Transcript simulando a ocm (olimpíada campinense de matemáica)

SIMULANDO A OCM (OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁICA)
NÍVEL I
MODELO DA PROVA
:
INSTRUÇÕES
01. Cada questão da 1a parte vale 10 (DEZ) pontos, enquanto que cada
problema da 2a parte vale 40 (QUARENTA) pontos.
02. Todas as soluções da 2a parte devem ser justificadas. Uma simples
resposta, sem indicar como foi obtida, receberá uma pontuação inferior.
03. Não é permitido o uso de calculadoras nem consulta a notas ou livros. É
permitido o uso de régua, esquadro e compasso.
04. Nas 10 (dez) primeiras questões da 1a parte, assinale com X a alternativa
que julgar correta na tabela abaixo. Assinale somente uma alternativa para
cada questão, de preferência com caneta.
01
(A) (B) (C) (D) (E)
06
(A) (B) (C) (D) (E)
02
(A) (B) (C) (D) (E)
07
(A) (B) (C) (D) (E)
03
(A) (B) (C) (D) (E)
08
(A) (B) (C) (D) (E)
04
(A) (B) (C) (D) (E)
09
(A) (B) (C) (D) (E)
05
(A) (B) (C) (D) (E)
10
(A) (B) (C) (D) (E)
1. Numa sala de aula, os estudantes participam da seguinte brincadeira. Um dos alunos conta em voz alta os
números inteiros de 1 até 100, enquanto todos os outros batem palma toda vez que é dito um número múltiplo
de 3 ou um número que termina em 3. Ao término do jogo, quantas vezes os estudantes bateram palma?
A) 43 vezes, pois existem 33 múltiplos de 3 e 10 números que terminam em 3 entre
1 e 100.
B) 33 vezes, pois entre os múltiplos de 3 já existem números que terminam em 3.
C) 39 vezes.
D) Mais de 40 vezes.
E) 36 vezes.
2.Se a seqüência de 8 letras ABCDEDCB se repete indefinidamente. Qual a 2005ª letra desta sequência infinita?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
3.O valor da soma:
é igual a:
A) 303
B) 302
C) 301
D) 300
E) 299
4.Eu tenho um relógio digital que marca horas e minutos variando de 00:00 até 23:59. Quantas vezes em
um dia os algarismos 1, 2, 3 e 4 aparecerão todos juntos no visor do relógio?
A) 8 vezes
B) 9 vezes
C) 11 vezes
D) 10 vezes
E) 12 vezes
 Solução:
 12:34, 12:43, 13:24, 13:42, 14:23, 14:32, 21:34, 21:43, 23:14, 23:41. Portanto, em
cada 1 dia os algarismos 1,2,3, e 4 aparecerão todos juntos no visor do
relógio 10 vezes. A alternativa correta é D.
5.A diferença entre o maior número de 4 algarismos diferentes e o menor número também de 4
algarismos diferentes é igual a:
A) 8853
B) 8642
C) 9000
D) 8999
E) 8852
 Solução:
 Maior número de 4 algarismos diferentes: 9876
 Menor número de 4 algarismos diferentes: 1023. Então, 9876 – 1023 = 8853
6.Considere um número diferente de zero. Adicione 5 e multiplique a soma por 4. Subtraia 20 deste
produto e divida o restante pelo número considerado. Qual foi o resultado?
a.6
b.5
c.4
d.7
e.3
Solução:
Seja x o número diferente de zero.Temos:
x  5 4  20  4x  20  20  4
x
x
7.São dados um tabuleiro e uma peça, como mostra a figura. De quantas maneiras diferentes podemos colocar a
peça no tabuleiro, de modo que cubra completamente 3 casas?
a.20
b.16
c.24
d.12
e.36
 Solução:
 A peça, como se vê a cima, pode ser colocada de 4 formas diferentes em um
quadrado 2x2. Como há 5 quadrados distintos no tabuleiro, então há 4x5=20
maneiras diferentes de colocar a peça no tabuleiro.
 Também a peça pode ser colocada de uma única maneira no tabuleiro, conforme está
mostrado na figura. Portanto, há 21 maneiras diferentes de colocar a peça no
tabuleiro.
8.A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 5 garrafas de 1 litro vazias por
uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua
inicialmente 47 destas garrafas vazias?
a.10
b.12
c.11
d.13
e.14
 Solução:
 A pessoa separa 45 garrafas e as troca por 9 garrafas de 1 litro cheias de
leite. Esvaziadas as 9 garrafas, a pessoa pode juntá-las com as 2 vazias que
restaram e trocá-las por 2 garrafas cheias, sobrando ainda 1 garrafa vazia.
Esvaziando as 2 cheias e juntando com a garrafa vazia, a pessoa não pode
obter em troca nenhuma garrafa cheia. Ao todo a pessoa pode obter, por
sucessivas trocas, 9+2=11 garrafas cheias de leite, todas a partir das 47
garrafas vazias que a pessoa possuía.
9.Se a área do retângulo dado é 14, qual é a área da figura sombreada?
a.3
b.4
c.5
d.6
e.7
Solução:
Sejam A1, A2, A3 as áreas dos triângulos sombreados (da direita para a
esquerda), e A’1, A’2, A’3 as áreas dos triângulos não sombreados
(também da direita para a esquerda), então temos:
A1 
h 1
,
2
A2 
h3
,
2
A3 
h 1
3h
5h
 A1  A2  A3  h 

, onde h
2
2
2
é a
medida da altura do retângulo (que é a mesma dos triângulos sombreados
e não sombreados).
Também temos:
A1' 
2 h
1 h
2 h
h
5h
 A1'  A2'  A3'  2h 

, A2' 
, A3' 
2
2
2
2
2
Assim, as regiões sombreadas e não sombreadas têm a mesma área.
Logo, a área sombreada corresponde à metade da área do retângulo, ou
seja, é igual a 7
10.Em uma rua, os números das casas são iguais à distância, em metros, desde a casa até o início da rua. Entre as
casas de números 478 e 608, os moradores vão plantar 9 árvores. A primeira no número 478, a última no 608 e
com uma mesma distância entre uma árvore e a seguinte. De quanto será essa distância?
A) 16,25 m
B) 16,30 m
C) 16,40 m
D) 16,55 m
E) 16,70 m
 Solução:
 A distância entre as casas de números 478 e 608 é dada por: 608 - 478 = 130. Há 8
espaços iguais entre as casas de números 478 e 608 (pois são 9 árvores no total);
logo, a distância entre uma árvore e a seguinte é 130 / 8 = 16,25 m.
QUESTÕES ABERTAS
1.Qualquer are do terreno retangular abaixo tem o mesmo preço. Os terrenos A e B juntos custam R$ 53.000,00.
Calcule o custo do terreno D.
(Informação: Are é uma medida de superfície).
Como a diagonal do retângulo divide o mesmo em dois triângulos de mesma área,
temos que 6 + 11 + 25 = 24 + AD  AD = 18 are. De acordo com o enunciado,
podemos calcular o custo do terreno “D” através de uma regra-de-três simples:
17 are ____ 53.000,00 reais
18 are ____
X
2.Na adição abaixo, 2A3 e 5B7 são números de três dígitos. Se 5B7 é divisível por 7 . Que dígitos
representam as letras A e B ?
Solução:
5B7  5  100  B  10  7  10  (50  B)  7 , onde 5B 7 =0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9
5B7
(50  B) 7
(50  B)
50  B
 10
  10
 1 é um número inteiro. Para
ser
7
7
7
7
7
um um inteiro, B  6 .
Como 2 A3  5B7  324  567  324  243 , logo A  4
3.João foi a uma loja de computadores para comprar pendrives e mouses. Nesta loja cada pendrive custa R$
60,00 reais cada um. Se ele comprar 3 pendrives, sobram R$ 40,00 reais. Seu irmão lhe emprestou R$ 40,00
reais, com o total ele comprou 2 pendrives e 4 mouses. Quanto custa o mouse.
1. Cada pendrive custa 60,00 reais. Se João compra 3 pendrives, sabemos que irá sobrar
40,00 reais , assim o dinheiro “d” que João têm, é dado por:
d  3.(60)  40
d  40  180
d  220 reais.
Desde que seu irmão, lhe emprestou mais 40,00 reais e com o total ele comprou 2 pendrives
e 4 mouses, o preço do mouse, “p”, será dado por:
2(60)  4 p  40  d
120  4 p  260
4 p  260  120
140
p
4
p  35,00 reais.
4.Os números 1, 2, 3, 4, 5 são colocados na tabela abaixo, de modo que cada um apareça exatamente uma
vez em cada coluna, linha ou diagonal.
A.Calcule o valor de A+B.
B.Complete a tabela.
Solução:
a) Calcule o valor de A+B =6
b) Complete a tabela
1
5
4
3
2
3
2
1
5
4
5
4
3
(A) 2
1
2
1
5
4
3
(B) 4
3
2
1
5
5.O diretor de um colégio interno tem uma garrafa cheia de vinho trancada a chave no seu armário. Um
aluno conseguiu uma cópia da chave, abriu o armário, bebeu metade do conteúdo da garrafa, completou
a garrafa com água e recolocou-a no lugar. Deu a chave para um colega que fez a mesma coisa. Quando o
diretor percebeu, já havia menos de 2% de vinho na garrafa. Quantos alunos, no mínimo, beberam da
garrafa?
Seja Vi a fração de vinho na garrafa após a i-ésima manipulação . Temos
n
Vi
1
1
V

. Segue que Vn     n . Se queremos que Vn
V0  1 e se i  0, i 1
2
 2 2
seja menor que 2%, devemos ter
1
2
1
n


2
 50 , o que
,
ou
seja,
n
2 100 50
implica n  6 . Logo, pelo menos 7 alunos beberam da garrafa.