Transcript 第一章第一至三節

這一章講一階常微分方程式
主要有三類：
一、可分離變數微分方程式
二、正合微分方程式
三、線性微分方程式
每一類各有一個變體
以下各章講二階及高階，都以一階為基礎，
一階又以分離變數法、正合類為基礎。
讀英文
If we want to solve an engineering problem
(usually of a physical nature), we have to formulate
the problem as a mathematical expression in terms
of variables, functions, and equations.
solve
解( 問題)
engineering
工程(的)
formulate A as B
把 A 用算式表述為 B
expression
(表達)式，mathematical expression 數學式
in terms of
用
variable
變數
function
函數
equation
方程式
Such an expression is known as a mathematical
model of the given problem.
be known as
(被)稱為
model
模型
given
已知的，給定的
英文語句最重要的結構
A of B ⟺ B 的 A
a mathematical model of the given problem
給定(的) 問題的算學模型
不要說：這個算式稱為數學模型已知問題的
何謂方程式 (equation)？
何謂微分方程式 (differential equation) ？
何謂微分方程式的解 (solution)？
從小學算術 (arithmetic) 說起
數字與四則運算 number and four operations
加 (addition)
減 (subtraction)
乘 (multiplication)
除 (division)
和(sum)差(difference)積(product)商(quotient)
加數、被加數；減數、被減數；
乘數、被乘數、除數、被除數
中學
代數 (algebra)
常數 (constant) 以數字表示
變數 (variable) 以字母表示
已知 (known)、未知 (unknown)
係數 (coefficient)
四則運算、冪次 (raising to power)、開方
(extraction of radical)
代數式 (algebraic expression)
等式 (equality)、不等式 (inequality)
方程式 (equation)：
含有未知(數或量)的等式
中學只有代數方程式 (algebraic equation)，是含
有未知數的兩個代數式的等式。
代數式可以用函數 𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥) 表示；方程式可
用代數函數表示為：
𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
也可以寫成
𝑓 𝑥 =0
求代數方程式的解 (solution) 也就尋找符合方程
式的數字。
例如
𝑥+3=8
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
sin 2𝑥 = 1
函數的各種形式表示法
Explicit form 顯函數形式
𝑦=𝑓 𝑥
例如：
𝑦 = 3𝑥 2 + 𝑥 − 7； 𝑦 = 3 𝑒 𝑥 sin 3𝑥
Implicit form 隱函數形式
𝐹 𝑥, 𝑦 = 0
例如：
𝑥 2 + 4𝑦 2 = 9； 3𝑒 𝑥 sin 𝑦 − 4 cos 𝑥 𝑒 𝑦 = 0
Parametric form 參數式
𝑥=𝑓 𝑡
曲線： 𝑦 = 𝑔 𝑡
𝑧=ℎ 𝑡
𝑥 = 𝑓 𝑢, 𝑣
曲面： 𝑦 = 𝑔 𝑢, 𝑣
𝑧 = ℎ 𝑢, 𝑣
微分方程式 (differential equation) 是含有未知
函數的方程式。
例如 𝑦 ′ = 3𝑦 是含有未知函數 𝑦 𝑥 及其導函
數 𝑦 ′ 𝑥 的 方程式；
甚麼函數符合這個方程式？
一個一個試？
答案：
𝑒 3𝑥 是符合微分方程式的函數，所以是這個
微分方程式的解 (solution)。
解代數方程式是求數值，
解微分方程式是求函數。
微分方程
differential equation : an equation containing
derivatives of an unknown function.
常微分方程
ordinary differential equation (ODE): an
equation that contains one or several derivatives
of an unknown function of one single variable.
偏微分方程
partial differential equation (PDE): an
equation that involves partial derivatives of an
unknown function of two or more variables.
先辨識微分方程式
再求解
微分方程式
First-order ODEs contain only the first
derivatives and may contain the unknown
function and any functions of the independent
variable.
implicit form :隱函數形式 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ = 0
例如：𝑥 −3 𝑦 ′ − 4 𝑦 2 = 0
explicit form :顯函數形式 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
例如：𝑦 ′ = 4 𝑥 3 𝑦 2
階 order：𝑦 ′ ′ 二階， 𝑥 2 𝑦 3 𝑦 ′ 一階
次 degree： 𝑦 ′′ 一次， 𝑥 2 𝑦 3 𝑦 ′ 四次
微分方程式的解
重 述
何謂方程式 (equation)？
何謂微分方程式 (differential equation) ？
何謂微分方程式的解 (solution)？
從小學算術 (arithmetic) 說起
數字與四則運算 number and four operations
加 (addition)
減 (subtraction)
乘 (multiplication)
除 (division)
和差積商
加數、被加數；減數、被減數；
乘數、被乘數、除數、被除數
中學
代數 (algebra)
常數 (constant) 以數字表示
變數 (variable) 以字母表示
已知 (known)、未知 (unknown)
係數 (coefficient)
四則運算、冪次 (raising to power)、開方
(extraction of radical)
代數式 (algebraic expression)
等式 (equality)、不等式 (inequalty)
方程式 (equation)：
含有未知(數)的等式
中學只有代數方程式 (algebraic equation)，是含
有未知數的兩個代數式的等式。
代數式可以用函數 𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥) 表示；方程式可
用代數函數表示為：
𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
也可以寫成
𝑓 𝑥 =0
求代數方程式的解 (solution) 也就尋找符合方程
式的數字。
例如
𝑥+3=8
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
sin 2𝑥 = 1
微分方程式 (differential equation) 是含有未知函
數的方程式。
例如 𝑦 ′ = 3𝑦 是含有未知函數 𝑦 𝑥 及其導函數
𝑦 ′ 𝑥 的 方程式； 𝑒 3𝑥 是符合微分方程式的函
數，所以是這個微分方程式的解 (solution)。
解代數方程式是求數值：𝑥 = 𝑎；
解微分方程式是求函數：𝑦 = 𝑓 𝑥 。
但是微分方程式的解不一定要寫成顯函數形式：
𝑦=𝑓 𝑥
只要寫成隱函數形式即可：
𝐹 𝑥, 𝑦 = 0
First Order ODE
Separable
Homogeneous
Exact
Integrating factor
Linear
Bernoulli
Second Order ODE
Linear
Homogeneous
一階微分方程的通式為
𝑦 ′ = 𝐹(𝑥, 𝑦)
如果 𝐹(𝑥, 𝑦) 可因式分解為 𝑓(𝑥)/𝑔 𝑦 ，其中𝑓 𝑥 是 𝑥
的函數 （不含 𝑦），𝑔 𝑦 是 𝑦 的函數 （不含 𝑥），則
此方程稱為可分離變數（separable）。
這是因為一階導函數可寫為
𝑑𝑦
′
𝑦 =
𝑑𝑥
如果 𝐹(𝑥, 𝑦) 可因式分解為 𝑓(𝑥)/𝑔 𝑦 ，則
𝑑𝑦 𝑓(𝑥)
＝
𝑑𝑥 𝑔(𝑦)
交叉相乘：
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦
左邊不含 𝑦，右邊不含 𝑥，變數彼此互不影響。
這種微方可直接分別積分，是最容易解的微分方程式。
𝑦 −2 𝑑𝑦 = −𝑦 −1
𝑥 + 1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −
= − 𝑥 + 1 𝑒 −𝑥 +
𝑥 + 1 𝑑𝑒 −𝑥 = − 𝑥 + 1 𝑒 −𝑥 +
𝑒 −𝑥 𝑑 𝑥 + 1
𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥 + 1 𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 = − 𝑥 + 2 𝑒 −𝑥
ln 𝑦 = −𝑥 2 + 𝑐
−𝑥 2 +𝑐
𝑐 −𝑥 2
−𝑥 2
𝑦=𝑒
=𝑒 𝑒
= 𝑐𝑒
由初始條件 𝑦 0 = 1.8 可知：當 𝑥 = 0 時，𝑦 = 1.8。
在上式中代入這兩個數值，可以求出常數 𝑐 的數值：
1.8 = 𝑐𝑒 −0
因此 𝑐 = 1.8；所以最後的解為
2
−𝑥
𝑦 = 1.8 𝑒
有一類微分方程式雖然不能直接分離變數，但
是可以用換變數的步驟，化成可以分離變數的
形式。
這一類微分方程式稱為 homogeneous ODE，但
是這個名稱並不恰當，比較好的名稱是
homogeneous equation，沒有 “differential” 一字，
(參見 Ince 所著 Ordinary Differential Equations) 。
因為會與以後類似的名稱混淆。
Homogeneous ODE
𝑦
′
𝑓 =𝑓
𝑥
• 上式中的 𝑓 稱為 homogeneous function
• 名稱問題：勿與 1.5 節的齊次方程混淆
• 可化為 separable ODE
補充(高中數學)
以二次齊次函數為例：𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 2𝑦 2
• 如何判定是「齊次」？
• 如何判定是「二次」？
• 原式可化為下列「標準式」：
𝑦
𝑦
2
2
2
3𝑥 + 𝑥𝑦 − 2𝑦 = 𝑥 3 +
−2
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
𝑦
2
2
=𝑥 𝐹
=𝑥 𝐹
,
𝑢=
𝑥
𝑥
𝑥
2
𝑛 次齊次式
「齊次」就表示變數不只一個。
先用單變數函數：
𝐹 𝑢 為 𝑛 次多項式
令 𝑢 = 𝑦 𝑥，代入上式，會得到分式；
乘以 𝑥 𝑛 去分母：
𝑛
𝑥 𝐹 𝑢 ≡ 𝑓 𝑥, 𝑦 ,
𝑦
𝑢=
𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 稱為 𝑥 與 𝑦 的 𝑛 次齊次式。
𝑦
𝑦 =𝑓
𝑥
′
• 即使不是 separable，可化為 separable
• 作法：令 𝑢 = 𝑦 𝑥 (這是關鍵訣竅)
• 則 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢
• 原式可化為：
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑓 𝑢 −𝑢
𝑥
左邊只有 𝑢，右邊只有 𝑥。
先辨識這是齊次方程式：
左邊 2𝑥𝑦 是二次式，右邊 𝑦 2 − 𝑥 2 也是二次式。
也可以寫成：
2 − 𝑥2
2 − 𝑥2
𝑦
𝑑𝑦
𝑦
𝑦′ =
；
=
2𝑥𝑦
𝑑𝑥
2𝑥𝑦
分子分母都是二次式，同除以 𝑥 2 ：
2−1
𝑦
𝑥
𝑦′ =
2 𝑦 𝑥
右邊是 𝑦 𝑥 的函數。
換變數：𝑢 = 𝑦 𝑥，則 𝑦 = 𝑢𝑥；𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢；代入上
式，可以化為 𝑢 與 𝑥 的可分離變數的微分方程式。
2−1
2−1
𝑦
𝑥
𝑢
𝑢′ 𝑥 + 𝑢 = 𝑦 ′ =
=
2 𝑦 𝑥
2𝑢
移項：
2−1
2 − 1 − 2𝑢 2
2+1
𝑢
𝑢
𝑢
𝑢′ 𝑥 =
−𝑢 =
=−
2𝑢
2𝑢
2𝑢
右邊完全是 𝑢 的函數，
2
𝑑𝑢
𝑢
+1 1
′
𝑢 =
=−
𝑑𝑥
2𝑢 𝑥
分離變數：把變數 𝑢 都放在左邊，把 𝑥 都放在右邊：
2𝑢
1
𝑑𝑢 = − 𝑑𝑥
2
𝑢 +1
𝑥
左邊可以化為 𝑢2 的微分式，右邊是 ln 𝑥 的微分式：
𝑑 𝑢2
= −𝑑 ln 𝑥
2
𝑢 +1
左邊也可以再化為 ln ：
𝑑 𝑢2
𝑑 𝑢2 + 1
2
=
=
𝑑
ln
𝑢
+1
2
2
𝑢 +1
𝑢 +1
因此全式為
𝑑 ln 𝑢2 + 1 = −𝑑 ln 𝑥
因此
ln 𝑢2 + 1 = − ln 𝑥 + 𝑐 ∗
注意：立刻就必須引進積分常數 𝑐 ∗
全式取指數：
2 +1
∗
∗ − ln 𝑥
ln
𝑢
−
ln
𝑥+𝑐
𝑐
𝑒
=𝑒
=𝑒 𝑒
1
2
𝑢 +1=𝑐
𝑥
最後再把 𝑢 換回原來的變數：
𝑦 2
𝑐
+1=
𝑥
𝑥
去分母：
𝑦2 + 𝑥2 = 𝑐 𝑥
這是圓的方程式：
2
𝑐 2
𝑐
𝑥−
+ 𝑦2 =
2
2
圓心在 𝑐 2 , 0 ，半徑等於 𝑐 2。
觀察： 0, 0 一定符合此圓的方程式，所以不論 𝑐 等
於多少，此圓一定通過原點。
術語
此式中的 𝑐 可以等於任意實數值，所以圓心越遠，圓
半徑越大。這些圓構成一個圓族 (family of circles)。
Homework, Problem Set 1.3
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 25, 33.