(- 2 ) + - Australian College | Tercer Milenio

Download Report

Transcript (- 2 ) + - Australian College | Tercer Milenio

-16(x-1) -16(-x-1) -16(x+1)

+

1

DOMINÓ DE POTENCIAS PARA JUGAR

2 9

Nº1

81/16 2 -n ( B/A)

¿x?

6 128 / 2 -2

x

- 3

1 0

{[( - 2/4)

0

]

-1

}

3 2x+5m 2x-5m+3a

4

24

16 20

10

X-2 X + 1

128 = 64

-7

-5 -3 6

- 2 3/4 1 6 2/3

X-2 : X+2

81 3 = 1 7

Ejercicio resuelto

8

Se han mezclado 30 litros de aceite barato con 25 litros De aceite caro, resultando la mezcla a $320 /L. Calcula El precio del litro de cada clase, sabiendo que el de más Calidad es el doble de caro que el otro BARATO CARO MEZCLA 55



320 = 30x + 50x 17600 = 80x X = 17600/80 X = $220/L CANTIDAD EN (L)

30 25 55

2X = 2



220 2x = 440 PRECIO/L

x 2x $320

RESPUESTA: COSTO TOTAL ($)

30x 25



2x = 50x



320 = 30x + 50x

El aceite barato cuesta

$220/L y el caro $440/L

EJERCICIO- RESUELTO

Un televisor a un crédito de 8 cuotas Es aumentado un 6% Si el precio al contado del televisor Es $120.000

¿Qué valor tendrá cada cuota del Crédito?

El precio del televisor es el 100% y en cuotas aumenta en 6% Entonces el nuevo valor es 106% La fracción es: 106/100 $127.200 : 8 = $15.900



120.000 = 1,06



120.000 = $127.200

Si este valor lo dividimos por 8 , obtenemos el valor de cada cuota 9 RESPUESTA : Cada cuota del crédito es de $15.900

Ejercicio: Para RESOLVER

10 Completen en sus cuadernos la siguiente tabla relacionando Las variaciones porcentuales con los factores de multiplicación ENUNCIADO

Disminución del 12% Disminución de 7% Aumento de 29% Aumento de 112% Disminución de 35% Aumento de 6%

FACTOR FRACCIONARIO

88/100 212/100

FACTOR DE MULTIPLICACIÓN

0,88 1,06

¿x?

= 2 3x-7 5y+2 = 4y-5 ¿y? P = 2



r ¿r?

T = P+m



a ¿m?

-2

11

a 1/3+2/5= x+4 ¿x?

T/P

3

-49/15

FACTORIZACIONES RESUELTAS

Nº1.- 2X+6Y = 2(X+Y)º15 Nº2.- 5XY-2Y = Y(5X-2)

12

Nº6.- 3ax(m-1) +2z(m-1) = (m-1)(3ax+2z) Nº7.- 5ab(2c-n) – (2a+3)(2c-n)= (2c-1)(5ab-2a-3) Nº8.- 4mx(3x-1) + (2mx+5) (3x-1) = (3x-1) (4mx+2mx+5) = (3x-1)(6mx+5) Nº9.- 12a(2b+5x)-2b-5x = 12a(2b+5x) -1(2b+5x) = (2b+5x)(12a-1)

2x-2 )

Problemas clásicos resueltos, aplicando ecuaciones de primer grado

PROBLEMA Nº1

Un padre tiene 35 años y su hijo 5 . ¿Al cabo de cuántos años Será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

Años x 35+x = 3(5+x)



x = 10 años

PROBLEMA Nº2

Si al doble de un Nº se le resta su mitad resulta 54 ¿Cuál es el Nº?

Sea X el Nº pedido 2x – x/2 = 54



x= 36

PROBLEMA Nº3

La base de un rectangulo es doble que su altura ¿Cuáles son sus dimenciones si el perímetro mide 30 cm?

13

Altura = x Base = 2x x 2x + 4x = 30 x= 5



Altura = x = 5 cm Base = 2x = 10 cm 2x

Problema Nº 4 En una reunión hay doble Nº de mujeres que de hombres Y triple Nº de niños que de hombres y mujeres juntos ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si en la reunión La componen 96 personas?

14

Problema Nº 5 Hombres = x Mujeres = 2x Niños = 3(x+2x) = 3



3x = 9x Luego; x+2x+9x = 96 x = 8 Hombres = x = 8 Mujeres = 2x = 16 Hijos = 9x = 72 Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite . Reponemos 38 litros y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes Calcula la capacidad del bidón Sea x la capacidad del bidón Luego: x – 7/8 x +38 = 3/5 x Luego x= 80 litros

Problema Nº6 Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

15 Pavos = 35-x Patas : 4x + 2(35-x) = 16 De donde x = 23 Problema Nº7 Luego cerdos = 23 pavos = 35-23 = 12 Luis hizo un viaje en el auto, en el cual consumió 20 litros de bencina. E l trayecto lo hizo en dos etapas: En la 1ª etapa consumió 2/3 de la bencina que tenía el depósito y en la 2ª etapa , la mitad de la bencina que le queda SE PIDE Litros de bencina que tenía en el depósito

-) 1ª etapa = 2/3 x -) 2ª etapa = 1/2 ( x – 2/3 x ) = 1/2



Luego 2/3 x + 1/6 x = 20



1/3 x = 1/6 x x = 24 litros

Litros consumidos en cada etapa

-) 1ª etapa = 2/3 x = 2/3



24 = 16 L.

-) 2ª etapa = 1/6 x = 1/6



24 = 4 L.

CONTINÚA DIAPOSITIVA Nº 80 PROBLEMAS

1,04 2,2

x

2,6 0,4 5,2 0,8

1,2 20,8

6,5

Proporcionalidad?

16

proporcionales ¿Cuál es la constante

3x + 5 3x - 5 3x + 4 3x - 4

17 En las fichas se han escrito algunas expresiones algebraicas Si x es un número natural ¿En cuál de las fichas se representa el ANTECESOR DE 3x + 6?

5 2 3 2

2

-1

+

2

-2

2

-3

es

3 2 5 2

ENCUENTRE EL VALOR DE X EN;

19 0,25

X-1

= 128

20

Si -1 2

X = 3 a - b

Encuentre x si

b = 1

4 cm

5 cm

8 cm 10 cm 20 cm

X+3

21

25

8 1 6 3 5 7 4 9 2

25% 30% 3/5

**0,6 0,25 Juego ; DOMINO ARITMETICO Juego con 12 fichas Nº23**

3/10 80%

5,76

48 12% de

50%

1,3 8 2/9



0,6

Atlas

Y

(LITROS de bencina)

Taurus

24

x

Según histograma ¿Cuál es la marca de clase del 4º intervalo?

y 28 23 46 17

20 12 8 12 2 8 14 20 26 32 x

JUEGO

atr nticu

DOMINÓ ARITMÉTICO

Reforzamiento NÚMEROS

vei Nº menos el Tiene Divisores ¿Cuántos

Nº2

0,5 22 2/5 + 3/5 6/10

.

1/5 3



1.000 0,25

0,025 26

menta % n 8 Se au 40 .2

$1 En u

-8

; 8 del de ado

1

Cuadr De 5 Menos el Doble Sucesor

D0MIN0 ARITMÉTICO PARA

JUGAR

Nº1

27 3/4

0,5

0,8 1,4

1/9 22,2 %

3

-2 2

DOMINÓ ARITMÉTICO PARA JUGAR

1: 0,125

Nº2

1/3

28

0,005 0,00008 0,89 1 -8 Triple de Del Nº





10 -5

¿De qué Nº

ES 8 el 8% 7/10

π/4

3/4

DOMINÓ ARITMÉTICO PARA JUGAR

96 48 y Entre .

M.C.D

tre Encuen El valor de 1+1/3-0,3

Nº 3

29

4 10.080

Forma Fraccionaria De 0,5644… Notación Científica de 0,0000048 -10

5 y 0,005 5 y 0,5 5 y 0,05 5 y 0,0005

Tiempo

[0,03-0,035) [0,035-0,04) [0,04-0,045)

Número de personas 4 8 10

[0,045-0,05) [0,05-0,055)

9 3

30

23,4% 32,4% 2 0 1 1 0 4 1 0 0 2 0 1 4 2 0 8 0 2 2 1 3 1 2 2 4 5 1 3 2 3

31

En un colegio, los alumnos de 2º medio obtuvieron las siguientes notas en matemática 32 4,6 5 5 5,6 4 7 5,6 6 6

Calcula la media,la mediana y la moda

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III

Es (son) correcta (s)

34

8,83 8 8 8 8,86 8

20, 5, 12, 8, 5, 8, 4, 10, 3, 8, 6, 18, 2, 10, 14

8,86 5 10 8,86 8 8

73 93 83 +5-10+-78+-5-8+20-9+12

-60 55 - 40

-

8

-

( 5

-

5 )

+2

2

.

-

3

36

43

.

1 ( 6 : 3 4 2 6 ) 37

-11 12 13 12 -4 2,8

1 3 1 2 + 5 6

-

3 4

38 39 16 24

26

Si a la suma del cubo de 2 y del cuadrado de 3 se le resta 4 se obtiene la mitad de x ¿Cuál es el valor de x

15 y 1.200

Solución

5 25 y 1.200

y 1.800

75 3 25 5 1 75 =5 2

.

3 2 80 2 40 20 10 2 2 2 5 5 1

M C D (75, 80) = 5

m c m (75 , 80)=

.

3 =

80 = 2 4

.

1.200

40

1 5 1 3

1 4 1 5 1 6

3 4

[

7 3

3

( 1

1 3 )

]

43 -

949 145 636 145 { -

1

2 3

: (

3 4

+

1 3

-

1 -8

) +

4

2 5

} .

3

5

-6

18 y 36,6

Desarrollar y calcular

Y 16 y 28,8

14 y 36,6

14 y 26,6

44

19.96

y 1,8

18,8

1,3 20,096

1,3 Calcular

.

4Q Y

: 3Q

45

Un poco más de 5 Un poco menos de 8 1 4 3 2 -

+

4 3 1 8

:

2 5 5 24

+

3 3 4

46

78 82 80 76

47 (

x -

y

) 2 18 4 5 15

y

13 12

b

6 a x

3

-

a ) 2

7 2 3 4

2 3 2 2 3

;

1

1 3

;

2

1 3 1 3

2

1 1 2 3

3

¿CUÁL ES LA FRACCION QUE FALTA?

48

1 .2 .3

;

49

5n 3

De la siguiente sucesión

+

7 5n 7

Indica el 15 thº

51 122 118

;

; 14 -

Observa la siguiente serie de figuras 31 Y 28 .

Fig 1 .

Fig2 . esfera palillo .

33 Y 29 Encuentra el número de palillos Y esferas Fig3 .

52

37 y 26

Para formar la figura 12

En el siguiente arreglo numérico

4 6

regla

a

a+b b

x + y - z

2 2 2 z 2 2 x 2 y 2 2 2

53

50.050

Están colocadas en arreglos triangulares

5.050

50.005

Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4

54

10.050

26.000

Si

46.000

36.000

X = ( 5



4 ) : 2

3 7 Y = ( 30 : 5 ) : ( 2 

55

x  y

REFORZAMIENTO

ALGEBRA

6a-5b+7c

56

8a-5b+7c 8a-7b+7c

(2a- 5b + 3c ) – ( - 5a+b – 4c ) – ( - a – b )

Resulta

8a+7b+7c

La Expresión Algebraica

Monomio 5x + 

2

Binomio Trinomio

57 -16 18

Si x = 2 e y = - 1 58

(1 – a )

(a + 1 ) ( a – 1 )

(1 – a ) ( 1 + a )

1 - a

2 59

60 32 16 8 4

El doble de su cuadrado es 32

La factorización de: (x + 12 ) ( x + 1 )

X + 13x + 12

(x - 12 ) ( x + 1 )

Corresponde a:

61

m + n m - n

1

m - n 2 2

m – n m – n

( - n )

n - 2 2n n n + 2

3n - 6

63

64

85 cm 52 cm

Entonces su perímetro es : 26 cm

Los ángulos interiores de un triángulo Isósceles

Son entre sí

Rectángulo

2a a/2 - a/6 a



+ a



a



a

Es igual a:



66

375 cm

200 cm

125 cm

40% de su capacidad

24 x 5 10 x 6 68

x/2 - y/2 2x – 4y 2(x + y ) x

-

y 2

69

y x

6/5 1/5 11

2x + 2 3

-

x - 1

= 1 70

1,4 cm 2 cm 2,04 cm 1,04 cm 2,4 cm 71

Calcular la mitad de x

8X - 16 16X - 32 12X + 8

Lado del exágono es 2x 4

72 ( a 2 b 2 ) 2 a – b 2 2 b 2 (a – b ) 2 73

2 - 5 5 6

-6 21-13 2 3 74

9 11

9 7 9 + x 2



=

-

1 4



es

  

2 3 a a -



1 3

a 3xy al (2x+1) 2 cuadr do + 1 4x + 4x -5a+8a-3a

77

3a -9b por (X+3y) (x-3y)

8 12 15 25 78 35 28 Donde x es

directamente proporcional

a y ¿Cuál es el valor de

P + Q

?

x 3 6 y 5 Q P 25

20

11 ¿Cuál de las dos fichas me da la

capicúa

en el juego?

24 al xy” verb ) + 2 2 en

81

Escribir Forma “(x+y

79

La cuarta parte De x es su doble menos 7 ¿x?

4 8 -5(x+2)=20 ¿x+26?

Escribir en Forma algebraica “El cuadrado De un Nº menos Su mitad +3 es 12”

7

Problema Nº8 En una librería , Ana compra un LIBRO con la tercera parte de su dinero y un COMIC con las dos terceras partes de lo que le queda ba . Al salir de la librería tenía $12.000 ¿Cuánto dinero tenía Ana?

Dinero que tenía Ana o total = x

LIBRO = 1/3 x COMIC = 2/3 (x- 1/3 x) = 2/3



2/3 x = 4/9 x Luego 1/3 x + 4/9 x + 12.000 = x



x = $54.000

80 Problema Nº9 Las dos cifras de un mismo número son consecutivos La mayor es la parte de las decenas y la menor la de las Unidades. El Nº es igual a 6 veces la suma de las cifras ¿Cuál es el Nº ?

UNIDADES = x DECENAS = x+1 Si tenemos un Nº de dos cifras , Por Ej. 65 podemos descomponer este Nº En; 6



10 + 5 Nuestro Nº de dos cifras es (x+1)



10 + x Como este Nº es 6 veces mayor que la suma de sus cifras . Se tiene (x+1)



10 + x = 6(2x+1)



x = 4 ; UNIDADES = X = 4 ; DECENAS = X+1 = 5



El Nº ES 54

Problema Nº10 Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan EXCEDE en 15 años a la Edad de éste . Hace 4 años la edad del padre era DOBLE de la edad del hijo Hallar las edades de ambos Juan Hace 4 años Hoy X X+4 Padre 2X 2X+4 Luego 3/4 (2X +4) = X +4 +15 EDAD JUAN = 32+4 = 36 años EDAD PADRE = 2

 

81 X = 32 32 +4 = 68 años Problema Nº11 Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un Trabajo en 14 hrs. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo Por separado si uno es el doble de rápido que el otro TIEMPO HORA DE TRABAJO RAPIDO LENTO X 2X 1/X 1/2X Luego: 1/x + 1/2x = 1/14 RAPIDO; Demora 21 hrs LENTO ; Demora 42 hrs



x = 21

Problema Nº 12 C = x B = x + 40 A = x + 40 + 40 = x + 80 Además ; A + B + C = 180º Luego ; x + x+40 + x+80 = 180º x = 20 De donde A = 20+80 = 100º B = 20+40 = 60º C = 20º A C

82

Problema Nº 13 Dos ciudades A y B distan 300 Km entre sí . A las 9 de la mañana Parte de la ciudad A un auto hacia la ciudad B con una velocidad De 90 Km/h y de la ciudad B parte otro auto hacia la ciudad A con Una velocidad de 60 Km/h . Se pide :

83

1º) El tiempo que tardarán en encontrarse V = D/t





t = D 90



t + 60



t = 300



x = 2 hrs A 2º) La hora de encuentro Se encontrarán a las 9 + 2 = 11 hrs de la mañana 300 Km



B 3º) La distancia recorrida por cada automóvil

Primer automóvil ; d(AC) = v



t = 90



2 = 180 Km Segundo automóvil ; d(BC) = 60



2 = 120 Km

Problema Nº 14 Dos ciudades A y B distan 180 Km entre sí A las 9 de la mañana sale un auto de cada ciudad Y los dos autos van en la misma dirección y sentido El que sale de A circula a 90 Km/h El que sale de B circula a 60 Km/h. Se pide 1º El tiempo que tardarán en encontrarse 90



t - 60



t = 180 Km



t = 6 hrs A 2º La hora del encuentro 180 Km Se encuentran a las 9 + 6 = 15 hrs = 3 de la tarde Se encuentran en el Punto C B

84



3º la distancia recorrida por cada auto MÓVIL 1 = 90



6 = 540 Km MÓVIL 2 = 60



6 = 360 Km

Problema Nº 15 Un auto sale da la ciudad A a la velocidad de 90 Km/h Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro auto En persecución del primero con una velocidad de 120 Km/h SE PIDE El tiempo que tardará en alcanzarlo 90



t = 120(t-3)



t = 12 hrs La distancia en la que se produce el encuentro d = 90



12 = 1.080 Km 90 K/h

A



C

lo alcanza

120 K/h 85

Problema Nº16 Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40 Km/h Una hora más tarde sale de la misma ciudad y en la misma dirección Y sentido un auto a 60 km/h . SE PIDE Tiempo que tardaría en alcanzarle d(camión) = d(auto)





t = 60(t-1)



t = 3 hrs Como el auto sale una hora más tarde , el tiempo que tardará en alcanzarlo será 2 hrs Distancia al punto de encuentro

D(camión) = 40



t = 40



3 = 120 km

Camión = 40 km/h Auto = 60km/h

86



Lo alcanza La misma distancia

Problema Nº 17 Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la mañana De los pueblos A y B situados a 130 km de distancia El ciclista que sale de A pedalea a una velocidad constante De 30 km/h El ciclista que sale de B pedalea a 20 km/h ¿A qué distancia de A se encontrarán y a qué hora?



t + 20



t = 130



t = 130/50



t = 2,6



t = 2 hrs con 36 min.

Luego se encuentran a las 11 hrs con 36 minutos D(AC ) = 30



130/50 = 78 km A

 30 km/h

C

Se encuentran 130 km

20 km/h 

B 87

Problema Nº 18 Un grifo tarda en llenar un depósito 3 hrs y otro grifo tarda en llenarlo 4 hrs ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito?

Grifo A = 3 hrs Grifo B = 4 hrs Los dos grifos juntos = producto/suma 



4 /3+4 = 12/7 hrs = 1,7 hrs Luego los dos grifos juntos demoran 1 hora 42 minutos

88

Problema Nº19 Para pintar una casa se emplean 3 personas por separado. La persona A emplea 6 días. La persona B la termina en 10 días y la tercera persona la termina en 4 días Por problemas de tiempo se necesita que las tres personas trabajen juntas ¿Cuánto Tiempo demorarían? A + B + C = 6



4 6



10+6



4+10





240/124



1,9 = 1 día 21 hrs

Problema Nº20 89 Una máquina retroexcavadora junto a una 2ª máquina terminan un camino Para su pavimentación en 2 hrs ¿Cuánto se demora la 1ª máquina si la 2ª se Demora 6 hrs Máquina A Máquina B = x = 6 hrs A+B = A



B / A+B



2 = 6



X / 6+X



X = 3 hrs Luego la 1ª máquina demora 3 hrs Problema Nº21 Una llave llena una piscina en 6 hrs . Pero junto con una 2ª llave La vacían en 2 hrs¿ En cuanto tiempo la vacía la segunda llave?

Llave A = 6 hrs Llave B = X - 2 = 6



X / 6+X



X = - 1,5 hora Luego la 2ª llave lo vacía en 1 hora y media

DIAPOSITIVA Nº1-ESTADÍSTICA TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

90

Los datos siguientes corresponden a los tiempos de reacción De una muestra de 33 personas medidas en centésimas de segundo (datos no tabulados) 55 51 60 64 56 63 63 61 57 62 50 49 70 72 54 48 53 56 58 66 68 45 74 65 58 61 62 59 64 57 63 52 67 Nº1 Se PIDE : Trabajar DIAGRAMA TALLO HOJA

4 5 6 7

HOJA 9 8 5 5 8 9 5 7 0 1 2 3 4 5 0 4 0 0 0 1 2 3 1 2 4 4 3 2 1 2 2 3 0 4 3 8 8 9 6 6 6 8 3 3 7 5 4 7 1 4 8 2 5 7 8 4 6 2 9 3 7 7 8

F

3 16 30 33

Se pide a los alumnos ordenar los datos de menor a mayor en forma horizontal Indicando lugar de posición 3

Ejercicio Nº2

Según la distribución de datos de la diapositiva Nº 90

SE PIDE Nº1 Rango o recorrido

X

max 

X

min

= 74 – 45 = 20



X

Nº2 Calcular la media aritmética

= ∑ x N

= 1963 33 = 59,48

Centésimas de seg.

Nº3 Calcular la mediana M d

=

50%



Luego 16,5



33 = 1/2



thº = 17 33 = 16,5 Luego

M

= Q

=P

= 60

Centésimas de seg

91

Ejercicio Nº3 Según la distribución de datos de la diapositiva Nº90 SE PIDE Nº1 La moda Es la frecuencia absoluta MAYOR



= 63

Centésimas de seg.

Nº2 Calcular el primer cuartil

Q

=

25%



33 = ¼



33 = 8,25 Luego thº = 9



Q

=

Nº3 Calcular el tercer cuartil

55 Q

=

75%



33 = 3/4



33 = 24,7 Luego thº = 25



Q

= 64 92

Ejercicio Nº4 Las edades de 20 personas fueron 25 31 18 15 16 24 32 18 18 33 42 18 19 22 25 29 16 14 46 50 SE PIDE Nº1 Construir diagrama Tallo y hoja TALLO HOJA

f

i (9)

1 2 3

4 5

8 4 5 2 1 1 2 2 5 5 4 4 2 2 6 6 0 0 6 6 2 5 3 3 8 6 5 5 8 8 9 9 8 8 9 8 6 8 4 9 (5) (3) (2) (1)

f

i =

Frecuencia absoluta

Ejercicio Nº5 Ordenar de menor a mayor con su respectiva ubicación La distribución de datos de la diapositiva 93

94

14 15 16 16 18 18 18 18 19 22 24 25 25 29 31 32 33 42 46 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ejercicio Nº6 CALCULAR LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Nº1 = ∑ N

x

= 511 20 =

25,55 años

Nº2 Nº3 M

=

50%



20 = ´1/2



20 = 10



como 10 es Nº par, se saca La media aritmetica de los términos de lugar 10th y 11th Luego

M

=



=

23 años

M

= 18 años

Ejercicio Nº7

Aplicando la misma distribución de datos Se pide

95

14 15 16 16 18 18 18 18 19 22 24 25 25 29 31 32 33 42 46 50 Calcular primer “CUARTIL”

Q

=

25%



20 = ¼



20 = 5 thº Calcular tercer” CUARTIL”

Q

=

75%



20 = 3/4



20 = 15 thº Calcular el “DECIL” Nº6

D

=

60%



20 = 3/5



20 = 12 thº

Q

= 18 Q

= 31 D

= 25

Ejercicio Nº8

96

Construir” DIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTE” con la misma distribución de números de la diapositiva 95 Edades Datos que se necesitan

50



x máx x min

= 14 Q

= 18 40



Q

= 23

Q 3

Q

= 31

x

máx

= 50

20

18 14

10

 

Q 2 Q 1 x min 20 personas

EJERCICIO Nº9 El siguiente diagrama de tallo y hoja se refiere a una encuesta realizada a la entrada del metro entre las 12 y 13 hrs acerca de la TALLA O ALTURA de personas en cm SE PIDE: TALLO HOJA 07 08 09 10 13 14 15 16 17 18 19 9 2 2 2 6 5 0 2 0 2 1 8 0 1 2 5 4 0 0 0 1 0 1 3 0 2 1 4 3 6 8 5 7 3 7 9 5 2 3 5 8 1 4 2 6 2 3 2 4 2 8 4 4 2 4 3 6 5 2 4 5 9 7 3 5 5 7 4 7 5 7 6 8 9 2 4 5 5 4 6 8 12 10

9 9 74

f

97

EJERCICIO A

∑

Construir una tabla de frecuencia con 8 intervalos

i (Amplitud del int)

= Luego ;

a

= 15

x

máx

-

Nº int intervalos

x

mín

f

x

=

i x

f

= 11.232

74 151,78 cm

[78-93) [93-108) [108-123) [123-138) [138-153) [153-168) [168-183) [183-198)

8 7 1 2 13 13 15 15

a

=

f ac

195 - 78

8 =

14,625 x i

f

8 15 16 18 31 44 59 74 85,5 100,5 115,5 130,5 145,5 160,5 175,5 190,5

684 703,5 115,5 261 1891,5 2086,5 2632,5 2857,5

Ejercicio B Aplicando tabla de frecuencia de la diapositiva 98 Calcular

MEDIANA Y MODA

M

d = 1) 50% de N 1/2



74 = 37 cm 2) Ubicamos la frecuencia acumulada inmediatamente superior a 37 que resulta ser 44 apareciendo inmediatamente el intervalo de la mediana que es [153-168) Siendo 153 Lim. Inf.

99

Luego M

= L

inf

M

= 153 + + 50%



N fa-1 f

37 - 31



13 

a

15 =

153+6,9 = 159,9 cm M o = L inf + ( f i f i

-

f i-1 f i-1 )

+

( f i + f i-1 )



a

i ( 15-13 )

=

168 + ( 15-13 )

+

( 15+13 )

= 183 cm



Ejercicio C Aplicando tabla de frecuencia de la diapositiva 98 Construir

HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIA

100

Polígono de frecuencia 16



15 12



8 

4 

2 1

 



78 Histograma 93 108



1 123 2



138 153 168 183 198



DIAPOSITIVAS PROBABILIDADES

La palabra probabilidad viene del latín

probabilitis,

que significa ciencia subjetiva y cualitativa Luego el concepto de probabilidad viene con frecuencia en la comunicación entre las personas

EJEMPLO.- El paciente tiene un 50% de probabilidad de sobrevivir a una operación determinada . Los alumnos del 2º medio tienen un 65% de probabilidades de eximirse en todas las asignaturas

Luego la probabilidad de un suceso es un número ,comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un exper . aleatorio EXPERIMENTO.- Es observar el resultado de un fenómeno bien definido El experimento puede ser ; a) Determinístico b) Aleatorio EXPERIMENTO DETERMINISTICO.- Podemos predecir el resultado antes de que Se realicen Ej. Se deja caer una piedra de una cierta altura ésta caerá

EXPERIMENTO ALEATORIO.- Son aquellos en los que NO SE PUEDE PREDECIR El resultado, ya que éste depende del azar Ejemplos.- Al lanzar un dado no se sabe si saldrá 4 Al sacar una carta de un naipe inglés no se sabe si saldrá un 7 diamante Al levantarme en la mañana no tengo seguridad de llegar a tiempo al liceo Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o sello

102 102

TEORÍA DE PROBABILIDADES.- Se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio , con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro Con este fin introduciremos algunos elementos y conceptos JUEGOS DE AZAR.- Es importante que el alumno conozca EL ANÁLISIS de los juegos que ocuparemos en los distintos problemas de probabilidades Sean éstos A) Dominó B) Naipe Inglés y Español C) monedas D) Dados etc.

ELEMENTOS A CONSIDERAR EN TEORÍA DE PROBABILIDADES. 1º) Experimento Aleatorio 2º) Suceso o Evento 3º) Espacio Muestral 4º) Casos Favorables 5º) Aplicación de LAPLACE 6º) Respuesta al problema

EJEMPLO.- Al lanzar dos dados . Calcular la probabilidad De obtener Nº 7 al sumar sus pintas 1º EXPERIMENTO ALEATORIO.- Es la acción del problema lanzar dos dados 2º SUCESO O EVENTO.- Es una parte o subconjunto del espacio muestral es lo que pide el problema obtener Nº7 3º ESPACIO MUESTRAL .- Es el Nº total de casos que se presentan en el problema, es el conjunto de todos los posibles resultados, en nuestro ejemplo es 6x6 = 36 casos 4º CASOS FAVORABLES.- Son los elementos que cumplen con la condición del problema . En nuestro ejemplo son (6,1) (5,2) (4,3) (3,4) (2,5) (1,6) = 6 casos favorables 5º APLICACIÓN DE LA REGLA DE LAPLACE.- Es un Nº comprendido entre 0 y 1 Me indica la solución del problema y viene expresada por una fórmula P(A) = casos favorables / esp. Muestral en nuestro ejemplo: P(A) = 6/36 = 1/6 = 0,16666… P(A) = 16,6666--- % 6º RESPUESTA AL PROBLEMA.- La probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6 = 16,66--% Luego es más probable perder que ganar con el problema

Luego para nuestro estudio “El experimento tiene que ser ALEATORIO

CONCEPTOS DE SUCESOS

104

Nº1 SUCESO ELEMENTAL Son las posibles soluciones que se pueden presentar EJEMPLOS.- Al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y el sello. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son; El 1 el 2 el 3 el 4… hasta el 6. Al sacar una carta de un naipe español los sucesos elementales serían; sacar as de oro, 6 de copa, rey de bastos, caballo de espada etc.

Nº2 SUCESO COMPUESTO Es un grupo o subconjunto de sucesos elementales EJEMPLOS.- Lanzamos un dado y queremos que salga un Nº PAR . El suceso

Número par

es un suceso compuesto integrado por 3 sucesos elementales: el 2 El 4, el 6. Al lanzar dos monedas al aire es un suceso compuesto integrado por La combinación de sucesos elementales que son 4 CC, CS, SC, SS. O por ejemplo Jugamos la “RULETA” y queremos que salga suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los Nºs que van del 1 al 18) “ menor o igual que 18” Este es un

RELACIÓN ENTRE SUCESOS

105

A) UN SUCESO PUEDE ESTAR CONTENIDO EN OTRO

Las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias EJEMPLO.- Lanzamos un dado y analizamos dos sucesos ; 1º) que salga el Nº 6 2º) que salga un número par. Vemos que el suceso 1º) está contenido en el suceso 2º) Siempre que se da el suceso 1º) se da el suceso 2º) pero no al revés Por ejemplo ,si El resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso 2º) , pero no el 1º) B) DOS SUCESOS PUEDEN SER IGUALES Esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa EJEMPLO.- Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos 1º) que salga Nº par Nº2) que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos

C) UNIÓN DE DOS O MÁS SUCESOS 106

La unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen EJEMPLO.- Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos A) Que salga número PAR y B) que el resultado sea MAYOR QUE 3 El suceso UNION estaría formado por los siguientes resultados El 2, el 4 , el 5, el 6 A 2



6 4

      

5 B A



B = { 2, 4, 5, 6 }

D) INTERSECCIÓN DE SUCESOS

107

Es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más Sucesos que se intersectan EJEMPLO.- Lanzamos un dado al aire , y analizamos dos sucesos A) Que salga número PAR , y B) QUE SEA MAYOR QUE 4. La intersección De estos dos sucesos tiene un solo elemento, el 6 ( Es el único elemento común a ambos sucesos, es mayor que 4 y es Nº par B 2 A 6 4 5 A



E) SUCESOS INCOMPATIBLES : Son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes ( su intersección es vacía, es decir es igual al conjunto fi =



EJEMPLO.- Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos A.- Que salga un número menor que 3 B.- Que salga el número 6 Es evidente que no hay elementos comunes A 1 6 2 A



B =



B 108

SUCESOS C0MPLEMENTARIOS O CONTRARIOS Dos sucesos son complementarios si uno es la negación lógica del otro . Es decir son aquellos que si no se da uno obligatoriamente se tiene que dar el otro

109

EJEMPLO.- Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos A)Que salga Nº par . Su complementario será que NO salga Nº par , es decir B)Que salga Nº impar . Vemos que si no se da el 1º se tiene que dar el 2º 5 1

A

8 6 2 4 3

B = A A



A =



Si A es un conjunto, su COMPLEMENTO B = A será

SUCESOS O EVENTOS EXCLUYENTES Son eventos excluyentes aquellos en que la ocurrencia de ambos al mismo tiempo es incompatible. Es decir que ocurran dos o más sucesos en forma simultánea EJEMPLO.- 1) Ganar y perder un partido de tenis 2) Al lanzar un dado que salga el 6 y el 2 en forma simultánea 3) Al lanzar tres monedas al aire y que salgan en forma simultánea 3 sellos y 2 caras a la vez SUCESOS O EVENTOS EQUIPROBABLES Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad De ocurrir se dice que los sucesos son EQUIPROBABLES EJEMPLO.- 1) Se lanza una moneda que salga cara o sello son equiprobables 2) Lanzar un dado y que salga cualquier Nº del 1 al 6 3) Extraer , sin mirar , una bolita de una urna que contiene 3 números pares y 3 impares 4) Extraer, sin mirar , una carta de un naipe inglés y observar su pinta

110 REGLA DE LAPLACE

La probabilidad de un suceso A se denota por P(A)

REGLA DE LAPLACE :

Si en un experimento aleatorio los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir , es decir, son equiprobables la probabllidad de que un suceso A ocurra se puede calcular utilizando

P(A) =

Número de casos favorables al suceso A Número de casos totales o espacio muestral

111

Suceso seguro si P(A) = 1 EJEMPLO.-1) Sacar carta roja o negra en un naipe inglés 2) Al lanzar un dado obtener un Nº comprendido entre el 1 y el 6 Suceso imposible si P(A) = 0 EJEMPLO.- Al lanzar un dado obtener un 8

DESARROLLO DEL ESPACIO MUESTRAL DEL DOMINÓ 112

                 

(0,0)

     

(1,5)

     

(3,6)

 

(0,1)



(1,6)

   

(4,4)

   

(0,2)

   

(2,2)

        

(4,5)



(0,3)

   

(2,3)

       

(4,6)

 

(0,4)

   

(2,4)

         

(5,5) (0,5)

      

(2,5)

       

(5,6) (0.6)

    

(2,6)

  

(6,6) (1,1)

     

(3,3)

  

(1,2)

      

(3,4)

   

(1,3)

    

(3,5)

 

(1,4) ESPACIO MUESTRAL



= 28 FICHAS

  

113

     

1) Chancho o pelá 3 2) Suma de sus pintas es 6 3) Diferencia de sus pintas es 0 4) Múltiplo de 2 y de 3 y de 6 5) Nº par 6) Divisor de 6, de 12, de 18 etc

      

1) Suma de sus pintas es 7 2) Diferencia de sus pintas es 3 3) Nº primo 4) Múltiplo de 7, de 14, de 21 etc 5) Divisor de 7 6) Nº impar

      

1) Nº par 2) Diferencia de sus Pintas es 2 3) Suma de sus Pintas es 10 4) Divisor de 20, 30, 40 etc.

5) Múltiplo de 2 5 , de 10

DESARROLLO DEL ESPACIO MUESTRAL DE DOS DADOS

D



A

1 2 3

4 5 6 1

(1,

1)

(2,

1)

(3,

1)

(4,

1)

(5,

1)

(6,

1) 2

(1,

2) 3

(1,

3) 4

(1,

4)

(2,

2)

(3,

2)

(2,

3)

(3,

3)

(4,

2)

(4,

3)

(2,

4)

(3,

4)

(4,

4) 5

(1,

5) 6

(1,

6)

(2,

5)

(2,

6)

(3,

5)

(3,

6)

(4,

5)

(4,

6)

(5,

2)

(5,

3)

(5,

4)

(6,

2)

(6,

3)

(6,

4)

(5,

5)

(5,

6)

(6,

5)

(6,

6)

114 Espacio Muestral



= 6



6 = 36 ANALISIS EN EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS

(3, 3)

1) Pintas Iguales 2) Suma de sus pintas es 6 3) Diferencia es 0 4) Múltiplo de 6, 3, 2, 5) Divisor de 6, 12, 18.. etc

115

1) Espacio muestral de 40 cartas ;



= 40 2) Naipe con 4 pintas: 10 cartas cada pinta. Son 10 de oro; 10 de espada 10 de basto y 10 de copa 3) Cuatro cartas de cada NÚMERO UNO DE CADA PINTA 1 o AS de ESPADA, 1 o AS de Nº 2, 3, 4, 5, …….hasta el 12 BASTO , 1 o AS de COPA, … : 1 o AS de ORO, Lo mismo para el En total son 12 monos, 3 de cada pinta. Los monos son i) Carta 12 o REY ii) Carta 11 o caballo iii) Carta 10 o paje Son 7 cartas que no son monos, enumeradas del 1 al 7, de cada Pinta, 7 cartas de ORO , 7 cartas de ESPADA , 7 cartas de BASTO Y 7 cartas de COPA

                

1) Espacio muestral de 52 cartas;



= 52 cartas

   



 

116



2) La mitad (26) cartas son rojas y la otra mitad (26) son negras



3) De cada color 13 son de DIAMANTE (rojo) y 13 son de CORAZÓN ROJO 13 son de PICA (negro) y 13 son de TREBOL (negro)

 

4) En total son 12 monos, Los monos son REY (K) QUINA (Q) Y YACO ( J) Son 3 monos de DIAMANTE(



3 monos de PICA (



) 3 monos de CORAZÓN ROJO (



) ) 3 monos de trébol (



) Hay 4 ases (A) , 2 NEGROS Y 2 ROJOS . Lo mismo para el resto de los números Desde el 2 hasta el Nº10

117

EJEMPLO Nº1 En el lanzamiento de UN DADO calcular la probabilidad de sacar un Nº MENOR O IGUAL QUE 4 A) Experimento Aleatorio Lanzar un dado B) Suceso o Evento Obtener un Nº menor o igual que 4 C) Casos Favorables Son 4, El 1 , 2 , 3 , 4

D) Espacio Muestral



= 6

Regla de Laplace =

Casos favorables 

= 6 4



= 66,6 %



=

0,666… F) Respuesta Al lanzar un dado y obtener Nº



4 ES más factible GANAR que perder

EJEMPLO Nº2 Al sacar una carta de un NAIPE INGLÉS calcular la probabilidad de NO SACAR MONO EXPERIMENTO ALEATORIO Sacar una carta EVENTO O SUCESO Que la carta sacada sea NO MONO CASOS FAVORABLES 52 – 12 = 40 cartas

ESPACIO MUESTRAL



= 52 cartas

118

Regla de Laplace =

40 52 : : 4 4 = = 0,769 = 76,9 %

RESPUESTA Al sacar una carta de un naipe inglés que no sea mono Es más probable GANAR que perder

EJEMPLO Nº3 1) EXPERIMENTO ALEATOTORIO Sacar una carta de un naipe español 2) SUCESO O EVENTO Que la carta sacada sea menor o igual que 4 3) CASOS FABORABLES 4



4 = 16 casos faborables

4) ESPACIO MUESTRAL



= 40 cartas 5) REGLA DE LAPLACE =

16 40 : : 8 8 = 2 5 = 0,4 = 40 %

6) RESPUESTA Al sacar una carta de un naipe español y que sea

Menor o igual que 4 ES MÁS PROBABLE PERDER

QUE ganar ( 40 %)

119

Ejemplo Nº4 Se saca una ficha de un dominó. Calcular la probabilidad de sacar UN DIVISOR DE 24, al sumar sus pintas D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } ¿Porqué para mi problema no se considera el 24?

120

1) EXPERIMENTO ALEATORIO : Sacar una ficha del dominó 2) SUCESO O EVENTO : A: Que la ficha sacada sea un Divisor de 24 3) CASOS FABORABLES : 16 SON (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (6,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,5) (2,2) (2,4) (2,6) (3,3) (3,5) (4,4) (6,6) 4) ESPACIO MUESTRAL : 28 Fichas REGLA DE LAPLACE

= P(A)

: :

4 4 = 4 7



= 0,571

57,1 %

6) RESPUESTA : Al sacar una f icha del dominó y que se obtenga un divisor de 24 , es más probable ganar que perder ( 57,1 % )

PROBABILIDAD DE SUCESOS INDEPENDIENTES 121

Dos sucesos A y B definidos en los espacios muestrales Son INDEPENDIENTES si,



1 y P (A y B ) = P(A)



P(B) P(A



B) = P(A)



P(B) = P(A)



P(B)



2 respectivamente EJEMPLO.- Una caja A contiene 6 artículos de los cuales 2 son DEFECTUOSOS , y una caja B contiene 5 artículos , de los cuales 3 son DEFECTUOSOS. Al sacar un artículo de cada caja ¿Cuál es la probabilidad de que ambos artículos sean DEFECTUOSOS SOLUCIÓN.- En este caso los sucesos son INDEPENDIENTES

puesto que la extracción De una de las cajas NO AFECTA lo que ocurre en la extracción de la otra caja

Luego P(D y D ) = P(D ) Luego P(D y D ) = 1/3 A

 

3/5 = 1/5 = 0,2 = 20%

122

PROBABILIDAD DE SUCESOS

DEPENDIENTES O CONDICIONADOS

Dos sucesos A y B definidos en el espacio muestral



, son DEPENDIENTES O CONDICIONADOS si la ocurrencia de uno de ellos

AFECTA

la probabilidad de ocurrencia del otro LUEGO P(A y B) = P(A)



P(B/A) Donde P(B/A) es la probabilidad de B una vez ocurrido A La probabilidad de que estos dos sucesos ocurran En este orden es igual al producto de los sucesos Ejemplo diapositiva 123

EJEMPLO DE PROBABILIDADES DE SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONADOA

Un curso tiene 12 niños y 4 niñas . Si se escogen al azar dos estudiantes Para que representen al curso , ¿Cuál es la probabilidad de que los dos Sean niños?

SOLUCIÓN.- Sean los sucesos A) Elegir un niño en la 1ª instancia o elección

B) Elegir un niño en la 2ª instancia o elección

Sea P(N) : La probabilidad de elegir sólo NIÑOS

123 P(A) =



P(B/A) =



15

Para la 2ª selección queda UN NIÑO MENOS y el total Se reduce a 15 P(N) = 12/16



11/15 = 132/240 = 11/20 = 0,55 = 55%

PROBABILIDAD DE SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

124

EJEMPLO DIAPOSITIVA 125

EJEMPLO.- DE SUCESO MUTUAMENTE EXCLUYENTE

125

La Sra María tiene 9 canarios AMARILLOS , 4 BLANCOS y 2 CELESTES. Si se le escapa un canario ¿Cuál es la probabilidad de que halla sido BLANCO o CELESTE?

SOLUCIÓN.- Sean los sucesos : A : Se ha escapado un CANARIO AMARILLO B : Se ha escapado un CANARIO BLANCO C : Se ha escapado un CANARIO CELESTE Luego las probabilidades son : P(A) = 9/15 ; P(B) = 4/15 ; P(C) = 2/15 Luego la probabilidad de BLANCO o CELESTE es; P(B o C) = P(B) + P(C) = 4/15 + 2/15 = 6/15 = 3/5 = 0,4 = 40%

  





e e e

  



  



 





11



1,61803398… Involucrado en Proporciones, llamado el Nº de ORO

126

A lo largo de tu enseñanza has estudiado Distintos conjuntos . Por ejemplo El de los números naturales (



) , el de los números enteros (



) y el de los números Racionales ( Q ) En este nivel estudiarás el conjunto de los números IRRACIONALES (



) , con los que completarás el estudio de los números REALES (



) , que corresponden a la UNIÓN entre los números racionales e irracionales e





MENÚ DE INICIO

¿Qué aprenderás?

¿Para que?

Números Reales

Resolver problemas que involucran realizar operaciones Y aplicar propiedades de los números reales

127

Raíces Relacionar la raiz enésima con potencias de exponente Racional y demostrar algunas propiedades Logaritmos Aplicar la definición y propiedades de los logaritmos en la Resolución de problemas y relacionarlos con potencias y raíces

128

El conjunto de los Nºs racionales ( Q ) Es aquel cuyos elementos son números que se pueden escribir de la forma a/b con a , b

   ,  

 

Es aquel formado por todos los Números RACIONALES y todos los IRRACIONALES Es decir



= Q

 

A este conjunto pertenecen todos los Nºs naturales todos los Nºs enteros , las fracciones , los Nºs decimales finitos y los Nºs decimales infinitos periódicos y semiperiódicos





El conjunto de los números irracionales ( Escritos como un Nº racional Por ejemplo

 

) es aquel Cuyos elementos son números que no pueden ser = 3,1415… e = 2,7182… y todas las raíces que no son exactas



Q

ACTIVIDAD Nº1 NUMEROS REALES Clasifica los siguientes números reales entre racionales e irracionales . Para ello ,escribe en la casilla racional o irracional según corresponda a.-

 

e.-



b. 2,053245648 c. 54,121122112221… d.-



+ 3 f.- (2





2 g.-





3 129 1. 5 +



4 +

 

49 2. 3.- (



- 3 ) 2 4.-

  

ACTIVIDAD Nº2 Determina si cada caso corresponde a un número racional e irracional A.-) El cuadrado de 4 B.-) El cubo de

 

C.-) La raíz cuadrada de 4 D.-) La raíz cuadrada de 5 E.-) El área de un cuadrado de lado 6 cm F.-) El lado de un cuadrado de área 6 cm2 G.-) El perímetro de una circunferencia de radio 12 cm AYUDA H.-) El radio de una circunferencia de área 4



Indice de La raíz Cuando no se Indica es 2  Cantidad 

= b

Valor de la raíz

2) m

  a

n =

n

cm 2

130

ACTIVIDAD Nº3 Resuelve el siguiente problema

Si  ADB =  CBD =  DGE =  EGF =  GDA = 90º AD = BD = DG = 1 cm BC = EG = 2 cm y FG = 3 cm, calcula el PERÍMETRO DEL HEPTÁGONO

ABCDEFG

A B 1 1 D 1 G 3

F

2 2

131

C E a) Si usaras la calculadora ¿Cuál sería el PERÍMETRO del HEPTÁGONO aproximadamente b) ¿El problema planteado se enmarca en el ámbito de los números RACIONALES?

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

132

Algunas propiedades de los números reales son las siguientes Nº1) LA CONMUTATIVIDAD para la adición y multiplicación

Si a,b,c   ; a+b = b+a ; a  b = b  a

Nº2) LA ASOCIATIVIDAD para la adición y multiplicación a + (b+c) = (a+b) + c ; a



c) = (a



c Nº3) LA DISTRIBUTIVIDAD para la multiplicación respecto a la adición a



( b + c ) = a



b + a



c Nº4) El NEUTRO ADITIVO de cualquier Nº real es el cero , mientras que el NEUTRO MULTIPLICATIVO es el uno NEUTRO ADITIVO : a + 0 = 0 + a = a ; NEUTRO MULTIPLICATIVO; a



1 = a Nº5) El INVERSO ADITIVO de cualquier número real “ a “ distinto de cero es “ – a “ , mientras que su INVERSO MULTIPLICATIVO 1/a . El inverso multiplicativo te INVIERTE la expreción es INVERSO ADITIVO : a + (-a) = 0 INVERSO MULTIPLICATIVO : a



1/a = 1 con a



133

EJERCICIO, APLICANDO PROPIEDADES EN LOS NÚMEROS REALES



3

¿Qué propiedad se aplicó en cada paso de la resolución del siguiente cálculo? +





+ AYUDA

 

3

-

 

3 = = =

 

=

  (

7 7 3

3 + + 3 7 + 3 ( (



5 2 0



)



+ 3



5 (



+



(



3



3



) +



3 5



) + 3



5 -

  

3



3 ) )

Se aplicó ASOCIATIVIDAD e INVERSO ADITIVO Y ELEMENTO NEUTRO PARA LA SUMA

ECUACIONES APLICANDO NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALE

134

RESOLVER LA SIG. ECUACIÓN Y ENCUENTRA UN VALOR PARA X TRUNCANDO LOS RACIONALES E IRRACIONALES CON UN SOLO DECIMAL



21



_ 1 7



21

 

+ _

 

1 7 _

 

3



153



7



= = = 21,85714 = x 3 x x



_



+ x x

 

+



_ 3

 Aplicando la propiedad asociativa  Truncando a un decimal

RECUERDE.-

TEAS, significa

TALLER DE EVALUACIÓN DE

APRENDIZAJE

PARA EL

SIMCE TEAS Nº1 Resolver en el cuaderno las siguientes ECUACIONES de primer grado con una incógnita . Para ello , ANALIZA El ejemplo a) 2 + x -

  

7 = 2 -







3 + 5 + y = 12 – 2





c) 1,3

-

- 4



d) X -



= 3 -





e) 2,6 – 1/7 – z = 3-



f) 2



- 3/5 x = 4(





) + x AYUDA Una PULGADA es una medida inglesa equivalente a 25,4 mm es decir 2,54 cm . Es frecuentemente usada en las ruedas de bicicletas , u otros vehículos , haciendo referencia a la medida de su diámetro Por Ejemplo , si una rueda es de ARO 20” Significa que su diámetro mide 20 pulgadas (20”), esto es Unos 50,8 cm . También es usada en las pantallas de los TV haciendo referencia a su DIAGONAL

136 TEAS Nº2

a) Si una bicicleta tiene ruedas aro 12 , ¿Cuál es la distancia que recorre al dar una vuelta completa?

( en cm ) b) Calcula la medida en mm de la diagonal de la tapa de un libro cuyo largo mide 16 cm y su ancho 15 cm c) Si un televisor (TV) tiene una pantalla de 7”, ¿Cuál es la medida (en pulgadas de su largo si su ancho mide 8,5 cm?

¿Pudistes obtener medidas exactas? FUNDAMENTA AYUDA AYUDA La distancia que recorre una rueda Al dar una vuelta completa es equivalente al PERÍMETRO (P = 2



r) de la circunferencia que la representa cat hip cat cat 2

cat 2 = hip 2

137

APROXIMAR un Nº irracional consiste en encontrar un VALOR CERCANO a dicho Nº Cuando el valor encontrado es MAYOR que el original se dice que se aproximó por EXCESO , mientras que si el valor es MENOR que el original se dice que se aproximó al original por DEFECTO REDONDEAR : consiste en encontrar la mejor aproximación del Nº original ya sea por exceso o por defecto , según la cantidad de decimales a las que se quera redondear OBSERVACIÓN .- aproximación de





, e,

 

  

y por REDONDEO , considerando 4 decimales por DEFECTO, por EXCESO AYUDA APROXIMACIÓN Defecto Exceso Redondeo



3,1415 3,1416 3,1416



1,618 1,6181 1,618

e

2,7182 2,7183 2,7183

 

1,4142 1,4143 1,4142



3

 

1,732 1,7321 1,7321 3,1622 3,1623 3,1623



= 3,14159265..



= 1,61803398..

     

10 = 3,1622776..

TEAS Nº3 a)

 

6 = 2,449489743…considerando 5 decimales Por defecto---------- por exceso--------- por redondeo b)

 

8 = 2,828427125… considerando 4 decimales Por defecto ----------- por exceso ------------ por redondeo RESUELVE El siguiente problema Un estudiante resuelve la ecuacion 5 + x = 3 -



+ 2 y quiere Aproximar el valor de la incógnita considerando 4 decimales a) ¿Qué valor obtiene si aproxima por DEFECTO ?, ¿por EXCESO ? ¿y por REDONDEO ?

b) Explica que procedimiento usaste para resolver el problema a)

 

12 c)

 

e) 2

 

2 f ) 3

 

138  

c) 1,09



AYUDA = =

 



139 ORDEN Y UBICACIÒN DE NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA Para comparar números reales y en particular números irracionales estos se pueden representar en forma números racionales decimal tal como se hace en los

EJEMPLO.-



Ordena , de “menor a mayor” , los siguientes números



6 2,45 5/2 2,42 Aproximadas de

 

6 = 2,449… y 5/2 = 2,5.Luego, el orden pedido es; 2,42

  



2,45



5/2 Un procedimiento alternativo, y muy útil si hay raíces cuadradas , se Fundamenta al considerar que mientras mayor sea un número Mayor es su expresión

al cuadrado

Ejemplo en DIAPOSITIVA 140

EJEMPLO.-

140

Ordena , de menor a mayor , los siguientes números 2

 

5 4,3

 

19 3

 

Al elevar al cuadrado se obtienen las siguientes expresiones (2

 

2 5 ) = 2

  



  

5 = 2



  

5 = 4



5 = 20 (



   

       

   

2 = 3



  

   

2 = 18 Por lo tanto , se pueden ordenar fácilmente los cuadrados y luego Aplicar el principio mencionado 18



18,49







4,3

    

20 2

 

AYUDA

1) ( 2) a ( 3) (a  2  4) 

Ejemplo ¿ (-

 



Como 6,25

   

6)(-

 

6) = 6 ; 2 6 , se concluye que -

 

ambos Nºs al cuadrado 6 efectivamente es mayor que – 2,5





 2



 

m AYUDA

  b b 

m

En el caso de Nºs Negativos , el cuadra do mayor correspon de al Nº menor ,por

141

En general para ubicar números racionales en la recta numérica se siguen los siguientes pasos 1) Se escribe el Nº en su representación

fraccionaria

2) Se divide cada unidad de la recta numérica en tantas partes como indique el Denominador 3) Desde el cero, se cuentan tantas partes como indique el numerador para ubicar el número

EJEMPLO.-

  =  9



3 2



1 4 1,3



2 9



CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE NÚMEROS IRRACIONALES

142

Una de las construcciones geométricas es

LA ESPIRAL DE TEODORO DE CIRENE (s. VI a. C)

A continuación se presentan los pasos para construirla

1º Se construye un triángulo isósceles rectángulo , con cateto de medida 1 E hipotenusa (h) de medida 2 2 2

 

2, ya que 2

  1 

 1

2º Se utiliza la hipotenusa del triángulo anterior y otro cateto de medida 1, Para construir un nuevo triángulo rectángulo . La hipotenusa de este nuevo Triángulo mide h = (

    

 

2 1 1 1

 

5 ,

 

6 ,

   

8 ,

 

    



1 ESPIRAL DE 1 TEODORO DE 1



 

143

   

 

12 1

Usando la espiral de Teodoro Calcular las siguientes raíces

De calculadora;

           

1 CIRENE 1 1

TEAS Nº4

Utilizando regla y compás, realiza lo siguiente

1.-

¿Qué número irracional se está construyendo en el siguiente esquema?

Termina la constucción y calcula la raíz con dos números decimales



 



144

   

1 -1 -1 1

TEAS Nº5 Representa en una recta numérica los siguientes números mediante construcción geométrica 145 1)







3 Y





  

3 3)









  



Desarrollo de 2

   

=

  



7) OP = h = OC = 6,1 P AB =

  



  

5 -





AYUDA O 1

 

 







 

   

5 B

 

    8 =    

4 2









  



= 2



1,4 = 2,8



   

6 C 6,1 X

EJERCICIOS Y PROBLEMAS GEOMÉTRICOS QUE USAN RAÍCES Y NÚMEROS IRRACIONALES

146

A continuación se presentan algunos problemas geométricos . Para cada uno de ellos , Determina si hay números irracionales involucrados en su solución y, en caso afirmativo Justifica tu respuesta TEAS Nº6

1) Calcular el área de un triángulo rectángulo de catetos 2,8 cm y 3,4 cm 2) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 7 y 3 cm

3) Calcular el volumen de un cubo cuya arista mide 3/7 m 4) Calcular la arista de un cubo cuyo volumen es de 34 cm3 5) El lado del cuadrado ABCD de la figura mide 2 cm y Se debe determinar el área del cuadrado

AEBF A F E C B

DEMOSTRACIÓN DE LA IRRACIONALIDAD DE ALGUNAS RAÍCES

147 EJEMPLO Nº1 Aplicando el método de reducción al absurdo Un Nº irracional demuestre que



2 es

1.- Sea  Por otra parte  2 un número racional de la forma p/q 2.- Luego  2   2 2 q 2



2 = = = q p p 2 q p 2 2

q (Elevamos al cuadrado)

(Luego p es de la forma múltiplo de 2)  )

(Elevamos al cuadrado)

=

4 q   n 2 2

=

4 n 2 q 2

=

2 n 2 p q 

=

2 2  n m q

=

2 m (   )

148 Y RACIONALES

REFORZAR NÚMEROS ENTEROS

CALCULAR

Nº1) -3 + 7 – 2 – 5 +12 = - 10 + 19 = +9 Nº2) -4(5-9)+2(6-4) = -20 + 36 + 12 – 8 = - 28 + 48 = +20 Nº3) = -5(-9+4-1) +2(5-7) -9+6 = +45 -20 +5 +10 -14 -3 = +60 -37 = +23 Nº4) = 7-10 +5-8(13-16)+6(-2-4+9) -12 +15 – 6 -4( 5 -7) = +2 – 104 + 128 – 12 – 24 + 54 – 3 – 20 + 28 = +212-163 = +49

Construcción del triángulo de PASCAL con 2 lateral 2 2 2 10 2 8 2 6 20 2 2 4 6 12 20 2 8 2 10 2 2 2 4 8 16 32 64

= 2 = 2

1 2

= 2 = 2

3 4

= 2 = 2

5 6

149

Construcción del triángulo de PASCAL con 3 lateral 3 3 3 3 3 3 15 12 6 9 30 18 3 9 3 30 12 3 15 3 3 3



2 2 2 2 0 2 2 1 2 3 4 5

MAQUINA DE CALCULO PROCESANDO ENTRA

X = 6 150

F(X) = Función en X ELABORACION Para x = 6 F(6) = 6 + 4



6 – 3 = 36 + 24 – 3 F(6) = 60 – 3 = 57 57 57 SALE

EJERCICIOS DE ENTEROS APLICANDO OPERACIONES MÚLTIPLES

Nº1 151

4 + 2



-3 – 5 + 12 : -6 +10 = 4 + - 6 – 5 + - 2 +10 = 14 – 13 = 1

Nº2 - 8 (24 : - 3 + 5



- 6 + 8 ) – 50/ - 5 + 4



-5



-2

= -8 ( - 8 – 30 + 8) + 10 + 40 = - 8 ( - 38 + 8 ) + 5 0 = - 8 ( - 30 ) + 50 = + 240 + 50 = 290

Nº3 =

- + 6 : ( - + 2

  

6 : (





+3)



- 3 ) + - 15 ( + - 8 15 (



7 )

  

=



6 : ( - 6 ) – 15 ( - 15 ) – 15 = + 1 + 225 – 15 = 226 – 15 = 211

Nº4

3 -

 

144 - 7 + 2

   



  

12 + ( 2

 

=

3 – 12 – 7 + 10 – 15 – 12 – 12 + 10 : 10

=

13 – 58 + 1 = 14 – 58 = 44

Nº5 3 – 2 – ( 4













= 81 – 16 – 8 : - 2 + 25 + 12 : - 6 – 18 – 9 – (5 – 9 ): - 2 = 65+4 + 25 – 2 – 27 – ( - 4 ) : - 2 =94 – 29 – 2 = 94 – 31

= 63

152

Nº6 Completar tabla a

3 - 6 - 8 12 0

b

4 0 - 5 - 7 10

a + b

FAMILIA DE NÚMEROS 2 4 = 2 8 = 2 2 3 16 = 2 4 32 = 2 5 64 = 2 6 128 = 2 7 256 = 2 8

a – b

- 1 -3

- a -2b



2 = 1/2 = 0,5 = 50% 2 = 1/8 = 0,125 = 12,5%

153

ESQUEMAS OPERACIONALES

Encuentra la solución del siguiente ESQUEMA OPERACIONAL (E.O.) - 4 10

+

 

+



+ MA ( 3,15) + MG(9,36)

-

+3!

+

- 12

2 !





154

CONCEPTOS BÁSICOS FRACCIONES 155

Nº1) ¿Qué fracción se ha representado en cada una de estas figuras?

1) Representa 7/5 con círculos 2) Representa 0,75 en un cuadrado

Nº2 CALCULA EN LO POSIBLE MENTALMENTE A) 2/3 de 18 B) 4/7 de 35 TEAS Nº7 18 : 3



2 = 12 35 : 7



4 = 20 1) 3/4 de 400 2) 3/4 de 1.000

3) 2/7 de 14 4) 5/8 de 800 TEAS Nº8 Calcula 5) 5/6 de 60 6) 3/5 de 25 7) 1/4 de 20 8) 5/6 de 42 1) 2/7 de 735 % 2) 5/6 de 498 litros 3) 5/13 de 104 kg 4) 3/8 de $ 1.160

5) 7/11 de 1.650 seg 6) 4/9 de 153 m

156

Escribe la fracción correspondiente a los siguientes puntos



- 3

 

- 2

 

- 1



 



157

TEAS Nº9 Representa en la recta numérica los siguientes puntos 1/2 , - 3/4 , 7/3 , 11/4, 7/2, 14/3

EJERCICIOS NUMÉRICOS MODERNOS – APLICA AL NÚMERO VERIFICADOR 158 DESCUBRE O ENCUENTRA EL NÚMERO VERIFICADOR DEL SIGUIENTE NÚMERO DE UN CARNET DE IDENTIDAD

17.582.717

2 1 17.582.717 = 7



2 = 14 3 = 3 4 = 28 5 = 10 6 = 48 7 = 35 2 = 14 3 = 3 155 : 11 = 14 1 Luego el número verificador es k 17.420.949 = 9



1 2



2 = 18 3 = 12 4 = 36 5 = 0 6 = 12 7 = 28 2 = 14 3 = 3 123 : 11 = 11 2

Luego 11 – 1 = 10

Pero 10 no puede ser por tener dos dígitos 1 y 0. Por lo tanto colocamos k

Luego 11 – 2 = 9

Luego el Nº Verificador es 9 Carnet : 17.420.949 - 9 Carnet: 17.582.717 - k

HOJA DE CALENDARIO

COMPLETAR HOJA DE CALENDARIO, CON LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS - 10 PRIMER DÍA ES 6 Y CAE DIA MARTES . ADEMÁS ¿Cuál es la suma de los días de la 3ª semana?

+ 4

159

DESARROLLO : L M Mi J V S D 6 - 4 - 14 - 24 - 34 - 44 20 10 0 - 10 - 20 - 30 - 40 24 14 4 - 6 - 16 - 26 - 36 28 18 8 - 2 - 12 - 22 - 32 32 22 12 Luego la suma de los días de la 3ª SEMANA SON : 24 + 14 + 4 + -6 + -16 + -26 + -36 = 42 + -84 = 42 La suma de los días JUEVES será : - 14 + -10 + -6 + -2 = - 32

NÚMEROS APLICADOS A PARENTESIS MÚLTIPLES

Se eliminan los paréntesis de ADENTRO HACIA EL EXTERIOR

1

-- 7 + [ - 6 – 5 + 9 – 8 – 2 – 5 + 3 + 8 – 36 + 20 ] + 2 ( - 2 ) -- 7 + [ - 62 + 36] – 4 -- 7 + [ - 26 ] – 4 -- 7 – 26 – 4 =

- 37

2

-3 [- 3 – 3 {- 3 ( 7+ 4 – 8 ) + 2 – 5 + 4 } + 6 – 8 ] -- 3 [- 3 – 3 { - 3 ( + 3 ) + 1 } – 2 ] -- 3 [ - 3 – 3 { - 9 + 1 } – 2 ] -- 3 [ - 3 – 3 { - 8 } – 2 ] -- 3 [ - 3 + 24 – 2 ] -- 3 [ + 19 ] =

- 57

NÚMEROS APLICADOS A FACTORIALES ( n ! ) , n

 n

DEFINICIÓN : n ! = 1



2 

3 

4 

5     

n

Familia de números que aplican a FACTORIALES 0 ! = 1 1 ! = 1 2 ! = 1



3 ! = 1



4 ! = 1



5 ! = 1



2 = 2 2 2

  

2 3 = 6 3



4 = 4



24 5 = 120 APLICACIÓN 2 2 2 + 24( - 594) 4 – 14.256

- 14.252

161 NÚMEROS APLICADOS A

SUMATORIAS



Se lee sigma Base superior



Base inferior La SUMATORIA es una suma abreviada de términos en forma consecutiva y ascendente. Empieza en la Base INFERIOR y termina en la base SUPERIOR

162

APLICACIÓN Desarrollo Desarrollar y calcular 5



I = 2 5



I = 2

i =

2 + 3 + 4 + 5 = 14

i =

APLICACION Desarrollar y calcular 3



I = 1

3i – 2 =



I = 1

3i – 2 =

3(1) – 2 + 3(2) – 2 + 3(3) – 2

=

3 – 2 + 6 – 2 + 9 – 2 = + 18 – 6 = + 12

NÚMEROS QUE APLICAN FACTORIALES Y SUMATORIAS EN “BLOQUE”

163

1 CALCULAR 4

5 

i= 1

=

5 (+6) + 28 = 30 + 28

= 58

Bloque A Bloque B

A=



(i – 3 ) 2

= =

(- 2 ) + (- 1 ) + (0) + ( 1 ) 2

=

4 + 1 + 0 + 1 = + 6 B = 5! / 4! + 4! – 0! = 1



4 4



5 + 24 – 1 = 5 + 23 = + 28

CONCEPTOS ARITMÉTICOS BÁSICOS

Nº1 Concepto de promedio Nº2 Concepto de Media Aritmética Nº3 Concepto de Media Geométrica

CONCEPTO DE PROMEDIO Se suman los números y se divide por el Nº de ellos

1

Calcular el promedio de – 7 , +5 , - 4 , +8 , +9 , - 13 , +3 , - 6 Prom = 1 - 7 + 5 – 4 + 8 + 9 – 13 + 3 – 6 8

=

- 30 + 25 8

=

- 5 8

=

- 5 : 8 = - 0,625 CONCEPTO DE MEDIA ARITMÉTICA 2 Calcular la M.A. entre – 15 y 23 Se suman los dos números y se divide por 2 M.A. = - 15 + 23 2 + 8 2

=

CONCEPTO DE MEDIA GEOMÉTRICA .- M.G.

165

3

Calcular la M.G. entre 8 y 2 M.G.(8 , 2) =



8 

2 

16 =

4 TAES Dados los números – 12 y – 4 . Encuentre Prom , (M.A.) y (M.G.) TAES ; Las notas de un alumno en el primer semestre de la Asignatura de Matemática fueron 3,6 5,0 4,2 6,6 2,8 4.8 3,0 ENCUENTRE la nota que se coloca en la libreta. CALCULE la M.A. entre las asignaturas EXTREMAS. CALCULE la M.G. entre Las notas 5,0 y 3,0

2ª PRUEBA PARCIAL-MARZO-REFORZAMIENTO NÚMEROS

166

Desarrollar indicando los objetivos de cada pregunta Nº1.- CALCULA 5 ! – 2

    

4 6 Nº2.- Desarrollar y calcular



i=2

3i – 2

NOMBRE CURSO Nº5.- Calcular 3,14 al cuadrado Nº6.- -3 ( 18 : -6 +7) +2 ( -6 +5 – 10) Nº3. 454.879



5.032

Nº4.- Dada la siguiente secuencia de figuras DOS Puntos

   

Fig1

   

N º7.- Calcular 128 : 2 + 64 – 2 - 32 + 2 - 4

   

Fig2

         

Fig3

   

4 A) ¿Cuántas esferas se necesitan para construir la figura 18?

B) ¿Cuál es el patrón numérico de los palillos?

GUÍA PARA LA PRUEBA MENSUAL. MARZO INDICAR OBJETIVOS Nº1.- CALCULAR a) 67.896



6.437 b) 3.009



5.876

167 Nº1

Nº2.- CALCULAR a) 3,14



b) 4

  

0,75 b) 4



- 5 ) + 2

   

3,14



5 !

 

5 1,618 Nº4.- DESARROLLAR Y CALCULAR - 6

 

i = 2

  

(4i – 2 )



Nº6. Encuentre el número Verificador de 18.764.937 - ??

Nº7. Entre Encuentre la M.A.

1) 19 y 43 2) 5 ! y 4 3 Nº5.- DADA LA SIGUIENTE SECUENCIA DE FIGURAS

          

Fig Nº1

 

Fig Nº2

  

Fig Nº3

 

Nº8. Encuentre la M.G. entre 1) 6 y 3 2) 100 y 81 a)¿ Cuántas esferas se necesitan para la fig 45? ¿Cuál es el patrón numérico de los palillos?

b) ¿Cuántos palillos necesito para construir la Fig. 28?¿Cuál es el patrón numérico de las esferas?

Nº9 Encuentra el valor de ;

Nº2

a) 3,14 : 4 b) (3,14) c) 3,14 : 0,8 d) 0,06 : 6 e) 1,11 : 6 f) 2,74 : 7

168

Nº10 Encuentra el Area y perímetro de las siguientes Fig.

Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4 Fig 5 Trapecio isósceles 0,62 cm 0,4 3,08 cm 0,8 cm 14,8 mm 15,6 mm Triángulo equilátero Fig 6 Diámetro = 2,8 cm 18,4 mm 2,92 3 1,86 Cuadrado Calcular la Hip.del

Siguiente triángulo rectángulo 22,6 mm- 4,4 cm 3,4 cm 3,14 Nº11.- Calcular la diagonal de un cuadrado de lado a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm f) 6 cm g) 7 cm h) 12 cm Nº12.- Conseguir las raíces cuadradas con 5 decimales a)

   

3 c)

  

