Transcript BAB1 Peluang

 Ruang
sampel
 Kejadian
 Menghitung titik sampel
 Peluang suatu kejadian
 Aturan penjumlahan
 Peluang bersyarat
 Aturan perkalian
 Aturan Bayes
 Himpunan
semua hasil yang mungkin dari
suatu percobaan statistika disebut ruang
sampel dan dinyatakan dengan lambang T.
 Contoh:
Ruang sampel sebuah dadu adalah:
T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
 Suatu
kejadian adalah himpunan bagian dari
ruang sampel.
 Contoh:
Kejadian A adalah hasil lemparan suatu dadu
yang dapat dibagi tiga. Maka hasilnya adalah
A = { 3, 6 }
 Komplemen
suatu kejadian A terhadap T
ialah himpunan semua unsur T yang tidak
termasuk A.
 Komplemen A dinyatakan dengan lambang A’.
 Contoh :
Komplemen dari A = { 3, 6 } pada lemparan
sebuah dadu adalah
A’ = { 1, 2, 4, 5 }
 Irisan
dua kejadian A dan B, dinyatakan
dengan lambang A ∩ B, ialah kejadian yang
unsurnya termasuk dalam A dan B.
 Contoh:
Pada lemparan sebuah dadu, misalkan A
kejadian bahwa bilangan genap yang muncul
dan B kejadian bahwa bilangan lebih besar
dari 3 yang muncul. Maka A = {2,4,6} dan B =
{4,5,6}
sehingga A ∩ B = {4,6}
 Gabungan
dua kejadian A dan B, dinyatakan
dengan lambang A U B, ialah kejadian yang
mengandung semua unsur yang termasuk A
atau B atau keduanya.
 Contoh:
A = { a,b,c } dan B = { b,c,d,e}
maka A U B = { a,b,c,d,e }
 Bila
suatu operasi dapat dilakukan dengan n1
cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi
kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan
seterusnya, maka deretan k operasi dapat
dikerjakan bersama-sama dengan n1n2…nk
cara
 Suatu
permutasi adalah urutan yang
berbeda-beda yang dapat dibentuk dari
sekumpulan benda.
 Contoh:
Dari tiga huruf a, b, c, permutasi yang dapat
dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab, dan
cba.
 Banyaknya
permutasi n benda yang berlainan
adalah n!
 Seperti contoh diatas, permutasi tiga huruf
adalah 3! = (3)(2)(1) = 6
 Banyaknya
permutasi n benda berlainan bila
diambil r sekaligus adalah
n!
 Contoh:
(n  r )!
Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah
pertama dan kedua.
Banyak titik sampel =
20!
= (20)(19) = 380
18!


Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun
melingkar adalah ( n - 1 )!
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n1
diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, ….,nk
berjenis ke k adalah
n!
n1! n2 !...nk !

Contoh:
Ada berapa cara menyusun 9 lampu pohon Natal bila 3
diantaranya berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru?
Banyaknya susunan yang berlainan adalah
9!
= 1260 cara
3!4!2!
 Pemilihan
r benda dari sejumlah n tanpa
memperdulikan urutannya disebut
kombinasi.
 n
n!
  
 r  r!(n  r )!
 Contoh:
Jika ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan,
banyaknya cara memilih kelompok yang
terdiri 2 kimiawan dan 1 fisikawan adalah:
 4  3  4! 3!
   

 6  3  18
 2 1  2!2! 1!2!
Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot
semua titik sampel yang termasuk A.
 Jadi 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ø) = 0, dan P(T) = 1


Contoh:
Sebuah mata uang dilempar dua kali. Berapa peluang
paling sedikit muncul muka sekali?
Ruang sampelnya adalah T = { MM, MB, BM, BB }
maka tiap titik sampel memiliki bobot = ¼
Bila A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka
muncul, maka A = { MM, MB, BM }
P(A)= ¼ + ¼ + ¼ = 3/4
Jadi peluangnya paling sedikit muncul muka sekali adalah
¾
 Bila
A dan B dua kejadian sembarang, maka
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
 Bila
A dan B kejadian yang terpisah, maka
P(A U B) = P(A) + P(B)
 Untuk
tiga kejadian A, B, dan C
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B
∩ C)
 Peluang
seorang mahasiswa lulus matematika
2/3 dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila
peluangnya lulus kedua mata kuliah ¼,
berapakah peluangnya lulus paling sedikit
satu mata kuliah?
 Jawab:
Bila M menyatakan kejadian “lulus
matematika” dan B “lulus biologi” maka
P(M U B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B)
= 2/3 + 4/9 – ¼
= 31/36
 Peluang
terjadinya suatu kejadian B bila
diketahui bahwa kejadian A telah terjadi
disebut peluang bersyarat dan dinyatakan
dengan P(B|A).
P( A  B)
 P(B|A) =
P( A)
bila P(A) >0
 Peluang
suatu penerbangan yang telah
terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B)
= 0,83; peluang sampai tepat waktu P(S) =
0,82 dan peluang berangkat dan sampai
tepat waktu P(B ∩ S) = 0,78.
 Peluang pesawat sampai tepat waktu jika
diketahui berangkat tepat waktu
P(S|B)=
=
= 0,94
P( S  B)
P( B)
0,78
0,83
 P(A|B)
= P(A)
 Terjadinya B sama sekali tidak mempengaruhi
terjadinya A.
 Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya
jika
P(B|A) = P(B) dan P(A|B) = P(A)
jika tidak demikian, A dan B tak bebas.
 Pengambilan
dua kartu yang diambil
berturutan dari sekotak kartu dengan
pengembalian.
A = kartu pertama yang terambil as
B = kartu kedua sebuah skop
Karena kartu pertama dikembalikan, ruang
sampel untuk kedua pengambilan terdiri atas
52 kartu.
 P(B|A) = 13/52 = ¼
 P(B)
= 13/52 = ¼
Jadi, P(B|A) = P(B)
Kejadian A dan B dikatakan bebas.
 Bila
kejadian A dan B dapat terjadi pada
suatu percobaan, maka
P(A∩B) = P(A) P(B|A)
 Jadi peluang A dan B terjadi serentak sama
dengan peluang A terjadi dikalikan dengan
peluang terjadinya B bila A terjadi.
 Karena kejadian A∩B dan B∩A ekivalen maka
tidaklah menjadi soal kejadian mana yang
disebut A dan yang disebut B.


Jika kita memiliki kotak berisi 20 sekering, 5
diantaranya cacat. Bila 2 sekering dikeluarkan dari
kotak satu demi satu secara acak (tanpa
mengembalikan yang pertama ke dalam kotak),
berapakah peluang kedua sekering itu cacat?
Jawab
A = kejadian bahwa sekering pertama cacat
B = kejadian bahwa yang kedua cacat
A∩B = kejadian bahwa A terjadi dan kemudian B terjadi
setelah A terjadi.
P(A) = 5/20 = ¼
P(B|A) = 4/19
P(A∩B) = (1/4) (4/19) = 1/19
 Dua
kejadian A dan B bebas jika dan hanya
jika P(A∩B) = P(A) P(B)
 Contoh :
Suatu kota memiliki 1 mobil pemadam
kebakaran dan 1 ambulans. Peluang mobil
pemadam kebakaran siap waktu diperlukan
0,98, peluang ambulans siap waktu dipanggil
0,92. Peluang keduanya siap adalah
P(A∩B) = P(A) P(B) = (0,98) (0,92) = 0,9016
A merupakan 2 kejadian yang terpisah
E∩A dan E’∩A dapat ditulis
A = (E∩A) U (E’∩A)
Sehingga
E
P(A) = P [(E∩A) U (E’∩A)]
= P (E∩A) +
E∩A
P (E’∩A)
= P(E) P(A\E) +
P(E’) P(A\E’)
E’
A
E’ ∩ A
 Misalkan
kejadian
B1 , B2 ,...,Bk merupakan
suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel T dengan
P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1,2,…,k, Maka untuk setiap
kejadian A, anggota T
k
k
P(A) = ∑ P(Bi∩A) = ∑ P(Bi) P(A\Bi)
I=1
I=1
 Misalkan
kejadian B1, B2, … Bk
merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang
sampel T dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1,2,…,k,
Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam T
dengan P( A)  0
maka
P( Br  A)
P( Br ) P( A | Br )
P( Br | A) 

k
k
 P( B  A)  P( B ) P( A | B )
i 1
untuk r = 1,2,….,k
i
i 1
i
i
 Tiga
anggota koperasi dicalonkan menjadi
ketua. Peluang Ali terpilih 0,3, peluang Badu
terpilih 0,5, sedangkan peluang Cokro 0,2.
Kalau Ali terpilih maka peluang kenaikan
iuran koperasi adalah 0,8. Bila Badu atau
Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan
iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4.
Bila seseorang merencanakan masuk jadi
anggota koperasi tersebut tapi menundanya
beberapa minggu dan kemudian mengetahui
bahwa iuran telah naik, berapakah peluang
Cokro terpilih jadi ketua?
 Kejadian:
A : Orang yang terpilih menaikkan iuran
B1 : Ali yang terpilih
B2 : Badu yang terpilih
B3 : Cokro yang terpilih
P( B1 ) P( A | B1 )  (0,3)(0,8)  0,24
P( B2 ) P( A | B2 )  (0,5)(0,1)  0,05
P( B3 ) P( A | B3 )  (0,2)(0,4)  0,08
P( B3 ) P( A | B3 )
P( B1 ) P( A | B1 )  P( B2 ) P( A | B2 )  P( B3 ) P( A | B3 )
0,08
8
P( B3 | A) 

0,24  0,05  0,08 37
P( B3 | A) 