REKAYASA TRAFIK

Bab 3. Distribusi Probabilitas Dr. Jusak STIKOM Surabaya

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak (Random Variable)

• Variabel acak dapat berupa qualitatif atau quantitatif.

• Misalkan beberapa orang diminta untuk menjawab pertanyaan: “Program berita di televisi mana yang paling anda sukai: RCTI, Trans TV, Metro TV?” • Contoh di atas merupakan variabel qualitatif .

• Karena kita tidak bisa memprediksi jawaban setiap orang, maka disebut variable acak qualitatif.

2

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak (Random Variable)

• Contoh • variabel acak quantitatif adalah: response dari pertanyaan dari sebuah survei “Berapa jam anda melihat televisi dalam satu hari ?” • Berapa jumlah paket datang dalam 1 menit?

• Berapa waktu antar kedatangan bit data dalam 2 menit?

• Keuntungan menggunakan variable acak quantitatif antara lain: • Kuantisasi numerik semacam rata-rata dan standar deviasi dapat diterapkan .

• Variabel acak juga dapat diklasifikasikan sebagai diskrit dan kontinyu .

3

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Distribusi Probabilitas (Diskrit)

• Untuk dapat menarik kesimpulan (inferensi) dari suatu populasi, kita perlu mengetahui probabilitas dari pengamatan setiap sampel.

• Untuk itu, kita perlu mengetahui probabilitas yang berasosiasi dengan setiap variabel acak, misalkan 𝑦 𝑖 .

• Distribusi probabilitas 𝑌 , dihitung dengan cara mencari frekuansi relatif dari setiap nilai pada variabel acak 𝑌 .

• Distribusi probabilits bilangan acak diskrit ditulis dengan 𝑃(𝑌 = 𝑦 𝑖 ) yang berasosiasi dengan setiap nilai dari 𝑦 𝑖 .

4

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

5

Distribusi Probabilitas (Diskrit)

Contoh. Jumlah sisi gambar yang keluar dari pelemparan 2 buah koin sebanyak 2000 kali adalah:

y

0 1 2

Frekuensi

474 998 528

Frekuensi relatif

0,237 0,499 0,264 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

frekuensi relatif

frekuensi relatif 0 1 2

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Sifat-Sifat Variabel Acak Diskrit

• Probabilitas yang berasosiasi dengan setiap nilai dari 𝑦 𝑖 terletak antara 0 dan 1.

• Jumlah probabilitas dari semua nilai dari 𝑦 𝑖 adalah 1, 𝑃 𝑌 = 𝑦 𝑖 = 1 𝑖 • Probabilitas dari bilangan acak diskrit bersifat aditif. Misalnya, probabilitas dari 𝑃(𝑌 = 𝑦 2 ) .

𝑦 1 atau 𝑦 2 adalah 𝑃(𝑌 = 𝑦 1 ) + • Contoh variabel acak diskrit: • Variabel acak dengan distribusi binomial • Variabel acak dengan distribusi geometri • Variabel acak dengan distribusi seragam (uniform) 6

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Fungsi Probabilitas Massa

• Fungsi probabilitas massa disebut dalam bahasa Inggris

probability mass functions

(pmf) didefiniskan sebagai: • Karena 𝑝 𝑌 𝑦 𝑖 𝑝 𝑌 𝑦 𝑖 = 𝑃 𝑌 = 𝑦 𝑖 merupakan probabilitas maka berlaku: 0 ≤ 𝑝 𝑌 𝑦 𝑖 ≤ 1 Dan 𝑝 𝑌 𝑖 𝑦 𝑖 = 1 7

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Contoh 1

Tentukan pmf untuk “jumlah keluar gambar dari tiga buah koin yang dilemparkan secara bersama sama”.

Ruang sample dari ketiga koin tersebut adalah (A=angka, G=Gambar): Maka Ω = AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG 𝑌 𝜔 = 0, 𝜔 = AAA, 1, 𝜔 ∈ AAG, AGA, GAA , 2, 𝜔 ∈ AGG, GAG, GGA , 3, 𝜔 = GGG, 8

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Contoh 1

Berdasarkan uraian di atas, probabilitas dapat dihitung: 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑌 𝑌 𝑌 𝑌 0 = 𝑃 𝑌 = 0 = 1 8 3 1 = 𝑃 𝑌 = 1 = 8 3 2 = 𝑃 𝑌 = 2 = 8 1 3 = 𝑃 𝑌 = 3 = 8 Gambar dari pmf di samping.

9

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Contoh 2

Tentukan pmf untuk “jumlah keluar titik 1 atau 2, 3, 4, 5, 6 dari sebuah dadu yang dilemparkan sekali”.

10

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Contoh 3

Di dalam sebuah rumah kost, 10 orang anggota memiliki masing-masing sebuah

cordless phone

. Jumlah orang yang menggunakan

cordless phone

pada saat yang sama adalah acak. Berapakah probabilitas bahwa lebih dari lima orang menggunakan cordless phone secara bersama sama?

11 Jawab: 6/11.

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak Diskrit Poisson

• Variabel acak Poisson sering digunakan memodelkan berbagai fenomena fisika seperti efek fotoelektrik, penurunan radioaktif dan kedatangan trafik data pada sebuah antrian transmisi.

• Sebuah variabel acak 𝑌 dikatakan memiliki pmf Poisson dengan parameter 𝜆 > 0 , jika: 𝑝 𝑌 𝑘 = 𝜆 𝑘 𝑒 −𝜆 , 𝑘!

𝑘 = 0,1,2, … 12

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak Diskrit Poisson (2)

• Gambar pmf dari variabel acak Poisson untuk nilai 𝜆 = 10,30,50 ditunjukkan dalam gambar di bawah ini: 0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0 0 10 20 30 40 k 50 60 70 80 13

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Contoh 4

• Jumlah hit pada sebuah situs populer dalam interval waktu 1 menit diberikan oleh variabel acak Poisson. Tentukan probabilitas terdapat paling tidak 1 hit antara jam 11:00am dan 11:01am jika 𝜆 = 2 . Kemudian tentukan probabilitas terdapat paling tidak 2 hit dalam interval tersebut!

14 • • • Jawab: 𝑃 𝑌 ≥ 1 = 0,865 𝑃 𝑌 ≥ 2 = 0,594

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak Diskrit Geometri

• Variabel acak diskrit geometri dapat digunakan untuk memodelkan jumlah paket dalam antrian sebuah router dengan jumlah memori tak terbatas.

• Untuk nilai 0 ≤ 𝑝 < 1 , terdapat dua macam pmf dari variabel acak diskrit Geometri, yaitu: atau 𝑃 𝑌 𝑘 = 1 − 𝑝 𝑝 𝑘−1 𝑃 𝑌 𝑘 = 1 − 𝑝 𝑝 𝑘 15

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

16

Variabel Acak Diskrit Geometri (2)

• Gambar pmf dari variabel acak Poisson untuk nilai 𝑝 = 0,7 ditunjukkan dalam gambar di bawah ini: 0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0 1 2 p=0.7

3 4 5 x 6 7 8 9 10

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

17

Ekspektasi

• Ekspektasi dari sebuah variabel acak 𝑌 𝐸 𝑌 .

dituliskan sebagai • Nilai ekspektasi dapat disepadankan dengan nilai rata rata.

• Sebagai contoh, terdapat 10 buah bilangan: 5,2,3,2,5,-2,3,2,5,2 • Nilai rata-rata dari bilangan-bilangan di atas adalah 27/10=2,7.

• Apabila bilangan-bilangan tersebut dinyatakan dalam frekuensi relatif didapatkan tabel berikut:

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Ekspektasi (2)

Bilangan

-2 2 3 5

Frekuensi relatif

1/10 4/10 2/10 3/10 • • Maka nilai ekpektasi adalah: 1 −2 + 2 4 + 3 2 10 10 10 3 + 5 10 = 27 10 = 2,7 Karena itu ekspektasi atau rata-rata dapat dirumuskan sebagai: 𝐸 𝑌 = 𝑦 𝑖 𝑃 𝑌 = 𝑦 𝑖 𝑖 = 𝑦 𝑖 𝑝 𝑌 𝑖 𝑦 𝑖 18

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Contoh (5)

• Jumlah panggilan yang datang pada sebuah switch telekomunikasi mengikuti distribusi Poisson dengan laju kedatangan 10 panggilan per detik. Tentukan rata-rata dari panggilan untuk k=0, k=1, k=2 sampai k=5. 19

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Moments

• Moment ke 𝑛 dari sebuah variabel acak 𝑌 didefinisikan sebagai 𝐸 𝑌 𝑛 .

(untuk 𝑛 ≥ 1 ) • Moment ke-1 disebut sebagai rata-rata, 𝐸 𝑌 misalkan 𝑚 = 𝐸 𝑌 . Apabila kita , maka moment ke-2 atau seringkali disebut varian didefinisikan sebagai: 𝑣𝑎𝑟 𝑌 = 𝐸 𝑌 − 𝑚 2 𝑣𝑎𝑟 𝑌 = 𝐸 𝑌 2 − 𝐸 𝑌 2 20

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Contoh (6)

• Jumlah panggilan yang datang pada sebuah switch telekomunikasi mengikuti distribusi Poisson dengan laju kedatangan 10 panggilan per detik. Tentukan varian dan standar deviasi dari panggilan untuk k=0, k=1, k=2 sampai k=5.

21

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak Kontinyu

• Variabel acak diskrit memiliki nilai tertentu seperti 0, 1, 2. Tetapi variabel acak kontinyu memiliki nilai tak terbatas, ada di semua titik dalam suatu interval.

• Distribusi probabilitas variabel acak kontinyu seperti dalam gambar berikut: 22

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak Kontinyu (2)

• Distribusi probabilitas variabel acak kontinyu dalam sebuah interval 𝑎 dan 𝑏 adalah semua area di bawah kurva dengan interval antara 𝑎 dan 𝑏 .

23

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak Kontinyu (3)

Contoh. Gambar di bawah adalah distribusi tinggi dari personel tentara USA Army dengan jumlah sampel 24.404 orang (Mendenhall, Understanding statistic). Terdistribusi secara normal.

24

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

25

Variabel Acak Kontinyu Normal

• Distribusi normal seringkali juga disebut sebagai distribusi Gaussian.

• Total area dibawah kurva normal adalah 1.

• Kurva normal adalah simetris terhadap rata-rata (

µ

).

• Karena kurva ini berbentuk bel simetris, maka total area yang dibatasi oleh standar-deviasi (  ) disekitar rata-rata selalu sama. Lihat Gambar.

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak Kontinyu Normal (2)

• Fungsi kepadatan probabilitas (probability density function/pdf) pada distribusi Normal untuk 𝜎 2 > 0 , didefinisikan dengan rumusan: 𝑓 𝑦 = 1 2𝜋𝜎 𝑒 − 1 2 𝑦−𝑚 𝜎 2 Yang mana 𝜎 adalah akar positif dari 𝜎 2 dan disebut sebagai standar deviasi, sedang 𝑚 adalah rata-rata. Apabila distribusi normal memili nilai 𝑚 = 0 dan 𝜎 2 = 1 , maka distribusi semacam ini disebut sebagai distribusi normal standar. Distribusi normal secara umum dituliskan sebagai 𝑁 𝑚, 𝜎 2 .

26

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak Kontinyu Normal (3)

• Distribusi normal dengan berbagai macam nilai 𝑚 ditunjukkan dalam gambar berikut: dan 𝜎 0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0 2 4 6 x 8 10  =5,  =1  =7,  =2  =5,  =2 12 27

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak Kontinyu Eksponensial

• Fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari distribusi eksponensial dengan parameter 𝜆 > 0 , adalah: 𝑓 𝑦 = 𝜆𝑒 −𝜆𝑦 , 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑦 < 0.

28 Pada saat nilai dari 𝜆 meningkat maka ketinggian kurva pdf akan naik sedangkan dan kurva akan menurun dengan cepat. Lihat Gambar.

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Variabel Acak Kontinyu Eksponensial (2)

29 1.5

 =0.5

 =1.0

 =1.5

1 0.5

0 0 0.5

1 1.5

2 2.5

x 3 3.5

4 4.5

5

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Ekspektasi dan Moments

• Nilai Ekspektasi dan moments ke 𝑛 untuk variabel aak kontinyu didefinisikan oleh rumusan berikut: ∞ 𝐸 𝑌 = −∞ 𝑦𝑓 𝑦 𝑑𝑦 Dan 𝐸 𝑌 𝑛 ∞ = −∞ 𝑦 𝑛 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 30

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Contoh

Paket datang ke dalam sebuah router dengan kelajuan 5 paket setiap detik. Berapa probabilitas bahwa waktu antar kedatangan paket data adalah 1,5 detik!

31

Rekayasa Trafik, Jusak

STIKOM Surabaya

Contoh 7

Di sebuah kota kecil kedatangan panggilan telepon dapat dianggap terdistribusi Poisson dengan rata-rata 3.2 panggilan per 30 menit.

a.

b.

c.

Berapa menit waktu rata-rata antar kedatangan panggilan di kota tersebut?

Berapa probabilitas bahwa antar kedatangan panggilan ada selang 1 jam atau kurang?

Berapa probabilitas bahwa dua panggilan datang dengan selang waktu kedatangan 15 menit atau lebih?

32