Transcript Matematika VGTU klasėje
MATEMATIKA VGTU KLASĖJE RAMINTA BORODIČIENĖ
MATEMATIKOS MOKYTOJA-METODININKĖ 2014-12-04
EIL.
NR.
1.
2.
MATEMATIKOS MODULIO „VGTU KLASĖ“ ILGALAIKIS PLANAS 2KLASEI
UGDOMI GEBĖJIMAI TURINYS
Matematinė indukcija
VAL.
SK.
2val.
INTEGRACIJA
1.1. Matematinės indukcijos sąvoka ir taikymas įrodymo uždaviniams spręsti.
1.2. Matematinės indukcijos taikymas nelygybėms įrodyti.
Suprasti, kas yra matematinė indukcija, žinoti matematinės indukcijos principo esmę. Taikyti matematinės indukcijos principą įrodymo ir nelygybių uždaviniams spręsti.
Socialiniai mokslai (matematinių terminų ir simbolių kilmė, žymūs matematikai); Matricos ir determinantai 2.1. Veiksmai su matricomis ir determinantais.
2.2. Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso ir Kramerio metodais.
2val.
Atlikti veiksmus su matricomis. Apskaičiuoti pirmos, antros ir trečios eilės determinantus.Spręsti tiesinių lygčių sistemas Gauso bei Kramerio metodais.
Fizika, chemija (lygčių bei lygčių sistemų sprendimas, jų sprendinių tikrinimas) Lietuvių kalba (taisyklinga terminų vartosena, matematinio teksto suvokimas ir analizė)
3.
Kompleksiniai skaičiai 2.1. Kompleksinių skaičių sąvoka ir veiksmai su kompleksiniais skaičiais.
2.2. Kvadratinių lygčių su neigiamu diskriminantu sprendimas.
2.3. Atsiskaitymas 3val.
Nustatyti kompleksinių skaičių realią ir menamą dalį, rasti sujungtinį ir priešingą skaičių. Atlikti veiksmus su algebrine forma parašytais kompleksiniais skaičiais. Spręsti kvadratines lygtis, kurių diskriminantas neigiamas. Rasti visus aukštesniojo laipsnio lygčių sprendinius.
Lietuvių kalba (taisyklinga terminų vartosena, matematinio teksto suvokimas ir analizė) Informacinės technologijos (informacijos paieška)
1. MATEMATINĖ INDUKCIJA
• Inductio - lotyniškas žodis reiškiąs „įvedimą“.
• Indukcija vadinamas samprotavimo metodas, kuriuo iš atskirų pavyzdžių padaroma tam tikra išvada.
• Pilnoji indukcija, kai išvada padaroma, išnagrinėjus kiekvieną atskirą atvejį iš baigtinio jų skaičiaus.
• Nepilnoji indukcija, kai išnagrinėjus pakankamai daug atvejų, daroma ne visai patikima išvada. Matematikoje nepilnoji indukcija taikoma formuluoti hipotezėms, kurias vėliau reikia įrodyti arba paneigti.
• Matematinės indukcijos principas taikomas matematiniams teiginiams A(n), kai n - natūralusis skaičius, įrodyti: jei teiginys A(n) teisingas, kai n꞊1, ir iš to, kad jis teisingas, kai n ꞊ k, seka, jog jis teisingas, kai n ꞊ k + 1, tai teiginys A (n) teisingas ir bet kuriam natūraliajam skaičiui n.
2. MATRICOS
•
Sudėtis
Dviejų vienodo formato matricų ir suma (skirtumu) vadinama matrica, kurios kiekvienas elementas yra matricų A ir B atitinkamų elementų suma (skirtumas). •
Daugyba iš skaičiaus
Jei dauginame matricą iš skaičiaus, tai kiekvieną matricos elementą reikia padauginti iš to skaičiaus.
•
Matricų daugyba
Matricų
A
ir
B
sandauga vadinama matrica C , kurios kiekvienas elementas apskaičiuojamas pagal formulę: 𝐶 𝑖𝑗 ꞊ 𝑠 𝑘=1 𝑎 𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗 ; i꞊ 1, 𝑚 ; j꞊ 1, 𝑛
Pastaba.
Sudauginti galima tiktai tokias dvi matricas, kurių pirmosios stulpelių skaičius lygus antrosios eilučių skaičiui.
3. DETERMINANTAI
• Matricos determinantą žymėsime det A arba 𝑎 𝑖𝑗 i, j ꞊ 1, 𝑛 .
• Kai n꞊1 , tuomet matrica yra pirmos eilės ir jos determinantas 𝑎 11 ꞊ 𝑎 11 .
• Kai n꞊2 , tuomet matrica yra antros eilės ir jos determinantas 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 𝑎 12 22 ꞊ 𝑎 11 𝑎 22 − 𝑎 12 𝑎 21 .
• Kai n ꞊3 tai matrica yra trečios eilės ir jos determinantas 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 𝑎 13 𝑎 23 𝑎 33 ꞊ 𝑎 11 𝑎 22 𝑎 33 + 𝑎 12 𝑎 23 𝑎 31 + 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 32 − −𝑎 13 𝑎 22 𝑎 31 − 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 33 − 𝑎 11 𝑎 23 𝑎 32 .
4. GAUSO METODAS
1. Veiksmai atliekami tik su eilutėmis.
2. Bet kurias eilutes galima sukeisti vietomis (žinoma, juk ir lygtis sistemoje galima keisti vietomis!) 3. Bet kurią eilutę galima padauginti iš bet kokio skaičiaus.
4. Bet kurią eilutę galima padauginti iš bet kokio skaičiaus ir pridėti prie kitos eilutės (eilutė, kurią dauginame, išlieka nepakitusi).
Gauso metodo esmė - tiesinėje lygčių sistemoje padaryti tokius elementarius pertvarkius su eilutėmis, kad gautume trikampę sistemą, kur paskutinėje eilutėje tebūtų vienas skaičius, antroje nuo apačios - du ir t.t.
Jei išryškėja trikampio pavidalas, tai lygčių sistema turi vieną sprendinį.
Jei išryškėja trapecijos pavidalas, lygčių sistema turi be galo daug sprendinių.
Jei atsiranda neteisinga lygybė, lygčių sistema sprendinių neturi.
5. KRAMERIO METODAS
Pagal Kramerio formules galima rasti lygčių sistemos sprendinius: 𝑥 1 = 𝐷 1 𝐷 ; 𝑥 2 = 𝐷 2 𝐷 ; 𝑥 3 = 𝐷 3 , kai 𝐷 𝐷 1 ꞊ 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 𝑎 𝑎 𝑎 13 23 33 𝑎 11 𝑥 1 𝑎 21 𝑥 1 𝑎 31 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + 𝑎 22 𝑥 2 + 𝑎 32 𝑥 2 + 𝑎 13 𝑥 3 ꞊ + 𝑎 23 𝑥 3 ꞊ + 𝑎 33 𝑥 3 ꞊ 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 ; 𝐷 2 ꞊ 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 𝑎 𝑎 𝑎 13 23 33 ; 𝐷 3 ꞊ 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 ; D꞊ 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 𝑎 13 𝑎 23 𝑎 33
6. KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI
Kompleksinis skaičius žymimas a+ib, kur a; b€R • Skaičius a vadinamas realiąja dalimi, o skaičius b vadinamas menamąja dalimi. Skaičius i tenkina sąlygą 𝑖 2 ꞊ − 1 .
• Išraiška z=a+ib vadinama kompleksinio skaičiaus z algebrine forma.
• Skaičius a−ib vadinamas skaičiaus z jungtiniu skaičiumi ir žymimas ═a−ib.
• Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma: (a+ib) + (c+id) =a+c+i(b+d); (a+ib)(c+id)= ac−bd+i(ad+bc); 𝑎+𝑖𝑏 𝑐+𝑖𝑑 = (𝑎+𝑖𝑏)(𝑐−𝑖𝑑) = (𝑐+𝑖𝑑)(𝑐−𝑖𝑑) 𝑎𝑐+𝑏𝑑+𝑖(𝑏𝑐−𝑎𝑑) 𝑐 2 +𝑑 2 = 𝑎𝑐+𝑏𝑑 𝑐 2 +𝑑 2 + 𝑖 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑐 2 +𝑑 2 ; 𝑧 = 𝑖 𝑧