Transcript KEKONGRUENAN - WordPress.com

KEKONGRUENAN
Definisi
Jika a, b, dan m adalah bilangan bulat dengan m > 0,
Bilangan a disebut kongruen dengan b modulo m jika
m| (a – b)
Ditulis :
a  b (mod m)
Contoh : 37 mod 5  2,
9 mod 4  1
Juga -11 mod 3  4 karena
dibagi 3
-11 – 4 = -15 , yang habis
Latihan :
Isilah kongruensi berikut !
1. 125  .....mod 10
2. 184  .....mod 4
3. 384  ..... Mod 7
Sifat-sifat kongruensi
Jika a  b mod m, maka :
1. a + p  b + p (mod m) Bukti
2. ap  bp (mod m) Bukti
3. Jika a  b mod m dan c  d mod m, maka :
a. a + c  b + d (mod m)
b. ac  bd (mod m)
Jika a  b mod m maka a + p  b + p (mod m)
Bukti :
a  b (mod m) artinya m| ( a – b) atau terdapat
bilangan bulat k shg (a – b) = mk
Kita bentuk persamaan bahwa a – b = a +p – b – p
(a – b) = (a + p) – (b + p) = mk
Dari bentuk : (a + p) – (b + p) = mk
berarti m |[(a + p) – (b + p)] sesuai bentuk bahwa
a + p  a + p (mod m)
kembali
Jika a  b mod m , maka ap  bp mod m
Bukti :
a  b mod m ⇔ m | (a-b)
Shg : (a – b) = mk, k bil. bulat
Kita kali dengan suatu bil bulat p shg diperoleh :
⇔ (a – b).p = mkp, kp merupakan bil bulat
⇔ (ap – bp) = mkp, shg diperoleh :
⇔ ap  bp mod m
kembali
Contoh :
Hitunglah dua angka terakhir dari 32002
Jawab :
Kita dapat menghitungnya dengan menggunakan modulo 100,
Dimulai dari : 34  81 mod 100 dan 32  9 mod 100,
Maka : 36  729 mod 100
 29 mod 100
38  6561 mod 100
Akhirnya diperoleh :
 61 mod 100
310  61 x 9 (mod 100)
 549 mod 100
 49 mod 100
32002 = (320)100 . 32  1 . 32 mod 100
 9 mod 100
320 = (310)2  492 mod 100
 2401
 1 mod 100
Dua angka terakhir 3
2002
= 09
Tentukan sisa pembagian 32006 oleh 8
Jawab :
2
2
Karena 3 = 9, maka 3 mod 8  1
2006
2 1003
3 mod 8  (3 ) mod 8
2
1003
 (3 mod 8)
1003
1
1
Jadi sisanya adalah 1
Carilah sisa pembagian 3
2006
dibagi oleh 11