Редукция переменных
Download
Report
Transcript Редукция переменных
Работу выполнил: студент группы 6057/3 Соловьёв С.Ю.
Научный руководитель: Ануфриев И.Е.
1.
2.
3.
2
Разработать быстрый и эффективный
алгоритм для решения задачи оценки
параметров ОДУ с запаздывающими
аргументами
Реализовать алгоритм в виде библиотеки
MATLAB
Получить решение некоторых
практических задач
Дано :
1. {tˆi , xˆi }, i 1, n
dx
f (t , x(t ), x(t 1 ),
, x(t d ), p) (1)
dt
p оцениваемый вектор
2.
i запаздывания , i 1, d
x(t ): R1 R1 , p R s
3. xh (t ), t [tˆ1 max( j ); tˆ1 )
j
Найти : p, т.ч.:
n
1. min
p
(xˆ x(tˆ , p))
i 1
2
i
i
2. x(t ) решение (1)
3
min m( x , p) min
p
n
j 1
( xˆ j xi ( j ) )2 (2)
при ограничениях : ci (x , p) 0, i 1, n (3)
xi решение дифференциального уравнения (1) в t i
сi определяются схемой численного интегрирования
n число элементов сетки численного интегрирования (1), n n
Пример : метод Эйлера
ci (x , p) xi 1 xi t f (t i , xi , xi i ,
1
, xi i , p)
d
Проблемы : 1. Долго решается
2. При больших n нехватка памяти : n 1000
4
Редукция
переменных
Прямые
методы
Нет
Блочное
разложение
Нет
Полный
гессиан
Итерационные
методы
Ускорение
шага SQP
Неполный
гессиан
Прямые
методы
Итерационные
методы
5
0. i номер итерации , i 1, nmax ; {tˆj , xˆ j }, j 1, n; z0(0) 0; n n
1. z0(i 1) , n
x
2. z Rn s
p
3. Цикл SQP по k
4. k ый шаг SQP : (zk , k ) m(zk ) Tk c(zk ) (4)
1
(zk , k )T d d T 2xx (zk , k )d
min
(5)
2
d
т.ч. c(zk ) A(zk )d 0
2xx (zk , k ) A(zk ) d m(zk )
(5.1)
A(zk )
0 k 1 c(zk )
5. Остановка SQP : zk zk 1
6. z0(i ) z , n 2n 1; если zi zi 1 остановка , иначе переход к шагу 1
6
Li Z., Osborne M.R., PrvanT.
(Parameter estimation of ordinary differential equations, 2005) :
z [ x1 ,
c [c1 (x1 , x2 , p),
, xn , pT ]T Rn s
, cn1 ( xn1 , xn , p)]T R n1
A(z) c(z)
1
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
2
3
3
0
0
0
0
n1
Идея : метод блочной
0
0
1
1 1 0
1
0
0
0
2
2
2
2
0
3
1 0 3 3
3 (6) или
(7)
0 2 0 4
n1
0
0
0
0
n 1
n 1
редукции для уменьшения размерности задачи
z( Rn s ) z ( R2 s ); min f (z )
7
0. i номер итерации , i 1, nmax ; {tˆj , xˆ j }, j 1, n; z0(0) 0; n n
1. z0(i 1) , n
x
2. z Rn s
p
x
3. Редукция переменных : f (z) z R2 s
p
2
4. min
p
(xˆ x(t )) , c (x , x
i 1
2
i
i
i
i
i 1
, p) 0
x
z
p
(SQP)
x
5. Возврат к исходным переменным : f (z ) z
p
1
6. z0(i ) z ; если zi zi 1 остановка , иначе переход к шагу 1
8
9
Матрицы системы на шаге SQP (5.1):
1. Не положительно определённая
2. Симметричная
3. Разреженная
Самые быстрые:
1. LDL
2. BICG
10
P T AP LDLT , где D диагональная
L нижняя треугольная
P матрица перестановок
пороговое
значение для
алгоритма
переупорядочивания
11
1.
2.
Предобуславливатель P
Пороговое значение для P
LUinc неполное
LU разложение ,
порог
отбрасываемых
значений
12
Лагранжиан : (z , ) m(z) T c(z)
H1 (z) 2zz m(z), H2 (z , ) 2zz T c(z)
Полный гессиан :
H N (z , )
H1 (z) H2 (z , ) (8)
Неполный гессиан :
H GN (z , ) H1 (z) (9)
13
14
dx
p x
(10.1)
dt
x(0) 1
x(t ) p (p 1)e t (10.2)
15
dx
p x e t cos(t )
(11.1)
dt
x(0) 2
x(t ) p e t sin(t ) (11.2)
16
dx
p4 (p1 x) p2 p3 cos(p3t )e p4t
dt
x(0) 2 (12.1)
x(t ) p1 p2 sin(p3t )e p4t (12.2)
17
dx
px(t ) (13.1)
dt
sin(p )
x(t ) sin(pt )
cos(pt ) (13.2)
1 cos(p )
18
dx
px(t )x(t ) (14.1)
dt
19
Акаев А.А., Садовничий В.А., Ануфриев И.Е. (2011) :
dP
P(t )
2
rP (t 1 ) 1
(15)
dt
K (P , 2 , 3 )
K (P , 2 , 3 ) Pc
P(t 2 ) P0
e
P (t 3 )P0
1 среднее время наступления репродуктивной способности
2 время диффузии базисных технологий
3 запаздывание реакции биосферы на антропогенную нагрузку
r , , параметры
Pc стационарная численность населения
Для мира : 1 25, 2 30, 3 100
20
Для модели (15) при 25 30 100 , P0 1, Pc 4 :
T
r
p k
0.019
1.941
5.058
21
Для модели (15) при 25 30 100 , P0 1, Pc 5.2 :
T
r
p k
0.018
2.261
4.59
22
Для модели (15) при 25 30 100 , P0 1, Pc 6 :
T
r
p k
0.017
2.693
4.692
23
Для модели (15) при 25 30 100 , P0 1, Pc 9 :
T
r
p k
0.015
4.267
9.555
24
25
26
Разработан быстрый алгоритм решения
задачи оценки параметров ОДУ с
запаздывающими аргументами
Полученный алгоритм реализован в среде
разработки MATLAB в виде программы с
графическим интерфейсом пользователя
Получены оценки параметров для уравнения
демографической динамики
27