Transcript Veza gravitacionog polja i geometrije

Maturski rad:
Mentor:
Ljubiša Nešić
Učenik:
Petra Laketa




Može se reći da nema načina da se osobine prostora i vremena
odrede samo matematičkim razmišljanjem, jer taj postupak ne
daje jednoznačan rezultat. Pitanje o istinitosti određenih
geometrijskih iskaza svodi se na pitanje o ''istinitosti'' aksioma.
U fizici prostor je onakav kakav se vidi u eksperimentima. Ako se
osnovnim pojmovima geometrije prida određen fizički smisao,
ako se oni povežu sa određenim fizičkim objektima (npr. prava =
putanja svetlosnog zraka), onda pitanje o ''istinitosti''
geometrijskih iskaza postaju pitanja fizike, tj. pitanja o tačnosti
veze između odgovarajućih fizičkih objekata.
Jedno od najpoznatijih dela u istoriji matematike je Euklidovo
delo ‘‘Elementi’’. On je prvi objedinio i sistematizovao
dotadašnja znanja iz geometrije. Preko 2000 godina ljudi su
čvrsto verovali u Euklidov prostor jer ga je svakodnevno iskustvo
potvrđivalo. Međutim, sa nastankom specijalne i opšte teorije
relativnosti situacija se promenila.
Peti postulat – Plejferov ekvivalent – geometrije Lobačevskog
i Rimana

Istorijski prva fizička teorija bila je Njutnova mehanika. U njenoj
osnnovi leže predstave o apsolutnom prostoru i apsolutnom
vremenu.
-prostorni interval:
-vremenski interval:




Njutnovi zakoni:
1. Zakon inercije
2. Zakon delovanja sile
3. Zakon akcije i reakcije
Prvi i drugi važe samo za IRS – apsolutni prostor
Galilejev princip relativnosti:
Zakoni mehanike su istog oblika u svim inercijalnim
sistemima reference
Galilejeve transformacije:
Klasični zakon slaganja brzina:

Krajem XIX veka Njutnova mehanika i Maksvelove
jednačine su, kako je izgledalo, bili dovoljno čvrsto
postavljeni. Maksvelove jednačine su predviđale da
se svetlost u vakuumu kreće brzinom c, ali ne
govore ništa o tome u odnosu na koji sistem
reference. Kako za mehaničke talase postoji
sredina koja ih prenosi, smatralo se da to važi i za
svetlost. Ta sredina nazvana je etar. Za
posmatrača koji miruje u odnosu na etar, brzina
svetlosti je c, dok je za onog koji se kreće prema
(od) svetlosnom izvoru brzinom u u odnosu na etar
jednaka:
c’=c±u
Etar je na neki način realizacija Njutnovog
apsolutnog prostora.

Do pred kraj XIX veka merna aparatura kojom su
raspolagale laboratorije nije bila dovoljno precizna
da bi mogla da izmeri malu razliku između c i c’, a i
metodologija koja se zasnivala na kretanju
aparature u laboratoriji nije puno obećavala.
Međutim, 1880. se došlo na ideju da se iskoristi
kretanje Zemlje pri rotaciji oko Sunca , tj. da se za
nju veže pokretni referentni sistem. Očekivalo se
da odstupanja od brzine svetlosti mogu da se
registruju prilikom merenja kada se Zemlja kreće
prema etru ili od njega. Merenja su vršena
Majkelsonovim interferometrom, koji je imao
mogućnosti da izvrši merenja potrebne tačnostii,
međutim, svi pokušaji su bili neuspešni.

Izlazak iz novonastalih teškoća otklonio je
Albert Ajnštajn, odbacujući postojanje etra i
klasičan zakon slaganja brzina. Kao rezultat
toga, nastala je 1905. STR, koja se zasniva na
dva postulata:
1.
2.

Zakoni fizike su istog oblika u svim IRS.
Brzina svetlosti u vakuumu, odnosno maksimalna
brzina prostiranja interakcije, ista je u svim IRS.
Lorencove transformacije
Dilatacija vremena:
Kontrakcija dužine:
Međutim, ipak postoji veličina koja je invarijantna u odnosu na Lorencove
transformacije. S obzirom na to da ove transformacije ''mešaju'' prostorne i
vremenske koordinate, prirodno je govoriti o četvorodimenzionom prostorvremenu, a ne o prostoru i vremenu posebno. Koordinate tačke definišemo na
sledeći način:
Pokazuje se da tražena invarijantna veličina ds ima oblik:
i naziva se prostorno-vremenski interval.
Ovo se može zapisati i u drugačijem obliku:
(*)
gde je sa dxµ označen četvorodimenzioni vektor sa komponentama (dx0, dx1, dx2,
dx3). Pritom koristimo Ajnštajnovu konvenciju o sumiranju: Po ponovljenim
indeksima u nekom izrazu koji se jednom javljaju kao donji, a drugi put kao gornji
podrazumeva se sumiranje. Ako se ponavljaju veličine sa grčkim indeksima α, β,...
onda oni poprimaju n vrednosti od 0 do n-1, a ako su latinični i, j,... uzimaju n-1
vrednosti, od 1 do n-1, gde je n dimenzija prostora (u našem slučaju ). Veličina ημν
naziva se metrika prostora ili metrički tenzor, čije komponente su zadate sledećom
dijagonalnom matricom:
Prostor u kojem važi jednačina (*) je četvorodimenzioni prostor Minkovskog
(M4). Geometrija STR je, znači, pseudoeuklidska. Pošto su svi metrički koeficijenti
u ovom slučaju konstantni, ovaj prostor je ravan. Dok je euklidska metrika pozitivno
definitina, tj. sve komponente metrike su pozitivne, metrika prostora Minkovkog je
indefinitna, tj. ima i pozitivne i negativne komponente. Kao posledica toga, rastojanje
dve tačke u M4 može biti nula i kad se ove dve tačke ne poklapaju. Ova razlika ne
menja bitno matematičku analizu prostora M4 u odnosu na odgovarajući euklidski
slučaj, ali ona onemogućava direktne predstave geometrijskih objekata, jer je naše
svakodnevno iskustvo vezano za euklidsku geometriju.

STR ima dva velika nedostatka:
1. Razmatra samo inercijalne referentne sisteme.
2. Ne razmatra gravitaciju.

Jedan od problema sa gravitacijom u Njutnovoj teoriji je u
tome što ona zavisi samo od medjusobnog položaja tela, što
implicira da se ona prenosi trenutno, tj. beskonačno velikom
brzinom. Ovo je u suprotnosti sa postulatom STR da je
najveća poznata brzina brzina svetlosti u vakuumu c. To je
upućivalo na to da treba preformulisati teoriju gravitacije.
Ajnštajn je to uradio po uzoru na teoriju elektromagnetne
interakcije, uvodeći pretpostavku da se i gravitaciona
interakcija prenosi (posredstvom gravitaconog polja)
brzinom svetlosti.
Bilo je, dakle, potrebno uraditi dve stvari: uvesti gravitaciju u teoriju i proširiti
princip relativnosti sa inercijalnih na sve RS. Ajnštajn je problem rešio
uvođenjem dva principa:
1. Princip ekvivalencije (PE):
Referentni sistem koji apsolutno miruje ili se kreće konstantnom brzinom u
homogenom gravitacionom polju jačine g , i sistem reference, koji se kreće
konstantnim ubrzanjem a u odsustvu gravitacionog polja, su fizički
ekvivalentni, ako je g=-a .
''Prava'' gravitaciona polja (koja nisu homogena) se mogu razlikovati od
polja kojima je ekvivalentan neki neinercijalni RS po ponašanju na
beskonačnosti. ''Prava'' polja tamo iščezavaju, a ova druga ne. Ekvivalentnost
važi samo lokalno, u manjim delovima prostora i vremena, gde se ''pravo'' polje
može smatrati homogenim. Na drugi način iskazan, PE tvrdi da se pogodnim
izborom RS može lokalno kompenzovati dato gravitaciono polje.
2. Opšti princip relativnosti (OPR):
Svi fizički zakoni moraju biti formulisani tako da imaju isti oblik u
svim RS koji se proizvoljno kreću.
Ovo je uopštenje specijalnog principa relativnosti. Time je Ajnštajn
proširio postulat relativnosti na sisteme koji se proizvoljno kreću, čime je
ustvari, obuhvatio i gravitaciju i sve ostale vrste ubrzanih kretanja. Preme
tome, za opisivanje zakona prirode svi sistemi reference su potpuno
ravnopravni. Opšti princip relativnosti se može realizovati uz pomoć
opšteg principa kovarijantnosti:
Svi fizički zakoni se moraju zapisati u kovarijantnom obliku u odnosu
na proizvoljne transformacije koordinata.
Princip kovarijantnosti ustvari predstavlja matematičku formulaciju
opšteg principa relativnosti. Kovarijantnost je omogućena izražavanjem
fizičkih jednačina u tzv. tenzorskom obliku.
Uvedimo osnovne pojmove tenzorske analize.
U n-dimenzionoj mnogostrukosti transformacije koordinata
izražavaju se pomoću n jednačina
Neka je u sistemu reference S data funkcija = (x0,x1,...,xn-1) kojom
je opisana neka fizička veličina. Pretpostavimo da je u sistemu reference S' ta
ista fizička veličina opisana funkcijom '= '(x0,x1,...,xn-1). Ako je u svakoj tački
prostora
tj. pri transformaciji koordinata ova funkcija ostaje nepromenjena, onda se
ona naziva tenzor nultog reda, skalar ili invarijanta.
Po analogiji sa vektorima u 3-dimenzionom prostoru, u ndimenzionom Rimanovom prostoru n komponenata određuje vektor. Skup od
n veličina , koje se pri transformaciji koordinata transformišu po zakonu :
naziva se kontravarijantni vektor ili kontravarijantni tenzor prvog
reda.
S druge strane, skup od n veličina Uµ koje se transformišu prema
zakonu:
predstavlja kovarijantni vektor ili kovarijantni tenzor prvog reda.
Skup od n2 veličina (u n-dimenzionom prostoru) koje se
transformišu prema zakonu:
naziva se kontravarijantni tenzor drugog reda, dok n2 veličina koje se
transformišu prema zakonu:
određuju kovarijantni tenzor drugog reda.
Skup od n2 veličina koje se transformišu prema zakonu:
naziva se mešoviti tenzor drugog reda.


Slično se, neposrednom generalizacijom mogu uvesti i
tenzori višeg ranga.
Na osnovu zakona transformacije kontravarijantnog
(kovarijantnog) tenzora vidi se da su te transformacije
homogene i linearne u odnosu na same tenzore. Otuda
je jasno da ako su komponente tenzora u datoj tački u
datom sistemu reference jednake nuli, tada zbog
homogenosti i linearnosti transformacija sve
komponente tenzora u datoj tački ali u drugom sistemu
koordinata su takođe jednake nuli. Prema tome,
karakter nula tenzora nemoguće je izmeniti nikakvim
transformacijama koordinata. Dakle, tenzori su
definisani nezavisno od metrike prostora i stoga
se mogu iskoristiti za kovarijantni zapis jednačina koji
zahteva OTR.




Zbir dva tenzora definiše se kao skup suma odgovarajućih
elemenata ovih tenzora, čime se dobija tenzor istog ranga.
Spoljašnji proizvod tenzora: Uzmimo dva proizvoljna tenzora i
sastavimo proizvod njihovih komponenata:
Skup svih takvih proizvoda daje komponenete novog tenzora W.
Pri tome je rang tenzora W jednak zbiru rangova polaznih tenzora.
Tenzor dobijen na ovaj načina naziva se spoljašnji proizvod
tenzora U i V.
Kontrakcija tenzora: ako se izjednače jedan gornji i jedan donji
indeks mešovitog tenzora i izvrši sumiranje po tom indeksu, dobija
se tenzor čiji je rang za dva niži od polaznog. Ta operacija se naziva
kontrakcija tenzora.
Unutrašnji proizvod tenzora je operacija pri kojoj se prvo
sprovede spoljašnje množenje, a zatim izvrši kontrakcija.
Neka je nad nekom mnogostrukošću zadat sistem koordinata tako da
se tački posmatrane mnogostrukosti pridružuje n realnih brojeva
(x0,x1,...,xn-1)
gde su xα koordinate tačke. Ako se u takvom n-dimenzionom
prostoru definiše rastojanje ds između bilo koje dve infinitezimalno
bliske susedne tačke i , tzv. kvardatnom diferencijalnom formom
oblika:
(**)
onda kažemo da prostor poseduje metriku i nazivamo ga metričkim.
Funkcije gµν= gµν(xα) su neprekidne funkcije koordinata xα i ima ih n2. Skup
svih koeficijenata čini metrički ili fundamentalni tezor.
Mnogostrukost sa metričkom formom (**) u matematici se naziva
Rimanov prostor. On nalazi svoju veliku primenu u OTR.
Veličine gµν su simetrične, tj. važi gµν= gνµ
Zbog toga postoji n(n+1)/2 nezavisnih metričkih koeficijenata. Ovaj
tenzor u bilo kom sistemu koordinata potpuno je određen matricom:
Determinantu metričkog tenzora gµν označavamo sa g. Pokazuje se da je
veličina koja je invarijanta u odnosu na ma kakve transformacije kod
Rimanovog prostora
i naziva se element zapremine Rimanovog prostora. S obzirom na to da
je veličina u OTR negativna, češće se uzimaju odgovarajuće pozitivne
veličine -g . U slučaju euklidskog prostora i Dekartovih koordinata je g=1 ,
čime neposredno dobijamo generalizaciju uobičajenog izraza za element
zapremine.
Veličine koje se koriste da objasne promenu vektora pri paralelnom
prenosu su Kristofelovi simboli.
Kristofelov simbol prve vrste definisan je kao
Kristofelov simbol druge vrste se dobije tako što se izvrši unutrašnje
množenje sa metičkim tenzorom gγη:
Pri ovome važi relacija:
gde je δVµ promena vektora pri paralelnom prenosu. U opštem slučaju
Kristofelovi simboli prve i druge vrste nisu tenzori. Može da se pokaže da u
Euklidovom prostoru postoji bar jedan sistem koordinata u kome su svi
Kristofelovi simboli jednaki nuli, pa se u njemu vektor ne menja pri
paralelnom prenosu


Prilikom izračunavanja različitih veličina u OTR često
se koriste operacije diferenciranja i integraljenja. U
euklidskoj geometriji npr. operacija diferenciranja
vektora se definiše isto kao i za obične matematičke
funkcije-skalarne veličine. Međutim, u neeuklidskoj
geometriji procedura formiranja izvoda vektora je
znatno složenija. Naime, parcijalni izvod vektora i
tenzora po prostornim koordinatama sami po sebi ne
predstavljaju komponente tenzora. Ova činjenica , koju
je neophodno uračunati u tzv. zakrivljenom
(Rimanovom) prostoru, dovodi do ideje o
kovarijantnom diferenciranju.
Kovarijantni izvod po xσ mešovitog tenzora je

Neeuklidska geometrija, kao i euklidska, u potpunosti
je okarakterisana metričkim tenzorom. Međutim, osim
ovog tenzora postoji još nekoliko važnih tenzora koji se
koriste u neeuklidskoj geometriji, a time i u OTR. Jedna
od najvažnijih veličina posle metričkog tenzora je
svakako tenzor krivine ili, kako se u relativističkoj
fizici kaže, krivina.
U tački B se nalazi vektor a,
tangentan na luk AB. Pomerajući
taj vektor paralelno duž zatvorene
konture B-P-A-B lako se vidi da se
konačni i početni položaj vektora
razlikuju, pri čemu je u
posmatranom primeru a
ortogonalan na a’ (ugao između
vektora i velikog kruga se ne menja
tokom paralelnog pomeranja).
Razlog ovome je upravo krivina
prostora (u ovom slučaju površ
sfere).
Riman-Kristofelov tenzor određen je formulom:
Potreban i dovoljan uslov da bi metrika nekog
prostora bila ravna jeste da je Riman-Kristofelov tenzor
jednak nuli.
Zbog toga se ovaj tenzor naziva i tenzor krivine.Iz tenzora krivine
mogu se obrazovati dve interesantne veličine.
Kontrakciju Riman-Kristofelovog tenzora moguće izvršiti na
dva različita načina. Jedan od tih načina je kontrakcija gornjeg indeksa
u jednačini i donjeg prvog 1. Takva kontrakcija uvek dovodi do
tenzora koji je identički jednak nuli, usled specifičnih osobina simerije
Riman Kristofelovog tenzora. Međutim, ako se kontrakcija izvrši po
gornjem i poslednjem donjem indeksu dobija se:
Ova veličina se naziva Ričijev tenzor.
Unutrašnjim množenjem Ričijevog tenzora sa fundamentalnim
tenzorom dobija se invarijanta, u odnosu na koordinatne
transformacije, koja se naziva skalarna krivina ili invarijanta
krivine prostora
Drugi značajan tenzor koji se dobija od tenzora krivine je tzv.
Ajnštajnov tenzor. On se definiše na sledeći način
Važi tzv. Ajnštajnov identitet:
U okviru klasične Njutnove teorije gravitaciona interakcija se može
opisati samo jednom skalarnom funkcijom , koja se naziva
potencijal, i ona zadovoljava Poasonovu parcijalnu
diferencijalnu jednačinu drugog reda
gde je
Laplasov operator koji ima oblik
gustina mase koja je izvor gravitacionog polja, a univerzalna
gravitaciona konstanta. Poasonova jednačina, očtigledno, nije relativistički
invarijantna. Stoga je jasno sa je Njutnova teorija gravitacije suštinski
nerelativistička teorija i da je treba modifikovati u okviru relativističke
teorije gravitacije.
Prirodno je bilo zahtevati da se nova teorija
gravitacije, takođe, opisuje parcijalnim diferencijalnim
jednačinama drugog reda, koje u odgovarajućoj
aproksimaciji prelaze u Poasonovu jednačinu. Ulogu
relativističkog analogona njutnovskog potencijala treba
da preuzme metrički tenzor, koji sadrži deset
nezavisnih komponenata, tako da je za potpuni opis
gravitacionog polja neophodan sistem od deset
parcijalnih jednačina drugog reda. U tom smislu,
Ajnštajn je razvio ideju o povezanosti geometrije i
materijalnog sadržja prostora. Polazeći od toga da
postoji neka relacija između geometrije i materije
opšteg oblika
geometrija materija,
on je uspešno konstruisao obe strane ove jednačine.
Iz principa opšte kovarijantnosti sledi da relativističke
jednačine gravitacionog polja treba da budu zapisane u
tenzorskom obliku. Zbog toga na levoj strani jednačina treba
da stoji neki tenzor koji sadrži izvode (zaključno do drugog
reda) od metričkog tenzora gµν i koji ima deset
komponenata. Ovaj tenzor bi morao, prema Ajnštajnu,
određivati geometriju prostora. Sam metrički tenzor nije
dovoljan za izražavanje zakrivljenosti prostor. Zbog toga je
Ajnštajn iskoristio veličine kao što su Riman-Kristofelov
tenzor i Ričijev tenzor. Takođe, Ajnštajn je našao tenzor Gµη,
koji zadovoljava oba gornja zahteva. Prema tome, na levoj
strani relativističkih jednačina može stajati neki od ovih
tenzora ili njihove kombinacije. S obzirom na to da su
navedeni tenzori simetrični na levoj strani treba da stoji neki
simetrični tenzor drugog ranga Qµη. Tada, očigledno, na
desnoj strani treba da stoji, takođe, simetrični tenzor drugog
ranga. Taj tenzor treba da karakteriše raspodelu i kretanje
mase. Takav tenzor je tenzor energije-impulsa Tµη i njime se
opisuje materijalni sadržaj prostora.
Ajnštajn je zaključio da ova relacija ima oblik:
gde je konstanta koja se određuje iz zahteva da se, u aproksimaciji slabog
polja, dobije Njutnova gravitacija opisana Poasonovom jednačinom i
iznosi:
Ajnštajnove jednačine gravitacionog polja, dakle, predstavljaju
relativističko uopštenje Poasonove jednačine. Međutim, za razliku od
Poasonove jednačine, Ajnštajnove jednačine su nelinearne i zbog toga se
ne mogu rešiti u opštem obliku. Zbog toga se ne može koristiti ideja
suerpozicije (osim aproksimativno u slučaju slabih polja). Drugim
rečima, gravitaciono polje sistema više objekata se ne može dobiti kao
zbir polja podsistema, što znatno otežava njihovo rešavanje. Čak i u
slučaju praznog prostora Ajnštajnove jednačine su veoma složene i teško
je naći rešenje. Međutim, ipak postoje situacije za koje su one rešene
(npr Švarcšildovo rešenje iz 1916. godine za stastičko sferno-simetrično
gravitaciono polje).
Koristeći OTR dobija se obrazac za ugaono
pomeranje perihela u pravcu kretanja
planeta:
gde je velika poluosa, T period, a ekscentricitet orbite. Kada je
reč o planetama Sunčevog sistema najveći efekat treba očekivati
za Merkur, jer je njegov ekscentricitet orbite najveći, dok je
njegova velika poluosa najmanja. Ovi rezultati se slažu sa
merenjima, u granicama eksperimentalne greške. Ovaj rezultat
bio je prvi trijumf OTR. Njutnova teorija gravitacije nije uspela da
objasni ovaj efekat.
Korišćenjem OTR dobija se obrazac za
ugao odstupanja svetlosnog zraka
(***)
gde je M masa Sunca, a d je rastojanje koje
se vidi na slici. Ovaj rezultat je prvi
eksperimentalno potvrdio Artur Edington
1919. godine. Poslednjih godina izvedeni su
mnogo tačniji eksperimenti koji su
potvrdili skretanje zraka (radio talasa).
Eksperimentalna merenja se dobro slažu sa
rezultatima dobijenom formulom (**)sa
tačnošću od oko 1%. Ovaj efekat se može
proceniti i u okviru njutnovske mehanike i
pri tome se za skretanje svetlosti dobije
duplo manji rezultat od onog predviđenog
formulom (***).
U ravnom prostoru Minkovskog frekvencija fotona koji emituje neki atom,
posmatrana iz proizvoljnog inercijalnog sistema reference se ne menja.
Međutim, kada se emiter (atom) nalazi u gravitacionom polju (npr.Sunca) s
tok vremena menja od tačke do tačke. Kada se sa Sunca emituje svetlost,
onda, prema OTR, gravitacioni potencijal Sunca mora uticati na talasnu
dužinu, odnosno frekvenciju emitovane svetlosti za posmatrača sa Zemlje.
Korišćenjem OTR dobija se:
gde su e i p potencijal gravitacionog polja u tački emitovanja, odnosno
primanja zračenja, a odnos λ/λe karakteriše pomeranje spektralnih
linija u gravitacionom polju prema većim talasnim dužinama i naziva se
Ajnštajnov efekat ili efekat crvenog pomaka. Novija merenja
efekta gravitacionog pomeranja frekvencije sa kosmičkih stanica i
veštačkih satelita potvrđuju navedenu formulu sa tačnošću do 2x10-4.



Predstava koju smo iz antičkih vremena imali o euklidskom prostoru i
vremenu koji postoje odvojeni i koja je bila ugrađena u Njutnovu mehaniku, je
početkom prošlog veka doživela pravu revoluciju koja je kulminirala
eksperimetalnom potvrdom Ajnštajnove teorije što je bio konačan dokaz da na
geometriju prostora u kome živimo u najvećoj meri utiče gravitacija, odnosno
raspodela masa koje je stvaraju.
Opšta teorija relativnosti, međutim, nailazi na velike probleme prilikom
opisivanja geometrije prostor-vremena u blizini jako masivnih objekata malih
dimenzija, odnosno u blizini crnih rupa (takozvani lokalni singulariteti u OTR).
Sličan problem se u ovoj teoriji javlja ukoliko probamo da predstavimo prostorvreme u ranim trenucima nastanka vasione (globalni singularitet). U oba
slučaja problemi su izazvani činjenicom da je OTR u stvari klasična odnosno ne
kvantna teorija.
Pokazalo se da je nemoguće formulisati kvantnu teoriju gravitacije na osnovu
Ajnštajnove OTR. Naime, sve ostale interakcije (elektromagnetna, jaka i slaba)
su interakcije koje postoje i deluju u prostor-vremenu dok se za gravitaciju
opisanu preko OTR može reći da ga u osnovi određuje. Stoga je bila neophodna
njena modifikacija, zapravo formulisanje potpuno nove, takođe geometrijske,
teorije koja se zove teorija struna. Na odgovarajuće direktne eksperimentalne
potvrde, obzirom na to da se ona ispoljavaju tek na Plankovoj skali se naravno
ne može računati, ali se registrovanje nekih njenih posledica očekuje već u
eksperimentu koji se u CERN-u odvija na LHC.