Transcript 03_Szabalyozasi_Rendszerek

Automatizálási
tanszék
Szabályozási Rendszerek
2014/2015, őszi szemeszter
Előadás
Lineáris rendszerek a frekvenciatartományban
Lineáris rendszer válasza szinuszos bemenőjelre
𝑢 𝑡 = 𝐴𝑢 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 )
𝑦 𝑡 = 𝐴𝑦 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑦 )
W(s)
𝑦 𝑡 = 𝑦á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó𝑠𝑢𝑙𝑡 𝑡 + 𝑦𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑒𝑛𝑠 (𝑡)
𝑦á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó𝑠𝑢𝑙𝑡 𝑡 = 𝐴𝑦 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑦 )
Frekvenciafüggvény
Amplitúdó arány:
𝐴𝑦
𝐴𝑢
Fáziskülönbség: 𝜑𝑦 − 𝜑𝑢
𝑊 𝑗𝜔 = 𝑊𝑠=𝑗𝜔 = 𝑊(𝑗𝜔) 𝑒 𝑗𝜑(𝜔) = 𝑎(𝜔)𝑒 𝑗𝜑(𝜔)
Amplitúdófüggvény
𝑎 𝜔 = 𝑊 𝑗𝜔
=
𝐴𝑦 (𝜔)
𝐴𝑢 (𝜔)
Fázisfüggvény
𝜑 𝜔 = 𝑎𝑟𝑔 𝑊 𝑗𝜔
= 𝜑𝑦 𝜔 − 𝜑𝑢 𝜔
Frekvenciafüggvény grafikus ábrázolása
NYQUIST diagram
Frekvenciafüggvény a komplex számsíkon. A kiválasztott frekvenciatartomány minden egyes értékére
a komplex számsíkban az 𝑎(𝜔)és 𝜑(𝜔) értékpárnak megfelelő pont. Jellemzi a rendszert (pl.
stabilitás).
Frekvenciafüggvény grafikus ábrázolása
BODE diagram
A frekvenciafüggvény abszolút értékét és fázisszögét külön-külön ábrázolja egy kijelölt
frekvenciatartományban
Frekvenciafüggvény grafikus ábrázolása
BODE diagram
Léptéke logaritmikus, ezáltal nagy frekvenciatartomány ábrázolható.
𝐴𝑑𝐵 = 20log10 𝐴
A frekvenciafüggvény tényezőinek összeszorzásakor az egyes tényezők BODE diagramjai
összeadódnak a logaritmikus lépték miatt.
Jellegéből és töréspontjaiból a rendszer tulajdonságaira vonatkozólag kaphatunk információt.
Ideális alaptagok
Arányos (Proporcionális (P)) tag
Differenciálegyenlete:
𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑏0 𝑢 𝑡 ,
Átviteli függvénye:
W s =𝐴=
Súlyfüggvénye:
w t = 𝐴𝛿 𝑡 ,
Átmeneti függvénye:
𝑣 𝑡 = ugrásfüggvény, 𝐴 amplitúdóval
𝑏0
𝑎0
Ideális alaptagok
Arányos (Proporcionális (P)) tag
Nyquist:
Egy pont a valós tengelyen
Amplitúdó-diagram:
Frekvenciatengellyel párhuzamos
Frekvencia-diagram:
Fázisszöge: minden frekvencián zérus
Pl.: - elektronikus erősítő a lineáris tartományban
Ideális alaptagok
Integráló (I) tag
Differenciálegyenlete:
Időállandós alakban:
d𝑦 𝑡
d𝑡
d𝑦 𝑡
𝑇𝐼
d𝑡
𝑎𝐼
= 𝑏0 𝑢 𝑡
= 𝑢 𝑡 , vagy
1 𝑡
𝑢
𝑇𝐼 0
d𝑦 𝑡
d𝑡
A differenciálegyenlet megoldása:
𝑦 𝑡 =
Átviteli függvénye:
𝑊 𝑠 =
Súlyfüggvénye:
w t = ugrásfüggvény,
Átmeneti függvénye:
𝑣 𝑡 = sebességugrás,
1
𝑠𝑇𝐼
=
𝑡 d𝑡 + 𝑐,
𝐾𝐼
,
𝑠
= 𝐾𝐼 𝑢 𝑡 , ahol 𝐾𝐼 =
1
𝑇𝐼
Ideális alaptagok
Integráló (I) tag
Nyquist:
pozitív ω -ra a negatív Im tengelyre eső egyenes,
Amplitúdó-diagram:
20lg 𝐻 𝑗𝜔
Meredeksége:
−20dB/dekád, metszéspont: 1/𝑇𝐼 -nél,
Frekvencia-diagram:
Fázisszöge: minden frekvencián -90 .
= −20lg𝜔𝑇𝐼
∘
Pl.:
• folyadéktartály beáramló folyadék és a szintmagasság közti összefüggés, vagy
• egy kondenzátor kapocsfeszültsége és a töltőárama közti összefüggés, vagy
• motor szögelfordulás-változása a fordulatszám függvényében
Ideális alaptagok
Differenciáló (D) tag
d𝑢 𝑡
d𝑡
,
y t = 𝜏D
d𝑢 𝑡
d𝑡
Differenciálegyenlete:
y t =
Átviteli függvénye:
𝑊 𝑠 = 𝑠,
Súlyfüggvénye:
w t = 2 azonos, méretű, de ellentétes irányú 𝛿(𝑡),
Átmeneti függvénye:
𝑣 𝑡 = 𝜏d területű 𝛿 𝑡 ,
,
𝑊 𝑠 = 𝜏D 𝑠,
Ideális alaptagok
Differenciáló (D) tag
Nyquist:
pozitív ω -ra a pozitív Im tengelyre eső egyenes,
Amplitúdó-diagram:
+20dB/dekád, metszéspont: 1/𝑇𝐷 -nél,
Frekvencia-diagram:
Fázisszöge: minden frekvencián +90
∘
A valóságban NEM realizálható!!!
Pl.:
- nyitott szekunderkörű transzformátor primer áramának és szekunder oldali indukált feszültségének
kapcsolata, ha a primer körben a primer áram nem változik ugrásszerűen
Ideális alaptagok
Holtidős tag
𝑦 𝑡 =
0,
ha 𝑡 < 𝑇d ,
𝑢 𝑡 − 𝑇d , ha 𝑡 ≥ 𝑇d ,
Differenciálegyenlete:
𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑏0 𝑢 𝑡 − 𝑇d , vagy 𝑦 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡 − 𝑇d ,
Átviteli függvénye:
𝑊 𝑠 = 𝐴𝑒 −𝑠𝑇d ,
Súlyfüggvénye:
w t = 𝑇d − vel eltolt 𝐴 területű 𝛿(𝑡),
Átmeneti függvénye:
𝑣 𝑡 = 𝑇d − vel eltolt 𝐴 amplitúdójú ugrás,
Ideális alaptagok
Holtidős tag
Nyquist:
Egymást fedő körök, végpontja 𝜔 növelésével -𝜔𝑇𝑑 szöggel fordul el,
Amplitúdó-diagram:
Frekvenciatengellyel párhuzamos,
Frekvencia-diagram:
Fázisszöge: lineárisan változik a frekvenciával.
Pl.: - minden reális rendszerben jelen van. Energiaáramlási jelenségeknél (pl. szállítószalagon, vagy
csővezetéken történő anyagtovábbítás, hőáramlás) nem hanyagolható el
Tárolós tagok
Egytárolós (arányos) tag
Differenciálegyenlete:
A kimenőjel differenciálhányadosa:
Átviteli függvénye:
Súlyfüggvénye:
Átmeneti függvénye:
d𝑦(𝑡)
+ 𝑦 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡 ,
d𝑡
d𝑦(𝑡)
𝐴
1
= 𝑢 𝑡 − 𝑦(𝑡),
d𝑡
𝑇
𝑇
𝐴
𝑊 𝑠 =
,
1+𝑠𝑇
𝐴
𝑤 𝑡 = 𝑒 −𝑡/𝑇 , 𝑡 ≥ 0
𝑇
−𝑡/𝑇
𝑇
𝑣 𝑡 = 𝐴(1 − 𝑒
), 𝑡 ≥ 0
Tárolós tagok
Egytárolós (arányos) tag
Nyquist:
pozitív ω -ra egy félkör, ω = 0-tól, ω → ∞-ig,
Tárolós tagok
Egytárolós (arányos) tag
A frekvenciafüggvény abszolút értéke:
20lg 𝐻 𝑗𝜔
= 20lg𝐴 − 20lg 1 + 𝜔 2 𝑇 2
Ha A = 1, és
-
𝜔𝑇 ≪ 1, 20lg 𝐻 𝑗𝜔
≈0
-
𝜔𝑇 ≫ 1, 20lg 𝐻 𝑗𝜔
≈ −20lg𝜔𝑇
-
𝜔𝑇 = 1, 20lg 𝐻 𝑗𝜔
= −20lg 2 ≈ −3dB
Amplitúdó-diagram: 0dB 1/T-ig, utána -20dB/dekád,
Frekvencia-diagram: −arctg 𝜔𝑇 .
Pl.: - soros RL kör
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Kirchhoff-egyenletből a differenciálegyenlet:
d𝑖 1
𝑢 𝑡 = 𝑖𝑅 + 𝐿 +
d𝑡 𝐶
𝑞=
𝑖d𝑡
𝑖𝑑𝑡
d2 𝑞
d𝑞 1
𝐿 2 +𝑅
+ 𝑞=𝑢
d𝑡
d𝑡 𝐶
Időállandós alak:
𝑇2
d2 𝑦(𝑡)
d𝑦(𝑡)
+ 2𝜉𝑇
+ 𝑦 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡
d𝑡 2
d𝑡
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
d2 𝑦(𝑡)
d𝑦(𝑡)
𝑇
+
2𝜉𝑇
+ 𝑦 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡
d𝑡 2
d𝑡
2
𝑏
Átviteli tényező:
𝐴 = 𝑎0
Időállandó:
𝑇=
𝑎2
𝑎0
Csillapítási tényező:
𝜉=2
𝑎1
𝑎0 𝑎2
Átviteli függvénye:
𝑊 𝑠 = 1+2𝜉𝑇𝑠+𝑇2𝑠2
A szakasz pólusai (a nevező gyökei):
𝑠1,2 = − 𝑇 ± 𝑇 𝜉 2 − 1
Három eset:
0
𝐴
𝜉
1
- Aperiodikus eset, 𝜉 < 1 (a pólusok negatív valós értékek)
- Aperiodikus határeset, 𝜉 = 1, (a pólusok egybeeső negatív valós értékek)
- Lengő eset, 𝜉 > 1 (a pólusok konjugált komplex értékek)
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Aperiodikus eset, 𝝃 < 𝟏,
Átviteli függvénye:
𝑊 𝑠 =
𝑇1 = −
Átmeneti függvénye:
Súlyfüggvénye:
𝑣 𝑡 = ℒ −1
𝐴/𝑇1 𝑇2
(𝑠 + 1/𝑇1 )(𝑠 + 1/𝑇2 )
1
,
𝑠1
é𝑠
𝑇2 = −
1
𝑠2
1
𝑇1
𝑇2
𝑊(𝑠) = 𝐴 1 −
𝑒 −𝑡/𝑇1 +
𝑒 −𝑡/𝑇2
𝑠
𝑇1 − 𝑇2
𝑇1 − 𝑇2
𝑤 𝑡 = ℒ −1 𝑊(𝑠) = 𝐴
1
1
𝑒 −𝑡/𝑇1 +
𝑒 −𝑡/𝑇2
𝑇1 − 𝑇2
𝑇1 − 𝑇2
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Aperiodikus határeset, 𝝃 = 𝟏,
𝐴
𝐴/𝑇 2
𝑊 𝑠 =
=
(1 + 𝑠𝑇)2 (𝑠 + 1/𝑇)2
Átviteli függvénye:
Átmeneti függvénye:
𝑣 𝑡 =ℒ
−1
1
1 𝐴/𝑇 2
𝛼
𝛽
𝛾
−1
𝑊(𝑠) = ℒ
=
𝐴
+
+
𝑠
𝑠 𝑠 + 1/𝑇 2
𝑠 𝑠 + 1/𝑇 (𝑠 + 1/𝑇)2
𝛼 = 𝐴,
𝛽 = −𝐴,
𝛾 = −𝐴/𝑇
𝑣 𝑡 = 𝐴 1 − 𝑒 −𝑡/𝑇 −
Súlyfüggvénye:
𝑤 𝑡 =
𝐴 −𝑡/𝑇
𝑡𝑒
,
𝑇2
1 −𝑡/𝑇
𝑡𝑒
𝑇
t≥0
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Lengő eset, 𝝃 < 𝟏,
Átviteli függvénye:
𝐴
𝐴/𝑇 2
𝑊 𝑠 =
=
1 + 2𝜉𝑇𝑠 + 𝑇 2 𝑠 2
𝑠 − 𝑠1 𝑠 − 𝑠2
𝜉
1
𝑇
𝑇
𝑠1,2 = − ± 𝑗
1 − 𝜉 2 = −𝜉𝜔0 ± 𝑗𝜔𝑝 ,
𝜔0 = 1/𝑇 és 𝜔𝑝 = 1 − 𝜉 2 /𝑇
Sajátfrekvencia, és lengési körfrekvencia
ahol
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Lengő eset, 𝝃 < 𝟏,
𝐴𝜔0
Súlyfüggvénye:
𝑤 𝑡 =
Átmeneti függvénye:
v 𝑡 =𝐴 1−
1−
𝜉2
𝑒 −𝜉𝜔0𝑡 sin 𝜔𝑝 𝑡,
𝑒 −𝜉𝜔0 𝑡
1−𝜉 2
𝑡≥0
1 − 𝜉 2 cos 𝜔𝑝 𝑡 + 𝜉 sin 𝜔𝑝 𝑡
, t≥0
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
Túllendülése, ha 𝜉 < 1:
𝑣max − 𝑣áll
𝜎=
100% = 𝑒
𝑣áll
Első maximum helye:
𝑡𝑐 =
Beállási idő:
𝑡𝛼 =
−𝜉𝜋
1−𝜉 2 100%
𝜋
𝜋
=
𝜔𝑝 𝜔0 1 − 𝜉 2
ln
100
Δ
𝜉𝜔0
𝐴
Frekvenciafüggvénye:
𝐻(𝑗𝜔) =
Fázisszöge:
φ 𝜔 = −arctg 1−𝜔2𝑇 2
1−𝜔2 𝑇 2 2 +4ξ2 𝑇 2 𝜔2
2ξ𝑇𝜔
Tárolós tagok
Kéttárolós (arányos) tag (ξ)
A frekvenciafüggvény abszolút értéke:
Ha A = 1, és
- 𝜔𝑇 ≪ 1, 20lg 𝐻 𝑗𝜔
≈0
-
𝜔𝑇 ≫ 1, 20lg 𝐻 𝑗𝜔
≈ −40lg𝜔𝑇
-
𝜔𝑇 = 1, 20lg 𝐻 𝑗𝜔
= −20lg2ξ
20lg 𝐻 𝑗𝜔
Sajátfrekvencián:
A frekvenciafüggvény abszolút értéke: 20lg 𝐻 𝑗𝜔
Fázisgörbe meredeksége:
−132∘ /𝜉/dekád
Fázisszöge:
−90∘
1
2
= ξ
= 20lg𝐴 − 20lg 1 − 𝜔 2 𝑇 2 + 4ξ2 𝑇 2 𝜔 2
Összetett tagok
A stabilitás
A stabilitás fogalma
Stabilitás: a rendszernek az a tulajdonsága, hogy egyensúlyi állapotból kimozdítva újra
egyensúlyba képes kerülni.
Nemlineáris rendszer:
-
a stabilitás függ a bemenőjeltől és a munkaponttól is
-
a stabilitás a rendszer egy állapotának jellemzője
Lineáris rendszer:
-
a stabilitás függ a rendszer struktúrájától és a paramétereitől
-
független a bemenőjeltől
-
a stabilitás a rendszer jellemzője.
A stabilitás meghatározásai:
-
a magára hagyott rendszer stabilitása
-
Aszimptotikus stabilitás
-
a gerjesztett rendszer stabilitása
-
belső stabilitás
A stabilitás
A stabilitás fogalma
A stabilitás meghatározásai:
-
A magára hagyott rendszer stabilitása: nyugalmi állapotából kimozdítva, majd magára hagyva
azt, visszatér eredeti állapotába. Ha eltér -> labilis, ha határeset -> nem tér vissza, viszont nem
is távolodik el.
- Nemlineáris esetben: akkor is labilis, ha kimozdítás után egy tetszőlegesen előírt
környezetbe tér vissza.
- Aszimptotikus stabilitás: kimozdulás után visszatér eredeti kiindulási helyzetébe.
-
A gerjesztett rendszer stabilitása: korlátos bemenőjelre korlátos kimenőjellel válaszol,
bármilyen kezdeti feltétel mellett. Ha egy lineáris, magára hagyott rendszer labilis, akkor a
gerjesztett rendszer is labilis.
-
Belső stabilitás: bármilyen külső gerjesztő jelre, mind a kimenőjel, és mindegyik belső jel
stabilisan válaszol
Stabilitásvizsgálat
Aszimptotikus stabilitás feltétele: a zárt rendszer pólusai negatív valós részűek legyenek, vagyis
valamennyi pólusa a komplex számsík bal oldalára esik
Ha van pólus a - a komplex számsík jobb oldalán:
- képzetes tengelyen, az origóban:
- a rendszer labilis
- integráló hatás
- nem cseng le a tranziens
- képzetes tengelyen, egyszeres konjugált komplex pólus:
- csillapítatlan lengések a tranziensben
- többszörös konjugált komplex pólus: - növekvő amplitúdójú lengések
Stabilitás eldöntése analitikus stabilitási kritériumok alapján:
- Routh séma
- Hurwitz determináns
- gyökhelygörbe-módszer
Labilis folyamat esetén:
- Nyquist-féle stabilitási kritérium
- Bode-féle stabilitási kritérium
Stabilitásvizsgálat
Routh séma
𝑎𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑠−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 = 𝑎𝑛 𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 … 𝑠 − 𝑝𝑛 = 0
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
𝑏𝑛−2
𝑐𝑛−3
⋮
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−3
𝑏𝑛−4
𝑐𝑛−5
𝑎𝑛−4
𝑎𝑛−5
𝑏𝑛−6
𝑐𝑛−7
𝑎𝑛−6
𝑎𝑛−7
𝑏𝑛−8
𝑐𝑛−9
…
…
…
…
…
𝑏𝑛−2 =
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2 − 𝑎𝑛 𝑎𝑛−3
,
𝑎𝑛−1
𝑏𝑛−4 =
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−4 − 𝑎𝑛 𝑎𝑛−5
,
𝑎𝑛−1
𝑐𝑛−3 =
𝑏𝑛−2 𝑎𝑛−3 − 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−4
,
𝑏𝑛−2
𝑐𝑛−5 =
𝑏𝑛−2 𝑎𝑛−5 − 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−6
,…
𝑏𝑛−2
𝑏𝑛−6 =
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−6 − 𝑎𝑛 𝑎𝑛−7
,…
𝑎𝑛−1
A rendszer stabilis:
- a karakterisztikus polinom együtthatói pozitívak
- első oszlop valamennyi eleme is pozitív
A rendszer labilis:
- az első oszlop elemei közül nem mind pozitív
- előjelváltások: zárt rendszer jobboldali pólusainak száma
- 0 jelenik meg: a karakterisztikus egyenlet imaginárius tengelyre
eső első gyökére utal → ε
Stabilitásvizsgálat
Routh séma, PÉLDA
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
𝑏𝑛−2
𝑐𝑛−3
⋮
𝑏𝑛−2 =
𝑐𝑛−3 =
𝑏𝑛−4
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−3
𝑏𝑛−4
𝑐𝑛−5
𝑎𝑛−4
𝑎𝑛−5
𝑏𝑛−6
𝑐𝑛−7
𝑎𝑛−6
𝑎𝑛−7
𝑏𝑛−8
𝑐𝑛−9
…
…
…
…
…
•
•
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2 − 𝑎𝑛 𝑎𝑛−3
,
𝑎𝑛−1
𝑏𝑛−2 𝑎𝑛−3 − 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−4
,
𝑏𝑛−2
5𝑠 3 + 6𝑠 2 + 𝑠 + 𝐾 = 0
•
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−4 − 𝑎𝑛 𝑎𝑛−5
=
,
𝑎𝑛−1
𝑐𝑛−5 =
Felnyitott kör átviteli függvénye
𝐾
𝑊 𝑠 =
𝑠 1 + 𝑠 1 + 5𝑠
Negatívan visszacsatolt kör karakterisztikus egyenlete
𝐾
1+𝑊 𝑠 =1+
=0
𝑠 1 + 𝑠 1 + 5𝑠
𝑏𝑛−2 𝑎𝑛−5 − 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−6
,
𝑏𝑛−2
ROUTH-séma:
5
6
6 − 5𝐾
6
1
𝐾
0
𝐾
•
A stabilitás feltétele:
0 < 𝐾 < 1,2
Stabilitásvizsgálat
Hurwitz determináns
𝑎𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑠−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 = 𝑎𝑛 𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 … 𝑠 − 𝑝𝑛 = 0
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
0
0
0
⋮
Aldeterminánsok:
𝑎𝑛−5
𝑎𝑛−4
𝑎𝑛−3
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−7
𝑎𝑛−6
𝑎𝑛−5
𝑎𝑛−4
𝑎𝑛−3
…
…
…
…
…
△1 = 𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
𝑎𝑛−3
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−1
△3 = 𝑎𝑛
0
𝑎𝑛−3
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−1
△2 =
A rendszer stabilis:
𝑎𝑛−3
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
0
𝑎𝑛−5
𝑎𝑛−4
𝑎𝑛−3
- a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója pozitív
- a főátlóra támaszkodó valamennyi aldetermináns is pozitív
- a negatív indexű elemeket 0-val vesszük figyelembe
Stabilitásvizsgálat
Hurwitz determináns, PÉLDA
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
0
0
0
⋮
𝑎𝑛−3
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
0
𝑎𝑛−5
𝑎𝑛−4
𝑎𝑛−3
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−7
𝑎𝑛−6
𝑎𝑛−5
𝑎𝑛−4
𝑎𝑛−3
…
…
…
…
…
•
•
Felnyitott kör átviteli függvénye
𝐾
𝑊 𝑠 =
𝑠 1 + 𝑠 1 + 5𝑠
Negatívan visszacsatolt kör karakterisztikus
egyenlete
𝐾
1+𝑊 𝑠 =1+
=0
𝑠 1 + 𝑠 1 + 5𝑠
5𝑠 3 + 6𝑠 2 + 𝑠 + 𝐾 = 0
△1 = 𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−1
△2 = 𝑎
𝑛
𝑎𝑛−3
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−1
△3 = 𝑎𝑛
0
𝑎𝑛−3
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−5
𝑎𝑛−4
𝑎𝑛−3
•
HURWITZ determináns:
6 𝐾
5 1
0 6
•
Aldeterminánsok
0
0
𝐾
∆1 = 6 > 0
∆2 = 6 − 5𝐾 > 0
∆3 = 𝐾∆2 > 0
•
A stabilitás feltétele:
0 < 𝐾 < 1,2
Stabilitásvizsgálat
Gyökhelygörbe módszer
A karakterisztikus egyenlet gyökeit adja meg a komplex számsíkon, miközben a rendszer valamelyik paramétere
(leggyakrabban a körerősítés) nulla és végtelen között változik.
- ha a gyökök a bal oldali félsíkra esnek, a rendszer stabilis
- kritikus körerősítésnél a gyökhelygörbe metszi az Im tengelyt
- ha, a gyökök a jobb oldali félsíkra esnek, a rendszer labilis
A gyökhelygörbe előállítása:
- karakterisztikus egyenlet megoldásával
- grafikus úton próbálgatással
- szerkesztési módszerek
- számítógépes programok
- tulajdonságok alapján közelítve
Stabilitási kritériumok
Nyquist stabilitási kritérium
Ha a felnyitott szabályozási kör stabilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása megítélhető.
Egyszerűsített Nyquist kritérium:
- Ha a Nyquist diagram nem veszi körül a −𝟏 + 𝒋𝟎 pontot, a zárt szabályozási kör
stabilis.
- Ha a Nyquist diagram átmegy a −𝟏 + 𝒋𝟎 ponton, a rendszer a stabilitás
határán van.
- Ha a Nyquist diagram körülveszi a −𝟏 + 𝒋𝟎 pontot, a rendszer labilis.
Stabilitási kritériumok
Nyquist stabilitási kritérium
Ha a felnyitott szabályozási kör labilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása eldönthető
Általánosított Nyquist kritérium:
Ha a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak száma P, akkor a zárt szabályozási
rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha a felnyitott rendszer teljes Nyquist
diagramja, annyiszor veszi körül a komplex számsíkon a −𝟏 + 𝒋𝟎 pontot az
óramutató járásával ellentétes, pozitív irányban, amennyi a felnyitott rendszer
jobb oldali pólusainak a száma.
Stabilitási kritériumok
A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai
A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a −𝟏 + 𝒋𝟎 ponttól
Fázistartalék/fázistöbblet: nyquist diagram és az egységsugarú kör metszéspontjába húzott egyenes szöge.
𝜑𝑡 = 𝜑 𝜔𝑐 + 180°
- ha 𝜑𝑡 > 0, stabilis rendszer
- ha 𝜑𝑡 = 0, határhelyzet
- ha 𝜑𝑡 < 0, labilis rendszer
Csak egyszer metszheti a Nyquist diagram a negatív valós tengelyt!
Stabilitási kritériumok
A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai
A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a −𝟏 + 𝒋𝟎 ponttól
Erősítési tartalék: az Im tengely és a nyquist diagram negatív tengellyel való metszéspontja és a −𝟏 + 𝒋𝟎
pont közti távolság
𝜅 = 1 + 𝐿 𝑗𝜔180
Módosított erősítési tartalék: 𝜅 ′ = 1 − 𝜅
- ha 𝜅 ′ < 1, stabilis rendszer
- ha 𝜅 ′ = 1, határhelyzet
- ha 𝜅 ′ > 1, labilis rendszer
Csak egyszer metszheti a Nyquist diagram a negatív valós tengelyt!
Stabilitási kritériumok
A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai
A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a −𝟏 + 𝒋𝟎 ponttól
Modulus tartalék: a diagramot még érintő legkisebb kör sugara a −𝟏 + 𝒋𝟎 ponttól mérve
1
𝜌𝑚 =
= min 𝑆 −1 𝑗𝜔 = min 1 + 𝐿 𝑗𝜔
max 𝑆(𝑗𝜔)
𝜔
𝜔
𝜔
Azt mutatja, hogy milyen messze van a rendszer legkevésbé stabilis pontja a stabilitás határától.
Általában 𝜌𝑚 > 0,5
Késleltetési tartalék: 𝑇𝑚 =
𝜑𝑡
𝜔𝑐
A holtidő azon legkisebb értéke, amelyet a felnyitott körbe sorosan iktatva a zárt rendszer a stabilitás
határára kerül.
Stabilitási kritériumok
BODE stabilitási kritérium
Ha a felnyitott szabályozási kör stabilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása megítélhető.
-20dB/dekád esetén a rendszer stabilis
-60dB/dekád esetén a rendszer labilis
-40dB/dekád esetén vagy labilis, vagy stabilis,
de a fázistartalék, biztos, hogy kicsi!