Transcript Graf tak berarah

GRAF TAK BERARAH
Teori Graf – Matematika Diskrit
Jenis – jenis Graf
Berdasarkan jenis garis – garisnya, graf dibedakan dalam 2
kategori, yaitu :
1.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah
disebut graf tak berarah. Pada graf tak – berarah, urutan
pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak di
perhatikan. Jadi (u,v) = (v,u) adalah sisi yang sama.
Jenis – jenis Graf
2.
Graf Berarah (Directed Graph = Digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Sisi
berarah disebut sebagai arch (busur). Pada graf berarah, (u,v)
dan (v,u) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Untuk
simpul (u,v), simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v
disebut sebagai Simpul Terminal.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Definisi 2
Graf Sederhana (Simple graf) adalah graf yang tidak mengandung Loop
maupun Garis Paralel. Graf di bawah ini adalah contoh graf sederhana.
Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut (Unordered Pairs).
Jadi menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u).
Kita juga dapat
mendeskripsikan graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong
simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda yang
disebut sisi.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)

Graf tak sederhana (Unsimple-graph), adalah graf yang mengandung
garis paralel atau Loop. Ada dua macam Graf tak sederhana, yaitu :
1.
Graf Ganda (MultiGraph), adalah graf yang mengandung sisi ganda
(garis paralel). Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa
lebih dari dua buah.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
2. Graf Semu (Pseudograph), adalah graf yang mengandung
Loop. Contoh geaf di bawah ini disebut graf semu walaupun
memiliki sisi ganda sekalipun.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Contoh soal:
Gambarlah sebuah graf sederhana yang dapat di bentuk
dari 4 titik {a, b, c, d} dan 2 garis.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Penyelesaian :
Sebuah garis dalam graf sederhana selalu berhubungan
dengan 2 titik. Oleh karena ada 4 titik, maka ada C(4,2) =
6 garis yang mungkin di buat. Yaitu garis – garis dengan
titik ujung {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Penyelesaian :
Dari keenam garis yang mungkin tersebut, selanjutnya
dipilih 2 garis diantaranya. Jadi ada C(6,2) = 15 buah graf
yang mungkin di bentuk dari 4 buah titik dan 2 buah
garis.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Definisi 3
Graf Lengkap (Complete Graph) dengan n titik (simbol Kn) adalah graf sederhana
dengan n titik, di mana setiap 2 titik berbeda dihubungkan dengan suatu garis.
Teorema 1
Banyaknya garis dalam suatu graf lengkap dengan n titik adalah
.
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Contoh soal:
Gambarlah K2, K3, K4, K5, K6 !
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Penyelesaian :

K2
n=2
Jadi banyak garisnya adalah 1, dan gambarnya adalah :
K2
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Penyelesaian :

K3
K
 4
Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Penyelesaian :

K5
K
 6
Komplemen Graf
Definisi 3
Komplemen suatu graf G (Simbol
) dengan n titik adalah suatu graf
sederhana dengan :
1. Titik – titik
sama dengan titik – titik G. Jadi, V ( ) = V(G)
2. Garis – garis adalah komplemen garis – garis G terhadap graf lengkapnya
(Kn).
Titik – titik yang dihubungkan dengan garis dalam G tidak terhubung dalam
. . Sebaliknya, titik – titik yang terhubung dalam G menjadi tidak terhubung
dalam
.
Komplemen Graf
Contoh Soal :
Gambarlah Komplemen graf G yang di definisikan dalam
Gambar di bawah ini !
Komplemen Graf
Penyelesaian :
Titik – titik dalam
sama dengan titik – titik dalam G,
sedangkan garis – garis dalam adalah garis – garis yang
tidak berada dalam G. Pada gambar (a), titik – titik yang
tidak dihubungkan dengan garis dalam G adalah garis
dengan titik – titik ujung {a,d}, {a,e}, {b,c}, dan {b,e}
Komplemen Graf
Penyelesaian :
Jadi graf
dapat digambarkan sebagai berikut :
Komplemen Graf
Silakan gambar graf untuk gambar (b) dan (c) !
Komplemen Graf
Soal Latihan :
Misalkan G adalah suatu graf dengan n buah titik dan k
buah garis. Berapa banyak garis dalam ?
Sub-Graf
Definisi 4
Misalkan G adalah suatu graf. Graf H dikatakan sub-graf G bila dan hanya
bila :
a. V(H)  V (G)
b. E(H)  E (G)
c. Setiap garis dalam H memiliki titik ujung yang sama dengan garis
tersebut dalam G.
Sub-Graf
Dari definisi di atas, ada beberapa hal yang dapat diturunkan :
1.
Sebuah titik dalam G merupakan Sub-Graf G.
2.
Sebuah garis dalam G bersama- sama dengan titik – titik ujungnya
merupakan sub-graf G.
3.
Setiap graf merupakan subgraf dari dirinya.
4.
Dalam subgraf berlaku sifat transitif : Jika H adalah Subgraf G dan G
adalah Subgraf K, maka K adalah subgraf K.
Sub-Graf
Perhatikan gambar di bawah ini, apakah H merupakan subgraf G ??
a.
Sub-Graf
Penyelesaian :
a.
V (H) = {v2, v3} dan V (G) = {v1 , v2, v3} sehingga V(H) V (G).
E(H) = {e4} dan E(G)= {e1,e2, e3, e4} sehingga E(H)  E (G). Garis e4 di H
merupakan Loop pada v2 dan Garis e4 juga merupakan loop pada v2
di G. Dengan demikian, H merupakan subgraf G.
Sub-Graf
Perhatikan Gambar – gambar di bawah berikut ini :
a.
Apakah H merupakan SubGraf dari G?
Sub-Graf
Perhatikan Gambar – gambar di bawah berikut ini :
b.
Apakah H merupakan SubGraf dari G?
Sub-Graf
Perhatikan Gambar – gambar di bawah berikut ini :
c.
Apakah H merupakan SubGraf dari G?
Sub-Graf
Perhatikan Gambar di bawah ini, gambarlah subgraf yang mungkin d
bentuk dari graf tersebut.