Transcript Geometri datar - WordPress.com

Kelompok 1 :
Fargil Prasetia
Elvianthy Suzana Tangka
Aprilia Sofiane Tangka
Lusyana Dani P.S
Veronika Heni
Tia hasanah
200713500214
201013500026
201013500027
201013500048
201013500044
201013500040
 Pendahuluan
 Segi empat
 Relasi titik dan garis
 Kongruensi
 Lukisan
 Perbanyakan bangunan
 Luas bangun datar
 Perbandingan seharga sekmen garis
Pengertian kurva
Dalam matematika, sebuah kurva adalah
suatu objek geometri yang merukanan satudimensi dan kontinu. Kurva adalah garis dan ruas
garis yang membentuk kurva – kurva sederhana.
Kurva dapat digambarkan dengan bermacam –
macam bentuk, bentuknya bisa teratur bisa juga
tidak teratur. Kurva adalah sesuatu yang memiliki
panjang, tetapi tidak memiliki lebar maupun
tebal. Kurva tidak dapat dilihat dalam pengertian
yang abstrak.
Macam-macam kurva
Kurva dapat dibedakan :
1. kurva lurus dan tidak lurus
kurva lurus yaitu berupa ruas garis lurus
kurva tidak lurus dapat berupa kurva lengkung,
parabola atau dapat pula garis lurus berangkal.
2. kurva sederhana dan tidak sederhana
kurva sederhana yaitu kurva yang tidak memuat titik
potong
Kurva tidak sederhana yaitu kurva yang memuat
titik potong
3. Kurva tertutup dan kurva terbuka
Contoh :
kurva tertutup
kurva terbuka
Dalam kehidupan sehari-hari, segitiga banyak
manfaatnya. Contohnya pada jembatan atau tiang
listrik untuk transmisi tegangan tinggi dibuat
dengan kontruksi bentuk segitiga. Dipilih bentuk
segitiga agar kontruksinya kokoh.
Segitiga adalah bidang datar yang dibatasi oleh
tiga garis lurus dan membentuk tiga sudut.
1. Segitiga sama kaki
Segitiga sama kaki adalah
 dapat dibentuk dari dua segitiga siku-siku yang
kongruen
 Dapat menempati bingkainya dengan tepat
menurut dua cara
 Mempunyai dua sisi yang sama panjang dan dua
sudut yang sama besar yang berhadapan dengan
sisi-sisi yang sama panjang
 Mempunyai satu sumbu simetri
2. Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah :
 Mempunyai ketiga sisi yang sama panjang dan
sudut yang sama besar yaitu 600
 Mempunyai simetri putar tingkat tiga
 Mempunyai 3 sumbu simetri
 Dapat menempati bingkainya semula dengan
tapat menurut 6 cara
 Segitiga sama sisi merupakan segitiga sama
kaki yang istimewa
1). Persegi Panjang : adalah segi empat dengan sisisisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang,
serta keempat sudutnya siku-siku.
Sifat-sifat persegi panjang :
a. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan
sejajar.
p
l
c
p
l
b. Setiap sudutnya siku-siku (900).
c. Mempunyai dua buah diagonal yang sama
panjang dan saling berpotongan di titik pusat
persegi panjang.Titik tersebut membagi diagonal
menjadi dua bagian sama panjang.
c
d. Mempunyai sumbu simetri yaitu
sumbu vertical dan horizontal.
c
2). Persegi/bujur sangkar : persegi panjang yang
keempat sisinya sama panjang.
Sifat-sifat persegi :
a. Semua sisinya sama panjang dan sisi-sisi yang
berhadapan sejajar.
b. Setiap sudutnya siku-siku (900).
c. Mempunyai dua buah diagonal yang sama
panjang, berpotongan ditengah-tengah,dan
membentuk sudut siku-siku.
d. Setiap sudutnya dibagi dua sama besar oleh
diagonal-diagonalnya.
450
450
e. Memiliki empat sumbu simetri
3). Jajargenjang : adalah segi empat dengan
kekhususan yaitu sisi yang berhadapan sejajar dan
sama panjang.
Sifat-sifat jajargenjang :
1. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
2. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
3. Mempunyai dua buah diagonal yang
berpotongan di satu titik dan saling membagi
dua sama panjang.
4. Mempunyai simetri putar tingkat dua dan
tidak memiliki simetri lipat.
4). Belah ketupat : adalah segi empat yang
dibentuk dari segitiga sama kaki dan
bayangannya, dengan alas sebagai sumbu
cermin.
Sifat-sifat belah ketupat :
1). Semua sisinya sama panjang.
A
D
B
C
Bukti :
 Belah ketupat ABCD dibentuk dari dua buah
segitiga sama kaki yang kongruen ,yaitu
segitiga ABD dan segitiga CBD.
 Karena segitiga ABD dan Segitiga CBD
kongruen ,maka AB=CB dan AD=CD.
 Karena segitiga ABD dan segitiga CBD sama
kaki,maka AB=AD dan BC=CD.
 Dari kedua hal di atas diperoleh AB = BC =
CD = AD. Jadi belahketupat ABCD
mempunyai panjang sisi yang sama
2). Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan
dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
Bukti :
 Karena segitiga ABD dan segitiga CBD kongruen
maka sudut A = sudut C
 Karena segitiga yang membentuk belah ketupat
ABCD merupakan segitiga sama kaki,maka dalam
segitiga ABD,sudut ABD=sudut ADB dan dalam
segitiga CBD,sudut CBD = sudut CDB.
 Hal ini berarti,sudut ABD + sudut CBD = sudut
ADB + sudut CDB atau sudut ABC = sudut ADC.
Jadi,dalam belahketupat ABCD terdapat
sudut A = sudut C dan sudut B = sudut D.
Sudut-sudut yang saling berhadapan
dalam belah ketupat sama besar.
3). Kedua diagonalnya saling membagi dua sama
panjang dan saling tegak lurus.
Bukti :
 Misalkan O adalah titik tengah diagonal BD. Segitiga
sama kaki ABD dibentuk dari dua segitiga siku-siku
yang kongruen, yaitu segitiga AOB dan segitiga AOD
dengan AO sebagai sumbu simetri segitiga
ABD,BO=DO, sudut OAB=sudut OAD, dan sudut
AOB=sudut AOD = 900.
 Serupa dengan cara di atas, CO adalah sumbu
simetri dari segitiga CBD, sudut OCB = sudut OCD,
dan sudut COB = sudut COD = 900. hal ini
berarti sudut AOB + sudut COB = 2*900
= 1800. Jadi,AC merupakan diagonal
belah ketupat.
4). Kedua diagonal belah ketupat merupakan sumbu
simetri.
Bukti :
 Belah ketupat ABCD terbentuk oleh :
 Segitga ABD dan segitiga CBD kongruen dan sama
kaki dengan AB = AD. Maka BD merupakan sumbu
simetri .
 Segitiga ABC dan Segitiga ADC kongruen dan sama
kaki , maka AC merupakan sumbu simetri.
 Jadi ,belah ketupat ABCD mempunyai dua sumbu
simetri yaitu BD dan AC.
5). layang-layang : adalah segi empat yang
dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang alasnya
sama panjang dan berhimpit.
Sifat-sifat layang-layang :
 Pada layang-layang terdapat dua pasang sisi yang sama
panjang.
 Pada layang-layang terdapat sepasang sudut berhadapan
yang sama besar.
 Pada layang-layang terdapat satu sumbu simetri yang
merupakan diagonal terpanjang.
 Pada layang-layang ,salah satu diagonalnya
membagi dua sama panjang diagonal
lainnya secara tegak lurus.
6). Trapesium adalah segi empat yang memiliki
sepasang sisi berhadapan sejajar.
Jenis-jenis trapesium :
 Trapesium sembarangan ; Trapesium yang tidak
memiliki suatu kekhususan .
 Trapesium Siku-siku : trapezium yang memiliki
sudut siku-siku .
 Trapesium sama kaki : trapezium yang kakikakinya sama panjang.
Hubungan antarbangun :
1. Jajargenjang dan trapezium
Jajargenjang merupakan segi empat
yang memiliki dua pasang sisi berhadapan
yang sama panjang dan sejajar. Trapesium
merupakan segi empat yang memiliki setu
pasang sisi yang berhadapan dan saling
sejajar. Hal ini menunjukkan bahwa
jajargenjang adalah bentuk khusus
dari trapezium, tetapi tidak
berlaku sebaliknya.
2. Layang-layang dan belah ketupat
Layang-layang adalah segi empat yang
memiliki dua pasang sisi berdekatan sama
panjang. Belah ketupat merupakan segi empat
yang keempat sisinya sama panjang. Hal ini
menunjukan bahwa belah ketupat adalah
bentuk khusus dari layang-layang yang kedua
diagonalnya sama panjang. Secara notasi
himpunan dapat dituliskan sebagai berikut :
{ belah ketupat } ⊂ { layang-layang }
⊂ { segi empat }
3. Jajargenjang dan belah ketupat
Belah ketupat merupakan segi
empat yang keempat sisinya sama
panjang dan terdapat dua pasang sisi
yang
saling
sejajar.
Hal
ini
menunjukkan bahwa belah ketupat
adalah
bentuk
khusus
dari
jajargenjang. Secara notasi himpunan
dapat dituliskan sebagai berikut :
{ belah ketupat } ⊂ {jajargenjang}
⊂ { segi empat }
Kesejajaran Dua Garis
Pengertian Garis Sejajar
Definisi :
Dua garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu
terletak sebidang dan tidak memiliki titik
persekutuan (walaupun diperpanjang).
Dari definisi di atas jelas bahwa jarak antara
kedua garis tersebut tetap.
Aksioma 1 :
 Melalui dua titik yang berbeda
dapat di buat tepat satu garis
lurus.
Aksioma 2 :
 Melalui sebuah titik diluar garis
yang diketahui dapat dibuat
tepat satu garis sejajar dengan
garis yang diketahui.
Aksioma-aksioma tersebut kita gunakan untuk
membutikan kebenaran beberapa sifat atau
teorema-teorema tentang garis.
Teorema 1 :
Jika suatu garis memotong salah satu dari dua
garis sejajar maka garis tersebut juga memotong
garis yang kedua.
Bukti :
 Misal kedua garis a // b dan garis m memotong
garis a di P.
m
a
P
b
 Kita akan buktikan bahwa garis m juga
memotong garis b.
 Andaikan garis m tidak memotong garis b,
berarti garis m // b, ini berarti melalui titik P di
luar garis b ada dua garis sejajar b, yaitu garis m
dan a, hal ini bertentangan dengan aksioma 2.
Jadi, garis m tidak mungkin tidak memotong
garis b atau dengan kata lain garis m
memotong b (terbukti).
Teorema 2 :
Jika suatu garis sejajar dengan salah satu dari dua
garis sejajar maka garis tersebut juga sejajar dengan
garis yang kedua.
Bukti :
Misal diketahui garis a // b dan garis m // a.
b
a
m
Kita akan buktikan bahwa garis m // b. Andaikan garis
m tidak sejajar garis b, berarti garis m memotong garis b.
Karena a // b dan m memotong b, berdasarkan toerema 1
maka garis m harus memotong a. Padahal diketahui garis m
sejajar a, hal ini berarti garis m tidak mungkin memotong
garis b atau dengan kata lain garis m // b (terbukti).
Teorema 3 :
jika sebuah garis sejajar dengan dua buah garis maka
kedua garis itu sejajar pula satu sama lain.
Bukti :
Misal diketahui garis m, sedangkan garis m // a dan m // b.
a
m
b
Kita akan buktikan bahwa garis a // b, telah diketahui bahwa
a // m (sebab m// a) dan m // b, ini berarti garis a sejajar
dengan salah satu dari dua garis sejajar m dan b. Karena a//
m, sesuai teorema 2 maka a juga sejajar dengan garis yang
kedua, yaitu b, berarti a // b (terbukti).
Sudut-sudut yang terjadi Jika Dua Garis Sejajar
Dipotong Garis Ketiga
Perhatikan gambar di bawah ! terdapat dua
buah garis sejajar k dan m yang dipotong oleh
garis l.
k
A
4
3
m
B
4
1
2
3
1
2
l
Dari gambar diatas
maka yang dimaksud
dengan :
 Pasangan sudut
sehadap
< A1 dengan < B1
< A2dengan < B2
< A3dengan < B3
< A4dengan < B4
 Pasangan sudut dalam
berseberangan
< A1 dengan < B3
< A2 dengan <B4
 Pasangan sudut luar
berseberangan
< A3 dengan < B1
< A4 dengan < B2
 Pasangan sudut dalam
sepihak
< A1 dengan < B4
< A4 dengan < B1
 Pasangan sudut luar
sepihak
< A3 dengan < B2
< A4 dengan < B1
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain
maka akan terbentuk pasangan sudut sehadap,
sudut dalam berseberangan, sudut luar
berseberangan, sudut dalam sepihak, dan sudut
luar sepihak.
m
4
3
l
d
1
2
c
a
b
<4 = 180 0- <1
<d = 180 0- <a = 180 0 - <1
<3 = 180 0- <4
<c = 180 0 - <d = 180 0 - <4
<2 = 180 0- <1
<b = 180 0- <a = 180 0- <1
Jadi, <4 = <d
Jadi, <3 = <c
Jadi, <2 = <b
Karena :
 <1 sehadap <a
 <2 sehadap <b
 <3 sehadap <c
 <4 sehadap<d
Berarti sudut sehadap besarnya sama.
Kesimpulan 1 :
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh
garis lain maka besar sudut sehadap adalah
sama.
Perhatikan gambar yang tadi, maka diperoleh :
 <1 = <a (sehadap)
 <c = <a (bertolak belakang)
 <2 = <b (sehadap)
 <d = <b (bertolak belakang)
Karena,
 <1 adalah sudut dalam berseberangan <c
 <2 adalah sudut dalam bersebarangan <d
Berarti sudut dalam berseberangan besarnya sama.
Kesimpulan 2 :
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain
maka besar sudut dalam berseberangan adalah
sama.
Dari gambar juga diperoleh pula :
 <4 = <2 (bertolak belakang)
 <b = <2 (sehadap)
 <3 = <1 (bertolak belakang)
 <a = <1 (sehadap)
Karena,
 <3 adalah sudut luar berseberangan <a
 <4 adalah sudut luar berseberangan <b
Berarti sudut luar berseberangan besarnya sama.
Kesimpulan 3 :
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain
maka besar sudut luar berseberangan juga sama.
Perhatikan gambar dibawah ini :
m
1
4
l
2
3
1
4
2
3
Dari gambar di atas diperoleh :
 < A1= < B1 sebab merupakan pasangan
sudut sehadap.
 < B1+ < B2= 1800(saling berpelurus)
Jadi,
< A1+ < B2 = 1800
Demikian pula < A4= < B4 sebab merupakan
pasangan sudut sehadap <B4+ < 3= 1800 (saling
berpelurus).
Jadi, < A4+ < B3 = 1800
Karena sudut-sudut tersebut merupakan pasangan
sudut luar sepihak maka jumlah papsangan sudutsudut luar sepihak adalah 1800
Kesimpulan 4 :
Jika dua buah garis sejajar dipotong garis lain maka
jumlah pasangan sudut luar sepihak sebesar 1800.
Perhatikan lagi gambar yang diatas, maka diperoleh :
 < A2= < B2 sebab merupakan pasangan
sudut sehadap
 < B2+ < B1 = 1800 (saling berpelurus)
Jadi, < A2+ < B1 = 1800
Demikian pula :
 < A3 = < B3 sebab merupakan pasangan sudut
sehadap
 < B3 + < B4 = 1800 (saling berpelurus)
Jadi, < A3 + < B4 = 1800
Karena sudut-sudut tersebut merupakan
pasangan sudut dalam sepihak maka jumlah
pasangan sudut-sudut dalam sepihak adalah
1800
Kesimpulan 5 :
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis
lian maka jumlah pasangan sudut dalam
sepihak besarnya 1800.
Teorema 1.2 : Jika sebuah garis tegak lurus
pada dua buah garis berpotongan yang
terletak pada sebuah bidang, maka garis itu
akan tegak lurus pada setiap garis yang
terletak pada bidang tersebut.
Definisi 1.4 :
 Sebuah garis dikatakan tegak lurus pada
setiap garis pada bidang jika garis itu
tegaklurus pada setiap bidang tersebut.
 Menurut teorema 1.2, jika akan memastikan
apakah sebuah garis g tegak lurus pada
sebuah bidang α, maka tidak perlu
menunjukkan bahwa garis g tegak lurus
pada dua garis berpotongan yang terletak
pada bidang α.
Teorema 1.3 : Proyeksi sebuah gairs pada
sebuah bidang pada umumnya merupakan
sebuah garis lagi.
Definisi 1.5 :
Jika sebuah garis tidak tegak lurus pada
sebuah bidang, maka sudut anatara garis itu
dan bidang tersebut adalah sudut lancip
antara garis itu dengan proyeksi garis itu
pada bidang tersebut.
Pengertian Kongruensi.
 Kongruen artinya sama dan sebangun.
Bangun - bangun yang Kongruensi.
 Dua bangun datar bersisi lurus dikatakan
kongruen jika memenuhi dua syarat berikut :
 Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar.
 Sisi – sisi yang bersesuaian sebanding.
Sifat – Sifat Dua Segitiga yang Kongruen.
 Dua segitiga dikatakan kongruen jika memiliki sifat –
sifat berikut ini :
 Sisi yang bersesuaian sama panjang.
 Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar.
Syarat Dua Segitiga yang Kongruen.
 Ketiga Panjang Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (
Sisi , Sisi , Sisi ).
 Dua Pasang Sisi Sama Panjang dan Sudut yang
Dibentuk oleh Sisi – Sisi Itu Sama Besar ( Sisi , Sudut ,
Sisi ).
 Sepasang Sisi dan Dua Pasang Sudut yang Bersesuaian
pada Sisi – Sisi Itu Sama ( Sudut , Sisi , Sudut ).
Dari uraian pada bagian 1 , 2 , 3 dapat
disimpulkan sebagai berikut :
 Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama
panjang ( sisi , sisi , sisi ).
 Dua pasang sisi sama panjang dan sudut yang
dibentuk oleh sisi – sisi itu sama besar ( sisi ,
sudut , sisi ).
 Sepasang sisi dan dua pasang sudut yang
bersesuaian pada sisi – sisi itu sama ( sudut ,
sisi , sudut ).
Jenis – Jenis Segitiga.
1. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisinya.
 Segitiga sama kaki.
Segitiga sama kaki terbentuk dari dua segitiga siku
– siku kongruen yang diletakkan bersisian dan
berhimpit pada sisi siku – siku yang panjang.
 Segitiga sama sisi.
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga
sisinya sama panjang.
 Segitiga sembarang.
Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga
sisinya tidak sama panjang.
2. Jenis segitiga ditinjau dari susdut – sudutnya.
 Segitiga yang ketiga sudutnya lancip disebut segitiga
lancip.
 Segitiga yang salah satu sudutnya siku – siku disebut
segitiga siku – siku.
 Segitiga yang salah satu sudutnya tumpul disebut
segitiga tumpul.
3. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi – sisi dan
besar sudutnya.
 Segitiga sama kaki.
 Segitiga sama sisi.
 Segitiga sembarang.
NAMA BANGUN
SEGITIGA SAMA
KAKI
SEGITIGA SAMA
SISI
SEGITIGA SIKU
SIKU
1. Mempunyai dua
sisi yang sama
panjang yang
sering disebut kaki
segitiga.
2. Mempunyai dua
sudut yang sama
besar , yaitu sudut
yang berhadapan
dengan sisi yang
panjangnya sama.
3. Mempunyai satu
sumbu simetri
1. Mempunyai tiga
sisi yang sama
panjang.
2. Mempunyai tiga
sudut yang sama
besar.
3. Mempunyai tiga
sumbu simetri.
Segitiga siku –siku
mempunyai dua
sisi siku – siku yang
mengapit sudut
siku – sikunya dan
satu sisi miring
(hypotenusa ).
GAMBAR
SIFAT
A. Melukis segitiga siku siku dengan
menggunakan busur dan penggaris
Langkah-langkah :
 Tetapkan suatu garis, misalkan garis AB.
 Buat sudut siku-siku di A, caranya letakkan busur
derajat pada garis AB dan pusatnya dititik A,
kemudian cari titik yang menunjukkan sudut 900
 Tarik garis dari titik A ke atas melalui titik yang
menunjuk sudut 900, kemudian pada garis itu
ukurlah panjang AC sesuai yang dikehendaki.
 Tarik garis B dan C
GAMBAR
C


90 0
A


B
B. Melukis segitiga sama kaki dengan jangka
dan penggaris
Langkah-langkahnya :
 Tetapkan garis, misalkan garis AB
 Buat lingkaran yang berpusat dititik A dengan jari-jari
panjangnya kurang dari panjang AB atau yang
dikehendaki.
 Buat lingkaran yang berpusat dititik B dengan jari-jari
yang panjangnya sama dengan lingkaran, dengan pusat
A maka kedua lingkaran akan berpotongan dititik C.
kemudian tarik garis AC dan BC maka hasilnya tampak
pada gambar
GAMBAR
GAMBAR
C

A


B
C. Melukis segitiga sama sisi dengan jangka dan
penggaris
Langkah-langkahnya :
 Tetapkan garis yang dikehendaki, misalkan garis AB
 Buat lingkaran yang berpusat dititik A dengan jari-jari
yang panjangnya sama dengan panjang AB.
 Buat lingkaran yang berpusat dititik B dengan jari-jari
yang panjangnya sama dengan panjang AB maka akan
memotong lingkaran dengan pusat A dititik C.
kemudian tarik garis AC dan BC.
GAMBAR
GAMBAR

A

C

B
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita temukan
bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang
sama, misalnya permukaan meja di kelas, bentuk keramik
lantai, permukaan CD, kaca pada jendela rumah, tampak
depan rumah-rumah di perumahan, bentuk bangun pada
sarang lebah, dan sebagainya.
Syarat dua bangun yang sama dan sebangun
 Ukuran sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
 Panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
Dalil-dalil yang berhubungan dengan dasar
segitiga yang sebangun
 Jika 2 sudut siku-siku maka kedua sudut itu




kongruen
Jika 2 sudut adalah sudut lurus maka kedua sudut
itu kongruen
Jika 2 sudut bersuplemen pada sudut yang sama
maka kedua sudut itu kongruen
Jika 2 sudut komplemen pada sudut yang sama
maka kedua sudut itu kongruen
Jika 2 sudut suplemen pada 2 sudut yang kongruen
maka kedua sudut itu kongruen
 Jika 2 sudut berkomplemen pada 2 sudut yang
kongruen maka kedua sudut itu kongruen
a. Jika 2 sudut saling sehadap maka kedua sudut
itu kongruen
b. Jika 2 sudut saling bertolak belakang maka
kedua sudut itu kongruen
c. Jika 2 sudut itu bersebrangan maka kedua
sudut itu kongruen
2 sifat segitiga kongruen :
 Sisi-sisi yang bersesuaian / seletak sama panjang
 Sudut-sudut yang bersesuain sama besar
Syarat 2 segitiga yang kongruen
 Sisi-sisi yang bersesuaian / seletak sama panjang
 2 sisi yang bersesuaian sama panjang dan 1 sudut
yang bersesuaian sama besar
 2 sisi yang bersesuaian sama panjang dan 1 sudut
yang menghadap salah satu sisi tersebut sama
besar
 Satu sisi sama panjang dan 2 sudut yang terletak
pada sisi tersebut sama besar
 2 sudut yang bersesuaian sama besar dan 1 sisi
yang menghadap salah satu sudut tersebut sama
panjang
Beberapa sifat dari 2 bangun yang sebangun
 Syarat 2 bangun yang sama dan sebangun (kongruen)
 Dua buah bangun datar yang tepat saling menutupi
saling menutupi atau tepat saling berimpit disebut dua
bangun yang sama dan sebangun atau kongruen
Sifat-sifat dua segitiga sama dan sebangun
Dua buah bangun yang sama bentuk maupun
ukurannya dikatakan dua bangun yang sama dan
sebangun. Jadi, jika dua buah bangun yang sama dan
sebangun diimpitkan maka kedua bangun tersebut
akan tepat saling menutupiatau bagian-bagian yang
bersesuaian akan saling menempati dengan tepat.
Demikiannya dengan hal segitiga. Dua buah
segitiga dikatakan sama dan sebangun ,
apabila kedua segitiga itu diimpitkan maka
keduanya akan tepat saling menutupi atau
bagian-bagian
yang
bersesuaian
saling
menempati dengan tepat.
Untuk menentukan dua segitiga yang sama dan sebangun,
dapat dilakukan berdasarkan unsur-unsur pada segitiga, yaitu
panjang sisi dan besar sudut. Dengan demikian, berdasarkan
pada panjang sisi dan besar sudutlah kita dapat menyelidiki
apakah dua segitiga sama dan sebangun atau tidak seperti
berikut ini :
1. Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang ( sisi, sisi, sisi )
Jika dua buah segitiga memiliki sisi yang bersesuaian yang
sama panjang maka kedua segitiga itu sama dan sebangun.
2. Ketiga sudut yang bersesuaian sama besar (sd,sd, sd )
Jika dua buah segitiga memiliki sudut-sudut yang bersesuaian
sama besar maka kedua segitiga itu belum tentu sama dan
sebangun
3. Dua sisi sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (sisi,
sudut,sisi )
Membedakan segitiga sebangun dengan
segitiga sama dan sebangun
Antara dua buah segitiga terdapat salah satu
hubungan yang mungkin berikut ini
 Dua segitiga sama dan sebangun atau kongruen
 Dua segitiga sebangun
 Dua segitiga tidak sama dan tidak sebangun atau
juga tidak sebangun
Selanjutnya, dari ketiga hubungan tersebut di atas
hanya akan dibahas perbedaan anatara dua segitiga
sama dan sebangun ( kongruen ) dengan dua
segitiga sebangun.
PERSAMAAN :
Dua segitiga sama dan
Dua segitiga sebangun
sebangun
Sudut-sudut yang bersesuaian Sudut-sudut yang bersesuaian
sama besar
sama besar
PERBEDAAN :
Dua segitiga sama dan
sebangun
1. Sisi yang bersesuaian sama
panjang
2. Besar bangunnya sama
Dua segitiga sebangun
1. Sisi yang bersesuaian
sebanding
2. Besar bangunnya berbeda
Dua buah segitiga yang sama dan sebangun
(kongruen ) memiliki sudut-sudut bersesuaian
yang sama besar dan sisi-sisi bersesuaian yang
sama panjang . Dua buah segitiga yang sebangun
memiliki sudut-sudut yang bersesuaian yang sama
besar, tetapi sisi-sisi yang bersesuaiannya tidak
sama panjang ( hanya sebanding )
Luas segitiga dapat di hitung dengan
menggunakan rumus berikut :
A
Luas segitiga ABC =
=
B
C
Persegi panjang adalah bangun datar yang
memiliki empat sisi dengan sepasang sisi yang
berhadapan sama panjang dan keempat
sudutnya merupakan sudut siku-siku.
A
B
Luas = Panjang (P) x Lebar (L)
= AB x BC
D
C
Luas persegi panjang sama dengan hasil kali
panjang dan lebarnya
Persegi adalah bangun datar yang memiliki
empat sisi yang sama panjang dan empat udut
yang sama besar, yaitu sudut siku-siku .
Persegi dapat juga diartikan sebagai persegi
panjang yang sisi-sisinya panjang. Jadi, semua
sifat-sifat pada persegi panjang juga berlaku
untuk persegi.
A
B
D
C
Luas Persegi = Sisi x Sisi
=SxS
Luas persegi sama dengan
kuadrat panjang sisinya
Jajar genjang adalah bangun datar yang
memiliki empat sisi dengan sisi-sisi yang
berhadapan sejajar dan sama panjang serta
sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Selain itu, sisi yang bersebelahan tidak saling
tegak lurus.
Luas Jajar Genjang
= Alas x Tinggi
= AB x DO
Salah satu cara untuk menghitung luas
jajargenjang adalah mengubahnya menjadi
persegi panjang. Pengubahan ini dilakukan
dengan cara memotong bangun jajargenjang
tersebut sehingga didapat bangun segitiga dan
bangun lainnya.
Belah ketupat adalah bangun datar yang
memiliki empat sisi yang sama panjang dengan
sisi-sisi yang berhadapan saling sejajar. Selain
itu, sisi yang bersebelahan tidak saling tegak
lurus.
Luas : ½ x d1 x d2
Layang-layang adalah bangun datar yang
memiliki empat sisi dan dibentuk oleh dua
segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang
dan berimpit.
Luas : ½ x d1 x d2
Trapesium adalah bangun datar yang
mempunyai empat sisi dengan sepasang sisi
berhadapan saling sejajar.
Luas : ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi
Segmen garis adalah ruas garis yang dibatasi
oleh dua titik, dan dua titik ini merupakan
nama dari segmen garis tersebut.
Contoh :
A
B
Gambar tersebut menunjukkan suatu ruas
garis yang panjangnya dibatasi oleh titik A
dan B. ruas garis AB ini disebut segmen
garis AB.
 Kurva dan Segi n
beraturan
 Segi empat
 Relasi titik dan garis
 kongruensi
 lukisan
 Perbanyakan bangunan
 Luas bangun datar
 Perbandingan seharga
segmen garis
1.
C
80 0
50 0
A
3 cm
50 0
4 cm
B
Dengan
memperhatikan
gambar tersebut,
tentukan panjang sisi
BC !
Jawab :
Karena sudut ABC =
sudut BAC = 50 0
maka segitiga
tersebut adalah
segitiga sama kaki,
sehingga berlaku :
BC = AC = 3 cm
2.
C
60 0
60 0
A
60 0
B
Dari gambar diatas menunjukkan gambar ..
Jawab :
segitiga sama sisi karena memiliki sudut yang
sama besar yaitu 600dan sisi yang sama panjang
1.Perhatikan persegi
panjang KLMN pada
gambar di samping!
Sebutkan :
a. pasangan sudut yang
saling berhadapan .
b. Pasangan garis yang
sejajar dan sama
panjang.
c. Pasangan garis diagonal.
k
l
n
m
Jawab :
a. Pasangan sudut yang
saling berhadapan
adalah :
<KLM dan <KNM
<NKL dan <LMN
2. Nyatakan benar (B) atau
salah (S) pernyataan
berikut ini. PERSEGI
PANJANG
 Persegi panjang
mempunyai sifat keempat
sisinya sama panjang.
 Apabila terdapat dua sudut
siku-siku dari suatu segi
empat, maka segi empat
itu adalah persegi panjang.
 Diagonal-diagonal persegi
panjang mempunyai
panjang yang sama.
 Keempat sudut persegi
panjang adalah siku-siku.
 Pada sudut persegi
panjang, sisi-sisi yang
berhadapan sama panjang
tetapi tidak sejajar.
Jawab :
 (S)
 (S)
 (B)
 (B)
 (S)
1. Dari gambar berikut yang manakah yang merupakan
garis yang sejajar dan garis yang tegak lurus ?
A
B
C
Jawab :
garis – garis sejajar
: A dan C
garis-garis tegak lurus : D dan E
D
E
2.
E
C
300
D
700
A
B
Tentukan besar sudut-sudut
berikut !
a. sudut ABC
b. sudut ACD
c. sudut ACB
d. sudut DCE
Jawab :
a. Sudut ABC = 300 (sudut
dalam berseberangan
dengan sudut BCD)
b. Sudut ACD = 1800 – 700 =
1100 (sudut dalam sepihak
dengan sudut BAC)
c. Sudut ACB = sudut ACD sudut BCD = 1100 – 300 =
800
d. Sudut DCE = 700 (sudut
sehadap dengan sudut
CAB)
Tunjukkan bahwa kedua gambar tersebut kongruen
1.
B
A
2.
A
C
O
B
O
D
1. < A = sudut siku – siku
< A = 900
< B = sudut siku – siku
< B = 900
Maka < A kongruen
dengan < B
2. < AOB = sudut lurus
< A = 1800
< COD = sudut lurus
< B = 1800
Maka < AOB
kongruen dengan <
COD
1. Lukislah segitiga sama sisi ABC dengan
AB = BC = AC = 4 cm
Jawab :
C
4 cm
4 cm
A
4 cm
B
2. Lukislah segitiga sama kaki ABC dengan
AC = BC = 3 cm dan AB = 4 cm
Jawab :
C
3 cm
3 cm
A
4 cm
B
1. Dua buah persegi panjang masing-masing
berukuran 16 cm x 10 cm dan 8cm x 5 cm.Apakah
kedua persegi panjang itu sebangun ?
Jawab :
Ukuran
Panjang
Persegi
Panjang 1
16 cm
Persegi
Panjang 2
8 cm
Lebar
10 cm
5 cm
5 cm
10 cm
8 cm
16 cm
Kedua persegi panjang memiliki sudut-sudut yang
bersesuaian sama besar atau sama sudut karena
setiap sudutnya adalah sudut siku-siku.
Perbandingan panjang =16 cm : 8 cm = 2 : 1
Perbandingan lebar = 10 cm : 5 cm = 2 : 1
Karena setiap sudut-sudut yang bersesuaian sama
besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding,
yaitu 2 : 1, maka kedua persegi panjang sebangun.
2. Suatu segitiga ABC dan segitiga PQR mempunyai
panjang AB=12 cm, AC=10 cm, BC=8 cm,QR=15 cm,
PQ=18 cm, PR=12 cm. Jelaskan bahwa kedua segitiga
tersebut sebangun dan tentukan sudut-sudut yang
sama besar
Jawab :
R
C
10 cm
A
8 cm
12 cm
12 cm
15 cm
B
P
18 cm
Q

=
=

=
=

=
=
Sudut A = sudut Q
Sudut B = sudut P
Sudut C = sudut R
Sebanding
Sama besar
Jadi kedua segitiga sebangun
1.
Hitunglah keliling dan luas persegi panjang dalam
satuan dm, dengan panjang dan lebar berturutturut 10 dm dan 20cm.
Jawab :
Diketahui : p = 10 dm
l = 20 cm = 2 dm (satuan disamakan)
Maka : K = 2 ( p x l ) = 2 ( 10 dm + 2 dm ) = 24 dm
L = p x l = 10 dm x 2 dm
= 20 dm2
2
Apabila keliling persegi panjang adalah 60 m dan
lebarnya 12 m, tentukan panjang dan luas persegi
panjang tersebut.
Jawab :
Diketahui : K = 60 m dan l = 12 m
Maka : K = 2 ( p + l )
60 m= 2 ( p + 12 m )
60 m= 2p + 24 m
60 m – 24 m = 2p
36 m = 2p
P = 36/2
P = 18 m
L = p x l = 18 m x 12 m
= 216 m2
3. Keliling sebuah persegi adalah 60 cm. Tentukan
panjang sisi dan luasnya.
Jawab :
Diketahui : K = 60 cm
Maka : K = 4s
60 = 4s
s = 60/4 cm
s = 15 cm
L = s2
= (15 cm)2
= 225 cm2
4. Panjang sisi suatu persegi adalah ( 10 – z ) cm.
Keliling persegi tersebut 28 cm. Tentukan nilai z
dan panjang sisi persegi tersebut.
Jawab :
Persegi ABCD = 4s
= 28
4 ( 10 – z ) = 28
40 – 4z = 28
4z = 40 – 28
Z=3
Panjang sisi = ( 10 – 3 ) cm = 7 cm
Jadi, panjang AD = AB = BC
= DC = 7 cm
Panjang diagonal-diagonal sebuah belah ketupat adalah
6 cm dan 8 cm.
Hitunglah :
a. Keliling belah ketupat itu
b. Luas belah ketupat
Jawab :
Misalkan belah ketupat ABCD.
AC = 6 cm dan BD = 8 cm.
AO = OC = 1/2 AC= 3 cm dan BO = OD = 1/2 BD = 4 cm.
5.
Keliling = 4 x AD
=4 x5
= 20 cm
Luas =
Luas = 24 cm2
1. Jika panjang AB = 12 cm, titik P di antara A dan B
sedemikian sehingga AP : PB = 1 : 3. Tentukan panjang
AP dan PB !
Jawab :
3
1
A
P
B
Pada gambar tersebut tampak AP : PB = 1 : 3.
AP = 1
AB 4
PB = 3
AB 4
AP = 1 (AB)
4
AP = 1 (12)
4
AP = 3 cm
AP = 3 (AB)
4
AP = 3 (12)
4
AP = 9 cm
Jadi, panjang AP = 3 cm dan PB = 9 cm
2. Titik P terletak pada garis AB. Jika AB = 25 cm dan AP
= 10 cm, tentukan perbandingan garis AP : PB !
Jawab :
10 cm
A
P
25 cm
B
diperoleh PB = AB – AP = 25 cm – 10 cm =15 cm
jadi, AP : PB = 10 : 15 = 10 = 2 = 2 : 3
15 3