Transcript STRUKTUR ALJABAR
STRUKTUR ALJABAR
Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli
Pendahuluan
Himpunan Pemetaan Bilangan Bulat Operasi Biner
Grup
Definisi Grup dan contoh grup Sub Grup Sub grup Normal dan Grup hasil bagi Homorfisma Automorfisma Grup Permutasi
Ring (Gelanggang), Daerah Integral dan Lapangan
Definisi dari gelanggang Daerah integral Lapangan
REFERENSI
1. I.N. Herstein, Topics in Algebra, secon edition, 1975.
2. Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert, Elements of Modern Aljebra, fifth edition, 2000, publiser Gary Ostedt.
3. Buku-buku lain yang berkaitan dengan materi yang akan dibahas
HIMPUNAN
1. Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek dalam himpunan dinamakan anggota himpunan.
2. Untuk membentuk himpunan dapat digunakan metode Roster yaitu dengan cara menyebut atau mendaftar semua anggota dan metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya.
HIMPUNAN
1. Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B 2. Himpunan A=B jika dan hanya jika A B dan B A
HIMPUNAN
1. Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A.
2. Komplemen dari himpunan A adalah semua anggota dari semesta yang A
HIMPUNAN
1. Gabungan dari dua buah himpunan
x
:
x
A atau
x
B 2. Irisan dari dua himpunan A dan B, himpunan
x
:
x
A dan
x
B 3. Diberikan sembarang dua buah himpunan A dan B, maka A-B adalah himpunan
x
A :
x
B
HIMPUNAN
1. Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing apaa bila A B 2. Misalkan diberikan dua buah dan hanya jika c = e dan d = f.
himpunan A dan B, maka himpunan AxB adalah didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B. Pasangan (c,d)=(e,f) jika
RELASI EKIVALEN
Relasi biner memenuhi : pada Himpunan A dikatakan relasi ekivalen pada A, jika untuk setiap a, b, c dalam A 1. a a (reflesif) 2. jika a b maka b c (simetri) 3. jika a (transitif) b dan b c maka a c
RELASI EKIVALEN
1. Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan a b untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut suaatu relasi ekivalen pada S.
2. Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan a,b elemen S, definisikan a b jika a-b adalah bilangan bulat genap. 3. Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan a b jika a-b adalah kelipatan dari n.
DEFINISI CLASS EKIVALEN
Jika A suatu himpunan dan jika suatu relasi ekivalen pada A, maka class ekivalen dari a anggota A adalah himpunan semua x anggota A dimana a berelasi dengan x. Dan kita notasikan dengan cl(a).
1.
2.
3.
class EKIVALEN
Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan a b untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut suaatu relasi ekivalen pada S. Class ekivalen pada a adalah a sendiri.
Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan a,b elemen S, definisikan a bilangan bulat. b jika a-b adalah bilangan bulat genap. Class ekivalen pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a + 2m, dimana m Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan a b jika a-b adalah kelipatan dari n. Class ekivalen pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a + kn, dimana k bilangan bulat.
PEMETAAN
DEFINISI
Jika S dan T himpunan-himpunan tak kosong, maka pemetaan dari S ke T adalah sub himpunan M dari SxT sedemikian sehingga untuk setiap s S terdapat secara tunggal t T sedemikian sehingga pasangan terurut (s,t) M.
CONTOH PEMETAAN
1.
2.
3.
Misalkan S sembarang himpunan; definisikan :S S dengan (s) = s untuk setiap s S. Pemetaan disebut pemetaan identitas dari S Misalkan S dan T sembarang himpunan; dan t 0 suatu elemen dari T. Definisikan :S T dengan :s t 0 untuk setiap s S.
Misalkan S adalah himpunan bilangan rasional positif dan T=JxJ dimana J adalah himpunan bilangan bulat. Diberikan suatu bilangan rasional s, dimana s dapat ditulis dengan s = m/n dimana m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan. Definisikan :S T dengan (s) = (m,n).
CONTOH PEMETAAN
5.
:S himpunan dari bilangan rasional; definisikan T, dengan (m,n) dalam S.
JxJ
:
n
0 ((m,n))=m/n untuk setiap Misalkan J himpunan bilangan bulat dan S = JxJ. Definisikan :S J dengan (m,n)=m+n.
6. Misalkan S dan T sembarang himpunan; definisikan :SxT S dengan (a,b) = a untuk setiap (a,b) SxT. ini disebut proyeksi dari SxT pada S. Dengan cara serupa definisikan proyeksi dari SxT pada T.
CONTOH PEMETAAN
7. Misalkan S adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen x 1, x 2, x 3. Definisikan :S S dengan (x 1 )= x 2, (x 2 )= x 3, (x 3 )= x 1 .
8.
Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat dan T adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen E dan 0. Definisikan :S T dengan (n)=E jika n bilangan genap dan (n)=0 jika n bilangan ganjil
DEFINISI
1. Pemetaan dari S kedalam T adalah dikatakan onto (pada) T, jika diberikan t T terdapat suatu s S sedemikian sehingga (s)=t.
2. Pemetaan adalah dikatakan pemetaan satu-satu jika untuk sembarang s (s 1 )= (s 2 ) 1 dari S kedalam T s 2 maka
DEFINISI
1. Dua pemetaan dan dari S kedalam T adalah dikatakan sama jika (s)= (s) untuk setiap s S.
2. Jika :S T dan :T U maka komposisi dari dan adalah pemetaan 0 :S U didefinisikan dengan 0 (s)= ( (s)) untuk setiap s S.