Pilih statistik pengujian yang sesuai dan
tentukan daerah kritis berdasarkan .
- Dari statistik pengujian yang dihitung, tolak
H0 jika statistik pengujian terletak di
dalam daerah kritis, selain itu H0 tidak
ditolak
- Berikan kesimpulan.
Pengujian Untuk Mean Populasi
• A1. Populasi berdistribusi Normal (,2)
dimana variansi 2 diketahui
• A2. Populasi berdistribusi Normal (,2)
dimana variansi 2 tidak diketahui
• A3. Populasi berdistribusi sembarang,
asalkan n berukuran besar
A1. Populasi berdistribusi Normal (,2)
dimana variansi 2 diketahui
Misalkan X1, X2, …, Xn adalah suatu sampel
acak yang diambil dari suatu populasi yang
berdistribusi normal dengan mean  dan
variansi 2>0 yang diketahui.
Pandang hipotesis:
H0:  =0
H1:  0 atau  <0
atau  >0
A1. Populasi berdistribusi Normal (,2)
dimana variansi 2 diketahui (lanjt)
• Statistik pengujian:
x  0
z
/ n
dimana
x
: rata-rata pengamatan
A1. Populasi berdistribusi Normal (,2)
dimana variansi 2 diketahui (lanjt)
Daerah kritis:
z > z/2 atau z < -z/2 jika H1:  0
z > z
jika H1:  >0
z < -z
jika H1:  <0
dimana z dan z/2 didapat dari table normal
N(0,1) untuk  tertentu
Keputusan: H0 ditolak jika z berada dalam daerah
kritis; bila tidak demikian maka H0 tidak ditolak
A2. Populasi berdistribusi Normal (,2)
dimana variansi 2 tidak diketahui
Misalkan X1, X2, …, Xn adalah suatu sampel acak
yang diambil dari suatu populasi yang
berdistribusi normal dengan mean  dan
variansi 2>0 yang tidak diketahui.
Pandang hipotesis:
H0:  =0
H1:  0 atau  <0
atau  >0
A2. Populasi berdistribusi Normal (,2)
dimana variansi 2 tidak diketahui (lanjt)
• Statistik pengujian:
x  0
• t=
s/ n
• dimana:
s

 xi  x
i
n 1

2
A2. Populasi berdistribusi Normal (,2)
dimana variansi 2 tidak diketahui (lanjt)
Daerah kritis:
t > t/2 atau t < -t/2 jika H1:  0
t > t
jika H1:  >0
t < -t
jika H1:  <0
dimana t dan t/2 didapat dari table t dengan derajat
bebas (n-1) untuk  tertentu
Keputusan:
H0 ditolak jika t berada dalam daerah kritis; bila tidak
demikian maka H0 tidak ditolak
A3. Populasi berdistribusi sembarang,
asalkan n berukuran besar
• Pengujian untuk hipotesis di atas dapat
menggunakan statistik pengujian:
x  0
z
/ n
Atau:
jika
x  0
z
s/ n
2
diketahui.
jika  2 tidak
diketahui
A3. Populasi berdistribusi sembarang,
asalkan n berukuran besar (lanjt)
Daerah kritis:
z > z/2 atau z < -z/2 jika H1:  0
z > z
jika H1:  >0
z < -z
jika H1:  <0
dimana z dan z/2 didapat dari table normal N(0,1) untuk
 tertentu
Keputusan:
H0 ditolak jika z berada dalam daerah kritis; bila tidak
demikian maka H0 tidak ditolak
B. Pengujian untuk beda mean dari
dua populasi
• B1. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 dimana variansi diketahui
• B2. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 dimana variansi tidak diketahui
dan 12 = 22
• B3. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 dimana variansi tidak diketahui
dan 12  22
• B4. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 untuk data berpasangan
B1. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 dimana variansi diketahui
Hipotesis:
H0: 1 - 2 = d0
H1: 1 - 2  d0 atau 1 - 2 < d0
atau 1 - 2 > d0
Statistik pengujian:
z =
x1  x 2   d 0
2
1
2
/ n1   2
/ n2
B1. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 dimana variansi diketahui (lanjt)
dimana:
n1 : ukuran sampel yang pertama
n2 : ukuran sampel yang kedua
x1 : rata-rata pengamatan pada sampel pertama
x 2 : rata-rata pengamatan pada sampel kedua
Daerah kritis:
z > z/2 atau z < -z/2 jika H1: 1 - 2  d0
z > z
jika H1: 1 - 2 > d0
z < -z
jika H1: 1 - 2 < d0
B1. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 dimana variansi diketahui (lanjt)
dimana z dan z/2 didapat dari table normal
N(0,1) untuk  tertentu
Keputusan:
H0 ditolak jika z berada dalam daerah kritis;
bila tidak demikian maka H0 tidak ditolak
B2. Dua populasi yang berdistribusi Normal (i,i2),
i=1,2 dimana variansi tidak diketahui dan 12 = 22
Hipotesis:
H0: 1 - 2 = d0
H1: 1 - 2  d0 atau 1 - 2 < d0
atau 1 - 2 > d0
Statistik pengujian:
t
x
sp

 x2  d0
1 / n1  1 / n2
1
B2. Dua populasi yang berdistribusi Normal (i,i2),
i=1,2 dimana variansi tidak diketahui dan 12 = 22
dimana:
2
sp

2
s1
n1  1
2
 s2
n2  1
n1  n2  2
B2. Dua populasi yang berdistribusi Normal (i,i2),
i=1,2 dimana variansi tidak diketahui dan 12 = 22
Daerah kritis:
t > t/2 atau t < -t/2 jika H1: 1 - 2  d0
t > t
jika H1: 1 - 2 > d0
t < -t
jika H1: 1 - 2 < d0
dimana t dan t/2 didapat dari table t dengan derajat
bebas
(n1+n2-2) untuk  tertentu
Keputusan:
H0 ditolak jika t berada dalam daerah kritis; bila tidak
demikian maka H0 tidak ditolak
B3. Dua populasi yang berdistribusi Normal (i,i2),
i=1,2 dimana variansi tidak diketahui dan 12  22
Hipotesis:
H0: 1 - 2 = d0
H1: 1 - 2  d0 atau 1 - 2 < d0
atau 1 - 2 > d0
Statistik pengujian:
t
x1  x 2   d 0
2
s1
2
/ n1  s 2
/ n2
B3. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 dimana variansi tidak diketahui
dan 12  22 (lanjt)
t mendekati distribusi t dengan derajat bebas:





2
2
2
s1 / n1  s2 / n2

 s 2 / n 2 / n  1   s 2 / n
1
 1 1
  2 2

2

/ n2  1

B3. Dua populasi yang berdistribusi Normal (i,i2),
i=1,2 dimana variansi tidak diketahui dan 12  22
(lanjt)
Daerah kritis:
t > t/2 atau t < -t/2 jika H1: 1 - 2  d0
t > t
jika H1: 1 - 2 > d0
t < -t
jika H1: 1 - 2 < d0
dimana t dan t/2 didapat dari table t dengan derajat
bebas  untuk  tertentu
Keputusan:
H0 ditolak jika t berada dalam daerah kritis; bila tidak
demikian maka H0 tidak ditolak
B4. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 untuk data berpasangan
• Misalkan terdapat 2 kelompok variabel acak
X11, X12 ,..., X1n  dan X 21, X 22 ,..., X 2n  yang
berdistribusi normal yang berpasangan.
• Definisikan variabel acak baru:
Di  X 1i  X 2i , i=1,2,…,n
• Karena X 1 dan X1 berdistribusi normal maka Di
juga berdistribusi normal.
B4. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 untuk data berpasangan (lanjt)
• Jadi D1, D2 ,..., Dn merupakan sampel acak
berukuran n yang diambil dari populasi
normal dengan mean  D  1   2 dan variansi
 D2 .
• Mean dan variansi sampelnya adalah:
D
n
 Di
i 1
n
dan
S D2 
n

i 1
Di  D 
2
n 1
B4. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 untuk data berpasangan (lanjt)
Hipotesis:
H0:  D  1  2  d 0
H1:  D  1  2  d 0 atau
atau
Statistik pengujian:
d  d0
t
sd / n
 D  1   2  d 0
 D  1   2  d 0
yang berdistribusi t
dengan d.b. (n-1)
B4. Dua populasi yang berdistribusi Normal
(i,i2), i=1,2 untuk data berpasangan (lanjt)
Jika
d1 , d 2 ,..., d n
adalah nilai pengamatan dari
D1 , D2 ,..., Dn
Maka:
d adalah rata-rata dari selisih pengamatan
pertama dan kedua
s d adalah standar deviasi dari selisih
pengamatan pertama dan kedua
B4. Dua populasi yang berdistribusi Normal (i,i2),
i=1,2 untuk data berpasangan (lanjt)
Daerah kritis:
t > t/2 atau t < -t/2 jika H1:  D  1   2  d 0
t > t
jika H1:  D  1   2  d 0
t < -t
jika H1:  D  1   2  d 0
dimana t dan t/2 didapat dari table t dengan derajat
bebas (n-1) untuk  tertentu
Keputusan:
H0 ditolak jika t berada dalam daerah kritis; bila tidak
demikian maka H0 tidak ditolak
• Untuk mendapatkan interval kepercayaan
untuk  D digunakan:


S
S
D
D
  1   100%
Pr  D  t
; D  t


n
n


2
2
• (1-  ) 100% interval kepercayaan untuk  D
adalah: 

 d  t sd ; d  t sd 


n
n


2
2
Pengujian Untuk Proporsi
• C1. Pengujian untuk proporsi dari satu
populasi
• C2. Pengujian untuk beda proporsi dari dua
populasi
C1. Pengujian untuk proporsi dari satu
populasi
Hipotesis:
H0: p =p0
H1: p p0 atau p <p0 atau p >p0
Statistik pengujian:
dimana q0 =1-p0
x  np0
z
np0 q0
C1. Pengujian untuk proporsi dari
satu populasi (lanjt)
Daerah kritis:
z > z/2 atau z < -z/2 jika H1: p p0
z > z
jika H1: p >p0
z < -z
jika H1: p <p0
dimana z dan z/2 didapat dari table normal N(0,1) untuk
 tertentu
Keputusan:
H0 ditolak jika z berada dalam daerah kritis; bila tidak
demikian maka H0 tidak ditolak
C2. Pengujian untuk beda proporsi dari
dua populasi
Hipotesis:
H0: p1 = p2
H1: p1  p2
atau p1 < p2 atau p1 > p2
Statistik pengujian:
x1 / n1  x2 / n2
z
pˆ qˆ 1 / n1  1 / n2 
C2. Pengujian untuk beda proporsi
dari dua populasi (lanjt)
dimana:
x1 dan x2 masing-masing menyatakan banyak
sukses dari sampel pertama dan kedua
n1 dan n2 masing-masing menyatakan ukuran
sampel pertama dan kedua
dan
x1  x2
qˆ  1  pˆ
ˆ
p
n1  n2
C2. Pengujian untuk beda proporsi
dari dua populasi (lanjt)
Daerah kritis:
z > z/2 atau z < -z/2 jika H1: p1  p2
z > z
jika H1: p1 > p2
z < -z
jika H1: p1 < p2
dimana z dan z/2 didapat dari table normal N(0,1) untuk
 tertentu
Keputusan:
H0 ditolak jika z berada dalam daerah kritis; bila tidak
demikian maka H0 tidak ditolak
Pengujian Untuk Variansi
• D1. Pengujian tentang variansi dari satu
populasi yang berdistribusi Normal
• D2. Pengujian tentang beda variansi dari dua
populasi yang masing-masing berdistribusi
Normal
• Levene’s test
D1. Pengujian tentang variansi dari satu
populasi yang berdistribusi Normal
Hipotesis:
H0: 2 = 02
H1: 2  02 atau 2 > 02 atau 2 < 02
Statistik pengujian:

n  1s
 
2
2
0
2
D1. Pengujian tentang variansi dari satu
populasi yang berdistribusi Normal (lanjt)
dimana:
n : ukuran sampel
dan
s

 xi  x
i
n 1

2
D1. Pengujian tentang variansi dari satu
populasi yang berdistribusi Normal (lanjt)
Daerah kritis:
2 2
2
2


< 1 / 2 jika H1: 2  02
 >  / 2 atau
 2 > 2 jika H1: 2 > 02
 2 < 12 jika H1: 2 < 02
2
2
dimana 2 ,  / 2 , 1 dan 12 / 2 didapat dari table
Chi Kuadrat untuk  tertentu dan derajat bebas (n-1)
Keputusan:
2

H0 ditolak jika
berada dalam daerah kritis; bila
tidak demikian maka H0 tidak ditolak
D2. Pengujian tentang beda variansi dari dua
populasi yang masing-masing berdistribusi
Normal
Hipotesis:
H0: 12 = 22
H1: 12  22
atau 12 > 22 atau 12 < 22
Statistik pengujian:
f = s12 / s22
dimana:
n1 dan n2 masing-masing adalah ukuran sampel yang
pertama dan ukuran sampel yang kedua
s12 dan s22 masing-masing adalah variansi sampel
yang pertama dan variansi sampel yang kedua
D2. Pengujian tentang beda variansi dari dua
populasi yang masing-masing berdistribusi
Normal (lanjt)
Daerah kritis:
f > f / 2 v1 , v 2 
f > f v1 , v 2 
f < f1 v1 , v 2 
jika H1: 12  22
atau f < f1 / 2v ,v 
1
2
jika H1: 12 > 22
jika H1: 12 < 22
dimana f / 2 v1 , v 2  , f1 / 2v ,v  , f1 / 2v ,v  dan f1 v1 , v 2 
didapat dari table F untuk  tertentu dan derajat bebas dimana 1
= n1-1 dan 2 = n2-1
1
2
1
2
Keputusan:
H0 ditolak jika f berada dalam daerah kritis; bila tidak demikian
maka H0 tidak ditolak
D3. Levene’s Test
• Statistik W didefinisikan sebagai:
Dimana:
k: banyaknya grup
N: ukuran sampel keseluruhan
Ni: ukuran sampel ke-i
Uji Chi Kuadrat
Uji kecocokan model (goodness-of-fit test)
Uji Chi Kuadrat dapat digunakan untuk melihat
apakah suatu variable X mempunyai distribusi
teoritis tertentu (misalnya normal, binomial
dan lainnya).
Uji Chi Kuadrat (lanjt)
Data dapat dinyatakan dalam table berikut:
Kejadian
E1
Frekuensi
yang
diamati
O1
Frekuensi
yang
diharapkan
e1
E2
…
Ek
kelas
O
2
…
Ok
e2
…
ek
Uji Chi Kuadrat (lanjt)
Hipotesis:
H0: Distribusi X ialah F(x)
H1: Distribusi X bukan F(x)
Statistik pengujian:
 
2

oi  ei 

2
i
ei
berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas
v=k-1
Uji Chi Kuadrat (lanjt)
dimana:
k: banyaknya kelas
oi: banyaknya pengamatan pada kelas i
ei: banyaknya pengamatan yang diharapkan
pada kelas i
Aturan keputusan:
2
2



H0 ditolak jika

Uji Chi Kuadrat lainnya
• Uji independensi
Tabel kontingensi:
kolom
1
2
…
c
n11
n21
n12
n22
…
…
n1c
n2c
…
…
r
nr1
Total N.1
kolom
…
nr2
N.2
…
…
…
…
nrc
N.c
baris
1
2
Total
baris
N1.
N2.
…
Nr.
N..
Uji Chi Kuadrat lainnya (lanjt)
Statistik pengujian:

nij  eij 

2

2
=
i j
eij
berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas
v=(r-1)(c-1)
dimana
r : banyaknya baris
c : banyaknya kolom
nij = banyak pengamatan baris ke i kolom ke j
eij = (Ni x Ni)/N..s
Uji Chi Kuadrat lainnya (lanjt)
Uji Homogenitas
Hampir sama dengan uji independensi hanya total
baris atau total kolomnya ditentukan terlebih dahulu.
Uji untuk beberapa proporsi
Hampir sama dengan uji independensi hanya digunakan
untuk menguji kesamaan proporsi
Hipotesis:
H0: p1 = p2 = p3 = … = pk
H1: sedikitnya ada satu proporsi yang berbeda dari
yang lain