Transcript Pertemuan 12

Pertemuan 12- Analisis Markov
Riset Operasional - dewiyani
1
Pengertian



Tidak memberikan keputusan rekomendasi
Memberi informasi probabilitas tentang situasi keputusan
yang dapat membantu pengambil keputusan untuk
membuat keputusan
Diterapkan pada sistem yang menampilkan pergerakan
probabilitas dari satu kondisi ke kondisi lain, sepanjang
waktu
Contoh :

Suatu komunitas kecil memiliki 2 pompa bensin,
Petroco dan National.
Penduduk komunitas tersebut membeli bensin
pada ke-2 pompa bensin tersebut atas dasar
bulanan.
Bagian pemasaran Petroco mengadakan survei
terhadap sejumlah penduduk dan menemukan
bahwa pelanggan tidak setia sepenuhnya pada
pompa bensin manapun. Pelanggan akan pindah
pompa bensin sebagai akibat dari adanya
periklanan, pelayanan, dan faktor lainnya.
Probabilitas kesetiaan pelanggan dirangkum dalam
tabel di bawah ini :
Bulan ini
Petroco
National
Bulan berikut
Petroco
0,60
0,20
National
0,40
0,80
Sifat sifat dari contoh pompa bensin yang digambarkan di atas
menentukan proses Markov yang dirangkum dalam terminologi
Markov sbb :
 Jika diketahui status suatu kondisi awal, maka pada kondisi
berikutnya merupakan suatu proses random yang dinyatakan
dalam probabilitas, yang disebut dengan probabilitas transisi
 Jumlah probabilitas transisi untuk suatu awal keadaan dari
suatu sistem tertentu = 1,0
 Probabilitas probabilitas tersebut berlaku untuk semua
partisipan dalam sistem
 Probabilitas transisi hanya tergantung pada status awal
 Keadaan merupakan keadaan yang independen sepanjang
waktu.
BULAN 1
BULAN 2
BULAN 3
0,60
0,60
PETROCO
0,40
PETROCO
0,40
0,20
NATIONAL
PETROCO
0,36
0,24
NATIONAL
PETROCO
0,08
0,80
NATIONAL
0,32
Sehingga :
Jika di bulan I pelanggan membeli di Petroco, maka
kemungkinan di bulan ke 3 :
Tetap membeli di Petroco : 0,36 + 0.08 = 0.44
Beralih membeli di National : 0,24 + 0.32 = 0,56

BULAN 1
BULAN 2
BULAN 3
0,60
0,20
PETROCO
0,40
NATIONAL
0,80
0,20
NATIONAL
PETROCO
0,12
0,08
NATIONAL
PETROCO
0,16
0,80
NATIONAL
0,64



Sehingga :
Jika di bulan I pelanggan membeli di National, maka
kemungkinan di bulan ke 3 :
Tetap membeli di National : 0,08 + 0.64 = 0.72
Beralih membeli di Petroco : 0,12 + 0.16 = 0,28
Walau dianggap logis, akan tetapi penggunaan diagram
pohon untuk penyelesaian Analisa Markov, dianggap
menghabiskan waktu dan tidak praktis.
Sebagai alternatif, analisis di atas diselesaikan dengan
menggunakan teknik aljabar matriks
MATRIKS TRANSISI


Probabilitas pergerakan pelanggan dari satu pompa bensin
ke pompa bensin lain, yang ditampilkan dalam diagram
pohon, dapat ditampilkan dalam bentuk susunan matriks
sebagai berikut :
Matriks transisi jika pelanggan bulan pertama membeli di
Petroco:
Bulan Pertama
Petroco
National
Bulan Berikutnya
0,6
0, 2

0,4 

0,8 



T disebut Matriks Transisi
Simbol : X Y ( i ) ;
di mana X = probabilitas transaksi dengan X,
Y = probabilitas transaksi untuk keadaan
awal
i = perioda
Contoh : PN ( 3 ) : probabilitas transaksi seorang
pelanggan dengan asumsi bahwa pada awalnya
pelanggan tersebut melakukan transaksi dengan
National, dan pada bulan ke tiga melakukan transaksi
dengan Petroco.
Jadi : PN ( 3 ) = 0,28
Cara perhitungan dengan matriks
transisi :
Keadaan awal : Petroco
Bulan 1 : PP(1) NP(1) = [ 1,0 0,0 ]
Bulan 2 :
Bulan 3 :
 0,6
PP(2) NP (2) = [ 1,0 0,0 ] . 0, 2

= [ 0,6 0,4 ]
 0,6
PP(3) NP (3) = [ 0,6 0,4 ]. 
0, 2
= [ 0,44
Bulan 4 :
PP(4) NP (4)
= [ 0,44
=
[ 0,38
0,56 ]
0, 4 
0,8 

0, 4 
0,8 

 0,6
0,56 ] . 
0, 2
0, 4 
0,8 

0,62]
Bulan 5 :
PP(5) NP (5) =
[ 0,35
0,65]
Bulan 6 :
PP(6) NP (6) =
[ 0,34
Bulan 7 :
PP(7) NP (7) =
[ 0,34
0,66]
Bulan 8 :
PP(8) NP (8) =
[ 0,33
0,67]
Bulan 9 :
PP(9) NP (9) =
[ 0,33
0,67]
0,66]
Karakteristik probabilitas keadaan akan mendekati nilai konstan
setelah sejumlah perioda waktu tertentu .
PROBABILITAS KEADAAN TETAP (STEADY
STATE )


Probabilitas sebesar 0,33 dan 0,67 seperti dalam
contoh, dikenal sebagai PROBABILITAS KEADAAN
TETAP ( STEADY STATE )
Teknik penentuan PROBABILITAS KEADAAN TETAP
( STEADY STATE ) adalah sebagai berikut :
Andaikan probabilitas ini berlaku untuk perioda i di
masa datang begitu suatu saat keadaan tetap telah
tercapai. Untuk menentukan probabilitas keadaan
perioda i + 1, kita akan mengikuti perhitungan berikut
:
0,6
[ PP(i+1) NP(i+1) ] = [ PP(i) NP(i) ] . 
0,2
0,4
0,8 

Kita telah mengetahui, jika telah tercapai keadaan tetap, maka :
[ PP(i+1) NP(i+1) ] = [ PP(i) NP(i) ]
tanpa memperdulikan periodanya:
0,6
[ PP(i) NP(i) ] = [ PP(i) NP(i) ] . 
0,2
0,4
0,8 

Dari operasi matriks yang ada, didapatkan :
PP = 0,6 PP + 0,2 NP dan NP = 0,4 PP + 0,8 NP
Karena NP = 1,0 – PP, maka
PP = 0,6 PP + 0,2 ( 1,0 – PP)= 0,2 + 0,4 PP
0,6 PP = 0,2 sehingga PP = 0,33 dan NP = 0.67
Latihan
1
Pada contoh
di atas, anggaplah bahwa Petroco ingin
meningkatkan pangsa pasarnya. Untuk mencapai tujuan
tesrebut, Petroco telah meningkatkan pelayanannya dan
matriks transisinya menjadi :
Petroco
National
Petroco
0.7
0.3
National
0.2
0.8
Jika di desa tersebut terdapat 3.000 pelanggan, berapa yang
diperoleh Petroco dan berapa yang diperoleh National pada
keadaan steady state ?
Latihan 2
Sebuah mesin memiliki matriks transisi harian sebagai
berikut :
Hari 1
Hari 2
Operasi
Rusak
Operasi
0.9
0.1
Rusak
0.7
0.3
a.
Dengan diagram pohon, tentukan probabilitas mesin
dalam keadaan dapat beroperasi dan dalam keadaan
rusak pada hari ke -4.
b.
Tentukan Steady State nya
LATIHAN 3
Di kota Surabaya, terdapat 2 surat kabar yang di baca oleh penduduknya, yaitu Jawa Pos
dan Surya. Dari sampel yang diambil secara acak, terjadi perpindahan merk surat kabar
yang dibaca oleh penduduk dalam setiap bulannya. Matriks probabilitas transisi untuk
perpindahan merk surat kabar yang dibaca penduduk adalah sebagai berikut :
Bulan ini
Bulan Depan
Jawa Pos
Surya
Jawa Pos
0.65
0.35
Surya
0.45
0.55
a. Dengan diagram pohon, tentukan probabilitas seorang penduduk membaca Jawa
Pos pada bulan ke 3, jika penduduk tersebut membaca Surya pada bulan pertama.
b. Dengan metode perkalian matriks, tentukan probabilitas seorang penduduk
membaca Jawa Pos pada bulan ke 4, jika penduduk tersebut membaca Surya pada
bulan pertama.
c. Tentukan steady statenya.
Latihan 3

Jika dipunyai matriks probabilitas transisi sbb :
Bulan ini
A
B
C
A
0.5
0.1
0.1
Bulan Depan
B
0.3
0.7
0.1
C
0.2
0.2
0.8
dengan asumsi bulan pertama adalah A, tentukan
pribabilitas status A,B dan C pada bulan ke 3 dan
steady statenya.