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Einführung in die Physik für LAK Ulrich Hohenester – KFU Graz, Vorlesung 3 Reibungskräfte, Oszillator (frei & getrieben), Eigenschwingungen, Schwebung, chaotische Systeme Normalkraft Jede auf eine Fläche einwirkende Kraft kann in die Komponenten Normalkraft und Querkraft zerlegt werden. Die senkrecht zur Fläche (also in Richtung des Normalenvektors) wirkende Normalkraft erzeugt Zugspannungen oder Druckspannungen. Die in der Fläche wirkende Querkraft erzeugt Scherspannungen. Haft- und Gleitreibung Äußere Reibung wird auch als Festkörperreibung bezeichnet, weil sie zwischen den Kontaktflächen von sich berührenden Festkörpern auftritt. Sie wird unterteilt in Haftreibung und Gleitreibung, die beide zu Ehren des Physikers Charles Augustin de Coulomb auch als Coulombsche Reibung bezeichnet werden. Die Reibungskraft FR nimmt mit der Normalkraft FN zu, oft annähernd linear und unabhängig von der Größe der Kontaktfläche Dabei sind die Reibungskoeffizienten µ abhängig von der Beschaffenheit der Oberflächen. Der Koeffizient für Haften ist grundsätzlich größer als der für Gleiten. Ihr Wert wird experimentell bestimmt. Luftreibung Stokesche Reibung (kleine Geschwindigkeit) Newtonsche Reibung (ab kritischer Geschwindigkeit) Hookesches Gesetz Das hookesche Gesetz (nach Robert Hooke) beschreibt das elastische Verhalten von Festkörpern, deren elastische Verformung proportional zur einwirkenden Belastung ist (linear-elastisches Verhalten). Dieses Verhalten ist z. B. typisch für Metalle bei kleinen Belastungen sowie für harte, spröde Stoffe oft bis zum Bruch (Glas, Keramik, Silizium). linearer Bereich Pendel Lineare Rückstellkraft für kleine Auslenkungen Oszillator Federkraft Pendel Gedämpfter Oszillator Newtonsche Bewegungsgleichung Feder Reibung Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung Keine Schwingung falls Dämpfung zu groß !!! Getriebener Oszillator Newtonsche Bewegungsgleichung Feder Reibung Treibende Kraft Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung Amplitude Getriebener Oszillator schwingt mit Treibfrequenz Phase Getriebener Oszillator Amplitude Phase Die Resonanzkurve der Amplitude hat ein Maximum bei w ~ w0. Dieses Phänomen heißt Resonanz. Resonanzkatastrophe Bei verschwindender Dämpfung wächst die Amplitude im Resonanzfall über alle Grenzen („Resonanzkatastrophe“). Getriebener parametrischer Oszillator Lineare Systeme Bei einem lineren System sind die Kräfte linear in der Auslenkung und Geschwindigkeit Linearer Opertator Ein lineares System kann durch bestimmte „Eigenmoden“ charkterisiert werden, die unabhängig voneinander mit einer bestimmten „Eigenfrequenz“ schwingen. Gekoppelte Pendel Zwei Pendel werden durch eine Feder gekoppelt. Bei den Eigenschwingungen bewegen sich die Pendel entweder gleich- oder gegenphasig. Eine beliebige Schwingung kann aus diesen beiden Eigenschwingungen aufgebaut werden. Beispiel. Bei A = B = ½ ist zum Zeitpunkt Null nur das linke Pendel ausgelenkt. Wie sieht die Bewegung aus? Schwebung Bei Überlagerung beider Eigenmoden kommt es zur Schwebung. Die Anregung wandert zwischen den beiden Pendeln hin und her, wobei die Schwebungsperiode durch die Kopplung der beiden Pendel (Feder) bestimmt ist Atomuhren (GPS) Bei einer Atomuhr wird die Schwebung von „atomaren Pendeln“ ausgenutzt und ein elektrischen Schwingkreis wird über einen Feedbackloop synchronisiert. Phasenraum Die Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einem Ort – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen. Impuls Trajektorie im Phasenraum t>0 t=0 Ort Impuls x0 Ort Reguläres System Die Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einem Ort – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen. Impuls Trajektorie im Phasenraum t>0 Ungenauigkeit im Endzustand wächst linear oder polynomial t=0 Ungenauigkeit im Anfangszustand Ort Impuls Bei einem regulären System nimmt eine Ungenauigkeit im Anfangszustand linear oder polynomial im Lauf der Zeit zu. x0 Ort Chaotisches System Die Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einem Ort – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen. Impuls Impuls t>0 t=0 t=0 Ort Impuls Ort l … Lyapanov - Exponent Bei einem chaotischen System nimmt eine Ungenauigkeit im Anfangszustand exponetiell im Lauf der Zeit zu. x0 Ort Chaotisches System - Beispiel Ein Beispiel für eine klassisches chaotisches System ist der getriebene anharmonische Oszillator Je nach Wert von h verhält sich das System regulär oder chaotisch 4 -4 3 -3 2 -2 1 -1 Impuls Impuls Regulärer Oszillator 0 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 -4 -3 -2 -1 0 Ort 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 Ort 1 2 3 Ort 5 0 -5 0 50 100 150 Zeit Zeit 200 250 300 4 4 -4 3 -3 2 -2 1 -1 Impuls Impuls Chaotischer Oszillator 0 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 -4 -3 -2 -1 0 Ort 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 Ort 1 2 3 Ort 5 0 -5 0 50 100 150 Zeit Zeit 200 250 300 4 Chaotisches System - Doppelpendel Ein Doppelpendel ist ebenfalls ein chaotisches System. Chaotisches System - Wetter 1963 formulierte der Meteorologe Lorenz ein Modell, das eine Idealisierung eines hydrodynamischen Systems darstellt, und das eine Modellierung der Zustände in der Erdatmosphäre für eine Langzeitvorhersage erlauben sollte. Auch dieses System zeigt chaotisches Verhalten. Bisweilen wird das System von relativ stabilen „Attraktoren“ angezogen.